ריבועים מושלמים
ריבוע מושלם הוא לא מספר עם תכונה מיוחדת שצריך לחפש בטבלה. זו כמות של פריטים שאפשר לסדר כריבוע אמיתי, וכל השאר נובע מזה.
עודכן לאחרונה
"ריבוע מושלם" נשמע כמו תווית שמישהו הדביק לרשימת מספרים שעכשיו צריך לשנן. זה לא כך. השם מתאר צורה, וברגע שרואים את הצורה, כבר אין צורך לשנן את הרשימה.
הזיזו את המחוון. שימו לב למה שמתווסף בכל פעם.
הזיזו את המחוון צעד אחד. צורת ה־L הצבועה היא מה שנוסף: ספרו אותה, ויש לכם את ההפרש בין שני ריבועים עוקבים.
השם מילולי
6^2 = 36 לא אומר "6 עבר את פעולת ההעלאה בריבוע". הוא אומר: קחו 36 ריבועי יחידה, ותוכלו לסדר אותם כריבוע שאורך כל צלע שלו הוא 6. קחו 35 ולא תצליחו: תמיד יישאר חור או משהו שבולט החוצה. זו כל ההגדרה, ובגלל זה המילה היא "ריבוע" ולא משהו מופשט.
קראו את אותה תמונה הפוך, וקיבלתם שורשים ריבועיים. sqrt(36) = 6 הוא השאלה "אם 36 ריבועים יוצרים ריבוע, מה אורך הצלע שלו?" למספר יש שורש ריבועי שלם בדיוק כשהוא ריבוע מושלם, ולכן שני הרעיונות תמיד נלמדים יחד.
הרשימה ששווה להכיר
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
עשרים שורות מכסות כמעט כל שאלה בבית הספר, כי בונים תרגילים מהסוף להתחלה, מתוך תשובות שקל לבדוק.
ההפרשים הם המספרים האי-זוגיים
בשביל העובדה הזו המחוון באמת קיים. הזיזו אותו מ-5 ל-6 וספרו את צורת ה-L המוצללת שמופיעה: חמישה ריבועים לאורך הצלע החדשה, חמישה לאורך החלק העליון החדש, ואחד בפינה. אחד-עשר.
באופן כללי, מעבר מ-n^2 ל-(n+1)^2 מוסיף 2n+1 ריבועים, תמיד מספר אי-זוגי. לכן ההפרשים בין ריבועים עוקבים הם 3, 5, 7, 9, 11, 13 וכן הלאה, וחיבור המספרים האי-זוגיים לפי הסדר נותן את הריבועים לפי הסדר:
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
זו גם דרך מהירה באמת להרחיב את הטבלה בראש. אם אתם יודעים ש-14^2 = 196 ורוצים את 15^2, הוסיפו 2*14 + 1 = 29: 225.
לזהות ריבוע מושלם בלי מחשבון
שני מסננים לוקחים אתכם רוב הדרך.
הסתכלו על הספרה האחרונה. העלו כל מספר בריבוע והתוצאה תסתיים ב-0, 1, 4, 5, 6 או 9, אף פעם לא ב-2, 3, 7 או 8. לכן 4,398 אינו ריבוע מושלם, ולא הייתם צריכים לעבוד בכלל. זה לא צירוף מקרים: הספרה האחרונה של מכפלה תלויה רק בספרות האחרונות של מה שהכפלתם, והעלאה בריבוע של 0 עד 9 נותנת רק את שש הסיומות האלה.
אחר כך תחמו אותו. 200 נמצא בין 14^2 = 196 לבין 15^2 = 225, כך שלא נשאר מספר שלם שהוא יכול להיות הריבוע שלו. כל מספר שנמצא ממש בין שני ריבועים עוקבים אינו ריבוע מושלם.
למה הם מופיעים שוב ושוב
ריבועים מושלמים הם הסיבה שחלק מהמשוואות הריבועיות מתפרקות לגורמים בצורה נקייה וחלק לא. x^2 - 49 מתפרק כהפרש ריבועים כי 49 הוא ריבוע; x^2 - 50 לא. הם גם מה שמאפשר לפשט שורש: sqrt(75) הופך ל-5sqrt(3) בדיוק כי 25 הוא ריבוע מושלם שמסתתר בתוך 75.
נסו בעצמכם
ועוד אחד שהולך בכיוון ההפוך: משוואה במקום חיפוש בטבלה. שימו לב שיש לה שתי תשובות, וזה בדיוק הדבר שבו טועים הכי הרבה עם שורשים:
גם 7 וגם -7 בריבוע נותנים 49, ולכן שניהם פתרונות. הסימן sqrt(49) מציין רק את הפתרון החיובי: זו מוסכמה לגבי הסימן, לא עובדה לגבי המשוואה.
שאלות נפוצות
- מה זה ריבוע מושלם?
- מספר שלם שמתקבל מכפל של מספר שלם בעצמו. 9 הוא ריבוע מושלם כי 3 כפול 3 הוא 9; 10 אינו ריבוע מושלם, כי אין מספר שלם שכפול עצמו נותן 10. השם מילולי: בדיוק כמות כזו של ריבועי יחידה אפשר לסדר בצורת ריבוע.
- מהם הריבועים המושלמים מ-1 עד 100?
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ו-100: הריבועים של 1 עד 10. אם ממשיכים מעבר ל-100 מקבלים 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 ו-400, כלומר עד 20 בריבוע, וזה מכסה כמעט כל מה ששואלים בבית הספר.
- איך יודעים אם מספר הוא ריבוע מושלם?
- שני מסננים מהירים ובדיקה אחת. ריבוע מושלם אף פעם לא מסתיים ב-2, 3, 7 או 8, כך שמספרים כאלה נפסלים מיד. אם המספר עבר את זה, מצאו את הריבוע הקרוב ביותר שאתם מכירים והתקדמו ממנו: 200 נמצא בין 196 ל-225, ולכן אינו ריבוע מושלם. רק כשמספר עובר את שני המסננים צריך לחשב את השורש שלו.
- למה ההפרשים בין ריבועים מושלמים הם המספרים האי-זוגיים?
- כדי להגדיל ריבוע מצלע n לצלע n+1 מוסיפים פס לאורך צד אחד, פס לאורך החלק העליון וריבוע אחד בפינה: n + n + 1, וזה תמיד אי-זוגי. לכן ההפרשים הם 3, 5, 7, 9 וכן הלאה, וחיבור המספרים האי-זוגיים לפי הסדר נותן את הריבועים לפי הסדר.
- האם 0 הוא ריבוע מושלם?
- כן. 0 כפול 0 הוא 0, כך שהוא מתאים להגדרה בדיוק. יש רשימות בבית הספר שמתחילות מ-1 כי קשה לדמיין ריבוע בלי אורך צלע, אבל שום דבר בהגדרה לא מוציא אותו, והתייחסות ל-0 כריבוע שומרת על האלגברה בהמשך מסודרת.
רוצים להריץ את זה על המספרים שלכם?
פותר משוואות פתיחת המחשבון