ציון מבחן 85, ממוצע 70, סטיית תקן 6
plain
x = 85, μ = 70, σ = 685 פחות 70 הוא 15, ו־15 חלקי 6 הוא 5/2, ולכן z = 2.5. השטח משמאל ל־2.5 הוא 0.9938, כך שהציון נמצא בערך באחוזון ה־99.4: פחות מתלמיד אחד מתוך מאה קיבל ציון גבוה יותר.
מחשבון ציון תקן (Z-Score)
כמה סטיות תקן ערך רחוק מהממוצע, במדויק, עם האחוזון שבו הוא נופל.
עדכון אחרון
רוצים לפתור את אלה בלי מחשבון?
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
ציון תקן הוא מרחק שנמדד בסטיות תקן
קחו ערך כלשהו מהתפלגות, החסירו את הממוצע, וחלקו בסטיית התקן. התוצאה היא כמה סטיות תקן הערך נמצא מהמרכז, ובאיזה כיוון. z של 2 פירושו שתי סטיות תקן מעל הממוצע; z של מינוס 0.5 פירושו חצי סטיית תקן מתחת. זו כל הנוסחה, ושווה לעשות אותה ידנית פעם אחת, כי כל רעיון מאוחר יותר בסטטיסטיקה, מרווחי סמך ועד בדיקת השערות, הוא ציון תקן בתחפושת.
ציוני תקן חשובים כי הם שמים כל התפלגות נורמלית על סרגל אחד. ציון 85 במבחן עם ממוצע 70 וסטיית תקן 6 הוא z = 2.5; גובה של 190 ס"מ באוכלוסייה עם ממוצע 175 וסטיית תקן 6 הוא גם z = 2.5. שניהם נמצאים באותו אחוזון, בערך 99.4, וטבלה אחת משרתת את שניהם. הדף הזה קורא את הטבלה בשבילכם, משרטט את העקומה עם השטח שמתחת לערך שלכם מוצלל, ומדווח גם את החלק שמעל ואת החלק שנמצא בטווח המרחק הזה מהממוצע.
החשבון כאן נשאר מדויק. z של 15 חלקי 6 הוא 5/2, והדף מדפיס 5/2 עם 2.5 לידו, במקום מספר עשרוני שהיה צריך לעגל כשהמספרים פחות נוחים. האחוזון, בהיותו שטח מתחת לעקומה, הוא בהכרח מספר עשרוני, והוא מסומן ככזה.
מה כדאי לדעת על ציוני תקן
- הסימן אומר את הצד. שלילי הוא מתחת לממוצע, חיובי מעליו; z של 0 הוא הממוצע עצמו.
- כמעט הכול נמצא בטווח של שלוש. בערך 68% מאוכלוסייה נורמלית נמצאים בטווח של סטיית תקן אחת, 95% בטווח של שתיים, 99.7% בטווח של שלוש. z של 4 הוא באמת נדיר.
- האחוזון הוא השטח משמאל. z של 1.28 נמצא בערך באחוזון ה־90, 1.645 באחוזון ה־95, 2.33 באחוזון ה־99.
- אותה נוסחה עובדת גם הפוך. הערך ב־z נתון הוא הממוצע ועוד z כפול סטיית התקן, וכך נקבעים ספי חיתוך: 5% העליונים של מבחן מתחילים בממוצע ועוד 1.645 סיגמה.
- ציון תקן מניח שההתפלגות נורמלית בקירוב. את הציון עצמו תמיד אפשר לחשב; האחוזון משמעותי רק כשצורת הפעמון מתקיימת.
איך מחשבים ציון תקן ידנית
החסירו את הממוצע מהערך שלכם
שמרו על הסימן. ערך מתחת לממוצע נותן הפרש שלילי, והסימן הזה עובר עד התשובה.
חלקו בסטיית התקן
השתמשו בסטיית התקן של האוכלוסייה אם יש לכם אותה, ובזו של המדגם אם רק היא קיימת. שמרו את התוצאה מדויקת אם החילוק לא יוצא שלם.
קראו את האחוזון מהעקומה הנורמלית
השטח משמאל ל־z הוא החלק של האוכלוסייה שנמצא מתחת לערך שלכם. טבלאות מפרטות אותו; הדף הזה מחשב אותו ישירות.
בכיוון ההפוך, כפלו וחברו
הערך שווה לממוצע ועוד z כפול סטיית התקן. כך הופכים סף אחוזון בחזרה לציון.
ציוני תקן נפוצים והאחוזונים שלהם
השטח משמאל ל־z בעקומה הנורמלית הסטנדרטית.
| z | אחוזון | החלק שמעל | איפה משתמשים בו |
|---|---|---|---|
| −2 | 2.3% | 97.7% | שתי סטיות תקן מתחת |
| −1 | 15.9% | 84.1% | אחת מתחת |
| 0 | 50% | 50% | הממוצע |
| 1 | 84.1% | 15.9% | אחת מעל |
| 1.28 | 90% | 10% | סף 10% העליונים |
| 1.645 | 95% | 5% | מבחן חד־זנבי ברמת 5% |
| 1.96 | 97.5% | 2.5% | מבחן דו־זנבי ברמת 5% |
| 2.33 | 99% | 1% | סף 1% העליונים |
דוגמאות פתורות
מדידה של 48, ממוצע 50, סטיית תקן 2.5
plain
x = 48, μ = 50, σ = 2.548 פחות 50 הוא מינוס 2, ומינוס 2 חלקי 2.5 הוא מינוס 4/5, ולכן z = −0.8. בערך 21% מהמדידות נמוכות יותר. z שלילי אינו z רע; הוא פשוט מתחת לאמצע.
איזה ציון הוא הסף של 5% העליונים, עם ממוצע 1000 וסטיית תקן 150?
plain
z = 1.645, μ = 1000, σ = 150השאלה ההפוכה. 5% העליונים מתחילים ב־z = 1.645, ו־1000 ועוד 1.645 כפול 150 הוא בערך 1247. העבירו את הדף למצב "מציאת הערך בציון z" כדי לראות את ההצבה.
טעויות בציון תקן
- חילוק בשונות במקום בסטיית התקן. השונות היא הריבוע; התשובה הייתה שגויה בגורם של סיגמה.
- השמטת הסימן. z של −1.5 ו־z של 1.5 נמצאים באחוזון ה־7 וה־93, לא באותו מקום.
- קריאת הצד הלא נכון של הטבלה. יש טבלאות שנותנות את השטח משמאל, יש שנותנות את השטח בין הממוצע ל־z, ויש שנותנות את הזנב הימני. דעו איזו טבלה אתם מחזיקים.
- עיגול z לפני החיפוש בטבלה. z של 1.96 שמעוגל ל־2.0 מזיז את האחוזון מ־97.5 ל־97.7; בסף חיתוך אלה אנשים אמיתיים.
- שימוש בציון תקן על התפלגות שרחוקה מאוד מנורמלית. המספר עדיין מחושב; האחוזון הוא בדיה.
שאלות נפוצות על ציון תקן
מה הנוסחה של ציון תקן?
z שווה ל־x פחות הממוצע, הכול חלקי סטיית התקן. בסימנים, z = (x − μ) / σ. התוצאה היא מספר סטיות התקן שהערך x נמצא מהממוצע, חיובי מעליו ושלילי מתחתיו.
איך ממירים ציון תקן לאחוזון?
האחוזון הוא השטח מתחת לעקומה הנורמלית הסטנדרטית משמאל ל־z. z של 0 הוא האחוזון ה־50, z של 1 בערך ה־84, z של 2 בערך ה־97.7. הקלידו את הערך למעלה והדף יצליל את השטח הזה על העקומה וידפיס אותו.
מה זה ציון תקן טוב?
זה תלוי לגמרי במה שנמדד. במבחן, z חיובי גבוה הוא טוב. במדידת לחץ דם או בזמן משלוח, z קרוב לאפס הוא טוב, ו־z גדול לכל כיוון הוא אזהרה. ציון התקן אומר כמה ערך חריג, לא אם החריגות רצויה.
האם ציון תקן יכול להיות שלילי?
כן. ציון תקן שלילי פירושו שהערך מתחת לממוצע. z של −1 הוא סטיית תקן אחת מתחת, ובערך 16% מאוכלוסייה נורמלית נמצאים נמוך מזה.
איך מוצאים את הערך הגולמי מציון תקן?
מסדרים מחדש את הנוסחה: x = μ + zσ. כופלים את ציון התקן בסטיית התקן ומוסיפים את הממוצע. העבירו את הדף למצב ההפוך והוא יראה את ההצבה שלב אחר שלב.
מה ההבדל בין ציון z לציון t?
ציון z משתמש בסטיית תקן ידועה של האוכלוסייה ובעקומה הנורמלית. סטטיסטי t משתמש בסטיית תקן של מדגם ובעקומת t, שהזנבות העבים שלה מביאים בחשבון את אי־הוודאות הנוספת של אמידת סיגמה מאותם נתונים. במדגמים גדולים הם מסכימים; בקטנים, t היא הבחירה הכנה.
למה הדף הזה שומר את ציון התקן כשבר?
כי זה מדויק, וציון z מעוגל הוא אחוזון מעוגל. z של 5/2 הוא 2.5 בכל מקרה, אבל z של 7/3 אינו 2.33, והדף מעדיף להדפיס 7/3 עם 2.3333 לידו מאשר להעמיד פנים שהמספר העשרוני הוא התשובה.
