שברים שקולים
שני שברים בלי אף ספרה משותפת יכולים עדיין להיות אותה כמות. זה נשמע כמו טריק עד שרואים את זה פעם אחת כאורך, ואז זה מפסיק להפתיע בכלל.
עודכן לאחרונה
שאלו מישהו אם 2/3 ו־8/12 הם אותו מספר, ובדרך כלל תקבלו שתיקה קצרה. שום דבר בהם לא נראה דומה: לא המונה, לא המכנה, לא גודל הספרות. ובכל זאת הם אותה כמות, בדיוק, בלי שום עיגול.
את הסיבה קל יותר לראות מאשר להסביר, אז הנה היא כאורך.
הקו המקווקו אף פעם לא זז. חיתוך של אותו אורך ליותר חלקים משנה את שני המספרים ולא משנה כלום בכמה שצבוע.
האורך הצבוע הוא מה שלא משתנה
הפס העליון חתוך ל־3 חלקים ו־2 מהם צבועים. הפס התחתון הוא אותו פס, חתוך ל־6 חלקים, ו־4 צבועים. הגדילו את המכפיל, והפס התחתון נחתך ל־9, אחר כך ל־12, אחר כך ל־15 חלקים, והקו המקווקו אף פעם לא זז.
הקו הזה הוא כל הרעיון. שבר הוא אורך, ושני המספרים הם רק תיאור של האופן שבו חתכתם אותו. המכנה אומר לכמה חלקים חתכו את השלם; המונה אומר כמה מהם לקחתם. חתכו כל חלק לשניים ויש לכם פי שניים חלקים, כל אחד בחצי מהגודל, ולקחתם פי שניים מהם. שני שינויים שמבטלים זה את זה.
לכן 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12, והרשימה לא נגמרת: לכל שבר יש אינסוף צורות שקולות.
איך יוצרים אחד: כופלים מונה ומכנה באותו מספר
כדי לכתוב שבר בדרך אחרת, כופלים את שני החלקים שלו באותו מספר:
2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12
את המספר בוחרים אתם, ובבעיות אמיתיות בוחרים אותו מסיבה: בדרך כלל כי צריך מכנה מסוים. אם שאלה דורשת לכתוב שלישים עם מכנה 12, המכפיל הוא 4, כי 3*4 = 12.
הכלל היחיד שחשוב: שני החלקים, או אף אחד. כפל של המונה בלבד נותן 8/3, שזה גדול פי ארבעה מדי. הזיזו את המחוון העליון באיור שלמעלה וראו את הקו המקווקו קופץ: זה מה ששינוי של מספר אחד לבד עושה.
חילוק עובד באותה צורה, בכיוון ההפוך. 8/12 כשמחלקים את המונה והמכנה ב־4 הוא 2/3, ושוב שום דבר לא זז.
קריאה בכיוון ההפוך: צמצום עד הסוף
ללכת למטה ברשימה במקום למעלה נקרא צמצום, או פישוט, וזו הצורה שכמעט כל תשובה צפויה להיות בה. מחלקים את המונה ואת המכנה במחלק המשותף הגדול ביותר שלהם:
| שבר | מחלק משותף | שבר מצומצם |
|---|---|---|
| 8/12 | 4 | 2/3 |
| 15/25 | 5 | 3/5 |
| 6/9 | 3 | 2/3 |
| 14/21 | 7 | 2/3 |
| 9/12 | 3 | 3/4 |
שבר מצומצם עד הסוף כשהמספר השלם היחיד שמחלק את שני החלקים הוא 1. שימו לב ששלושה שברים שנראים שונים בטבלה מצטמצמים ל־2/3, וזו בדיוק הנקודה: הם היו אותה כמות מההתחלה, כתובה עם חיתוכים שונים.
אם המחלק המשותף לא ברור, אפשר להוציא אותו בשלבים. 24/36 זוגי, אז חוצים את שניהם ומקבלים 12/18; חוצים שוב ומקבלים 6/9; ואז מחלקים ב־3 ומקבלים 2/3. להגיע לשם בשלושה צעדים קלים אינו גרוע יותר מלהגיע בצעד חכם אחד.
למה צריך אותם בכלל
שברים שקולים אינם נושא בפני עצמו. הם קיימים כי בלעדיהם אי אפשר לחבר שברים.
את 1/2 + 1/3 אי אפשר לספור, כי חצי ושליש הם חלקים בגדלים שונים. כתבו את שניהם עם מכנה 6, 1/2 = 3/6 ו־1/3 = 2/6, ועכשיו הם חלקים בגודל אחד, ולכן פשוט מחברים: 3/6 + 2/6 = 5/6.
כל שלב של מכנה משותף שתעשו אי פעם הוא כתיבה של שני שברים שקולים. לכן הרעיון הזה בא ראשון.
נסו אחד
אם קיבלתם 9/12, חציתם ועצרתם: ל־9 ול־12 עדיין יש מחלק משותף 3. המשיכו עד שהמספר היחיד שמחלק את שניהם הוא 1.
שאלות נפוצות
- מה הם שברים שקולים?
- שני שברים הם שקולים כשהם מתארים את אותה כמות, למרות שהמספרים נראים שונים. 2/3 ו־8/12 שקולים: חתכו פס ל־3 חלקים וצבעו 2, או חתכו את אותו פס ל־12 חלקים וצבעו 8, והחלק הצבוע מגיע בדיוק לאותו מקום.
- איך מוצאים שבר שקול?
- כופלים את המונה ואת המכנה באותו מספר. 2/3 הופך ל־4/6 (פי 2), 6/9 (פי 3), 8/12 (פי 4), וכן הלאה בלי סוף. כפל של שני החלקים באותו מספר זהה לחיתוך של כל חלק למספר כזה של חלקים קטנים יותר, וזה משנה את מספר החלקים אבל לא את הכמות שיש לכם.
- למה אי אפשר פשוט לכפול את המונה?
- כי המונה סופר חלקים והמכנה אומר כמה גדול כל חלק. שינוי של המונה בלבד פירושו לקחת יותר חלקים באותו גודל, וזה באמת יותר. צריך לשנות באותו זמן את גודל החלק, וכפל של המכנה באותו מספר הוא מה שעושה את זה.
- איך מצמצמים שבר עד הסוף?
- מחלקים את המונה ואת המכנה במחלק המשותף הגדול ביותר שלהם. עבור 8/12 המחלק הזה הוא 4, ולכן 8/12 הופך ל־2/3. שבר מצומצם עד הסוף כשהמספר היחיד שמחלק את שני החלקים הוא 1, וזו הצורה שכמעט כל תשובה צפויה להיות בה.
- למה משמשים שברים שקולים?
- לחיבור ולחיסור. אי אפשר לספור יחד חלקים בגדלים שונים, ולכן 1/2 + 1/3 לא מתקדם לשום מקום עד ששניהם נכתבים מחדש עם אותו מכנה: 3/6 + 2/6 = 5/6. כל אחת מהכתיבות האלה היא שבר שקול, ולכן זה הרעיון שכל החשבון בשברים בנוי עליו.
רוצים להריץ את זה על המספרים שלכם?
מחשבון שברים פתיחת המחשבון