עברית
פתרו כל משוואה ריבועית עם כל שלב כתוב במלואו, במדויק.
עדכון אחרון
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
משוואה ריבועית היא כל משוואה שאפשר לכתוב כ־ax² + bx + c = 0, כאשר a אינו אפס. נוסחת השורשים, x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, פותרת כל אחת מהן בלי יוצא מן הכלל, וזה נדיר וראוי להערכה. פירוק לגורמים עובד רק כשהמספרים במקרה ידידותיים; השלמה לריבוע עובדת תמיד אבל דורשת תרגול; הנוסחה עובדת תמיד ודורשת רק זהירות.
החלק שעושה את העבודה האמיתית נמצא מתחת לשורש. b² - 4ac נקרא הדיסקרימיננטה, והסימן שלו קובע את צורת התשובה עוד לפני שמחשבים משהו אחר: חיובי פירושו שני פתרונות, אפס פירושו פתרון אחד כפול, שלילי פירושו שאין פתרון ממשי בכלל. בדיקת הדיסקרימיננטה קודם אומרת לכם לאיזו תשובה לצפות, וזו הדרך המהירה ביותר לתפוס טעות חשבון בהמשך.
הנוסחה היא לא צעד אחד, וזו אי ההבנה הנפוצה ביותר לגביה. היא תהליך קצר: הצבה, חישוב הדיסקרימיננטה, הוצאת השורש, פיצול ה־±, ואז צמצום של כל ענף. המחשבון הזה עובר על כל החמישה כדי שתוכלו לראות באיזה מהם הייתם טועים.
הקלידו את a, b ו־c בתיבות. מספרים שלמים, שברים עשרוניים ושברים כמו 1/2 כולם עובדים. איבר חסר פירושו מקדם אפס: ב־x² - 4 = 0, b הוא 0.
הקלידו משהו כמו 2x^2 - 5x + 2 = 0 בשדה המשוואה ולחצו על קריאה. איברים משני הצדדים מועברים אוטומטית לצד שמאל, כך שגם 3x^2 = 2x + 1 עובד.
שלב ארבע נותן לכם את b² - 4ac. שימו לב לסימן שלה ונחשו את צורת התשובה, שני פתרונות, אחד או אף אחד, לפני שממשיכים לגלול.
אם התשובה שלכם לא הסכימה, השאלה המועילה היא לא איזה מספר נכון אלא באיזה שלב הדרכים נפרדו. מצאו את השורה הזו, והטעות תסביר את עצמה.
הנוסחה היא לא אקסיומה. היא מה שמקבלים כשמשלימים לריבוע את המשוואה הכללית פעם אחת, כדי שאף אחד לא יצטרך לעשות את זה שוב עם המספרים שלו. לעבור עליה פעם אחת זה ההבדל בין לזכור את הנוסחה לבין להבין אותה.
a x^2 + b x + c = 0
a לא יכול להיות אפס: בלי איבר x² אין שום דבר ריבועי לפתור, וגם ה־2a שבמכנה היה אפס.
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
השלמה לריבוע צריכה x² נקי, ולכן צריך להוריד את ה־a מההתחלה. זה גם השלב שמכניס את a למכנה, ושם הוא נשאר עד סוף הפיתוח.
x^2 + (b/a) x = -c/a
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
חצי מ־b/a הוא b/2a, והריבוע שלו הוא b²/4a². על הצעד הזה נשען כל הפיתוח: זה בדיוק מה שחסר לאגף השמאלי כדי להיות ריבוע שלם.
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
והנה הדיסקרימיננטה, b² - 4ac, מופיעה מעצמה לפני שמישהו נתן לה שם.
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
שני הסימנים, כי שניהם נותנים את אותו דבר בריבוע. ה־2a יוצא מ־√(4a²) כ־|2a|, וה־± שלפניו בולע את הסימן בכל מקרה.
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)
שום דבר בשבע השורות האלה לא השתמש ב־a, b או c מסוימים, ולכן התוצאה נכונה לכל משוואה ריבועית שקיימת. מאותה סיבה הדיסקרימיננטה קובעת את צורת התשובה: היא המספר שמתחת לשורש, ואם היא שלילית, לשלב שש אין לאן להמשיך.
הערך של b² - 4ac קובע הכול לגבי צורת התשובה עוד לפני שמוציאים שורש ריבועי אחד.
| דיסקרימיננטה | פתרונות ממשיים | הגרף | דוגמה |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | שני פתרונות ממשיים שונים | חותך את ציר ה־x פעמיים | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | פתרון אחד כפול | נוגע בציר ה־x פעם אחת | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | אין פתרון ממשי | אף פעם לא מגיע לציר ה־x | x² + 2x + 5 = 0 |
| ריבוע שלם | שני פתרונות רציונליים | חותך בשני שברים או מספרים שלמים | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| חיובי, לא ריבוע שלם | שני פתרונות אי־רציונליים | חותך בשני שורשים | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
a = 1, b = -5, c = 6הדיסקרימיננטה היא (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. השורש שלה הוא בדיוק 1, ולכן הפתרונות הם (5 + 1)/2 = 3 ו־(5 - 1)/2 = 2. מכיוון שהדיסקרימיננטה היא ריבוע שלם, שני הפתרונות רציונליים והמשוואה גם מתפרקת ל־(x - 3)(x - 2) = 0. זה המקרה שבו פירוק לגורמים היה מהיר יותר.
a = 2, b = -5, c = 2הדיסקרימיננטה היא 25 - 16 = 9, ולכן √9 = 3 והפתרונות הם (5 + 3)/4 = 2 ו־(5 - 3)/4 = 1/2. שימו לב שהפתרון השני נשאר 1/2 ולעולם לא מוצג כ־0.5: שבר הוא הערך המדויק, והשבר העשרוני הוא קירוב שלו שבמקרה קצר.
a = 1, b = -4, c = 1הדיסקרימיננטה היא 16 - 4 = 12, שאינו ריבוע שלם. √12 מתפשט ל־2√3, ולכן הפתרונות הם (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. כאן רוב המחשבונים מתחילים להדפיס 3.7320508 ומפסיקים להיות שימושיים: 2 + √3 היא התשובה, וכל שבר עשרוני הוא עיגול שלה.
a = 1, b = 2, c = 5הדיסקרימיננטה היא 4 - 20 = -16. אין מספר ממשי שהריבוע שלו שלילי, ולכן למשוואה אין פתרון ממשי והפיתוח נעצר שם. הפרבולה נמצאת כולה מעל ציר ה־x. אם בקורס שלכם כבר הגעתם למספרים מרוכבים, הפתרונות הם -1 ± 2i, אבל האם זה נחשב תשובה תלוי באיזו מערכת מספרים לימדו אתכם לעבוד.
