גליל ברדיוס 3 ובגובה 5
plain
r = 3, h = 5V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π, בערך 141.37. העלו את הרדיוס בריבוע לפני הכפל בגובה; בסדר ההפוך מתקבל 225π, גדול פי חמישה.
מחשבון נפח
שישה גופים, לכל אחד הנוסחה שלו כתובה לפני שמשתמשים בה.
עדכון אחרון
רוצים לפתור את אלה בלי מחשבון?
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
כל נוסחת נפח היא שטח כפול גובה
למנסרה, כלומר תיבה, גליל או כל גוף עם אותו חתך לכל הגובה, יש נפח של שטח הבסיס כפול הגובה. זה רעיון אחד שמכסה שניים משישת הגופים כאן: תיבה היא אורך × רוחב × גובה כי שטח הבסיס שלה הוא אורך × רוחב, וגליל הוא πr²h כי הבסיס שלו הוא עיגול ששטחו πr². ללמוד את הדפוס עדיף על ללמוד את הנוסחאות בנפרד.
הגופים שמתחדדים, החרוט והפירמידה, מכילים בדיוק שליש מהמנסרה שהייתה מכילה אותם. אותו בסיס, אותו גובה, שליש מהנפח. הגורם 1/3 הזה אינו שרירותי, והוא הדבר שנשכח הכי הרבה בנושא; חרוט בגודל של גליל מכיל שליש ממנו, וקל יותר לזכור את זה אחרי שמזגתם אחד לתוך השני.
הכדור הוא יוצא הדופן עם 4/3πr³, וכדאי לשמור אותו מדויק מאותה סיבה כמו כל השאר כאן: π הוא אי־רציונלי, ולכן 36π הוא תשובה ו־113.1 הוא עיגול שלה. הדף הזה שומר את הסימן, מציג את המספר העשרוני לידו, ונותן את שטח הפנים ואת אורך הקו היוצר בכל מקום שגם הם מדויקים.
מה כדאי לשים לב
- בכל גוף בצורת מנסרה, הנפח הוא שטח הבסיס × הגובה. הזיהוי הזה הופך ארבע נוסחאות לרעיון אחד ועוד נוסחת השטח המתאימה.
- חרוט או פירמידה הם שליש מהמנסרה עם אותו בסיס ואותו גובה. שכחת ה־1/3 היא הטעות הקלאסית, והיא הופכת את התשובה לגדולה בדיוק פי שלושה.
- כל המידות חייבות להיות באותה יחידה לפני שמתחילים, והנפח יוצא אז באותה יחידה בחזקת שלוש. ערבוב של סנטימטרים ומטרים הוא טעות בגורם של מיליון.
- הכפלת מידה אחת מכפילה את הנפח; הכפלת כל השלוש מגדילה אותו פי שמונה. לכן הנפח גדל הרבה יותר מהר מהאורך.
- π שייך לתשובה, לא לדרך. 45π מדויק, והכפלה שלו ל־141.37 בסוף לא עולה כלום וקל לבדוק אותה.
- הקו היוצר של חרוט אינו הגובה שלו. הקו היוצר הוא היתר של המשולש שהרדיוס והגובה יוצרים, ולכן הוא יוצא כשורש, והוא נדרש לשטח המעטפת, לא לנפח.
איך מחשבים נפח
זהו את הגוף וכתבו את הנוסחה שלו
עשו את זה לפני שנוגעים במספר. קובייה s³, תיבה lwh, גליל πr²h, כדור 4/3πr³, חרוט 1/3πr²h, פירמידה ריבועית 1/3s²h.
בדקו שהיחידות תואמות
המירו הכול קודם לאותה יחידה. זה השלב שהורס תשובות בשקט, כי החשבון שאחריו נראה תקין לגמרי.
הציבו את המידות
כתבו את הנוסחה עם המספרים שלכם לפני שמחשבים משהו. בשאלה עם ניקוד, שורת ההצבה הזו שווה בדרך כלל נקודה משלה.
חשבו את החזקות לפני הכפל
לגליל ברדיוס 3 ובגובה 5: מעלים קודם את 3 בריבוע ומקבלים 9, ואז 9 · 5 = 45, ומתקבל 45π. כפל לפני ההעלאה בריבוע נותן מספר אחר ושגוי.
תנו את התשובה ביחידות מעוקבות
רדיוס בסנטימטרים נותן נפח בסנטימטרים מעוקבים. השאירו את π במקומו, אלא אם ביקשו מספר עשרוני.
שש הנוסחאות, עם ערך מחושב
כל נוסחה ומה היא נותנת לדוגמה קטנה. שימו לב ל־1/3 בשני הגופים שמתחדדים.
| גוף | נוסחה | דוגמה | נפח מדויק | עשרוני |
|---|---|---|---|---|
| קובייה | s³ | s = 4 | 64 | 64 |
| תיבה | l · w · h | 2, 3, 4 | 24 | 24 |
| גליל | πr²h | r = 3, h = 5 | 45π | 141.3717 |
| כדור | 4/3 πr³ | r = 3 | 36π | 113.0973 |
| חרוט | 1/3 πr²h | r = 3, h = 4 | 12π | 37.6991 |
| פירמידה ריבועית | 1/3 s²h | s = 6, h = 4 | 48 | 48 |
| כדור | 4/3 πr³ | r = 2 | 32π/3 | 33.5103 |
| גליל | πr²h | r = 1/2, h = 4 | π | 3.1416 |
דוגמאות פתורות
כדור ברדיוס 3
plain
r = 3V = 4/3 πr³ = 4/3 · π · 27 = 36π, בערך 113.1. ה־27 וה־4/3 מצטמצמים כאן יפה, ולכן רדיוס 3 הוא הדוגמה שכל ספר לימוד משתמש בה. גם שטח הפנים שלו הוא 4πr² = 36π, צירוף מקרים שייחודי ל־r = 3.
חרוט ברדיוס 3 ובגובה 4
plain
r = 3, h = 4V = 1/3 πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π, בערך 37.7. השוו לגליל עם אותו בסיס ואותו גובה, שמכיל 36π: החרוט הוא בדיוק שליש. הקו היוצר שלו הוא √(3² + 4²) = 5, שהנפח לא צריך אבל שטח המעטפת כן.
קובייה בצלע 4
plain
s = 4V = s³ = 4³ = 64, ובלי π בשום מקום. שטח הפנים שלה הוא 6s² = 96, כי לקובייה יש שש פאות ריבועיות זהות. שתי התשובות הן מספרים שלמים, ולכן זו הדוגמה המועילה לבדיקת השיטה שלכם.
כשהתשובה שומרת שבר: כדור ברדיוס 2
plain
r = 2V = 4/3 · π · 8 = 32π/3, בערך 33.51. 3 לא מחלק את 32, ולכן התשובה המדויקת שומרת על השבר. כתיבת 33.5 מאבדת אותו, ובכל שאלה שממשיכה עם הערך הזה הטעות נגררת הלאה.
טעויות נפוצות
- שכחת ה־1/3 בחרוט או בפירמידה. התשובה יוצאת גדולה בדיוק פי שלושה, וזו הטעות הכי קלה לזהות ברגע שיודעים לחפש אותה.
- ערבוב יחידות. המירו קודם: רדיוס בסנטימטרים עם גובה במטרים מייצר מספר שאין לו שום משמעות.
- כפל לפני העלאה בריבוע. ב־πr²h הרדיוס הוא שמועלה בריבוע, לא המכפלה: π · (3 · 5)² היא כמות אחרת לגמרי.
- שימוש בקוטר במקום ברדיוס. זה מכפיל את r, ולכן מגדיל נפח של גליל פי ארבעה ושל כדור פי שמונה.
- בלבול בין נפח לשטח פנים. אחד הוא המקום שבפנים ויוצא ביחידות מעוקבות; השני הוא העטיפה ויוצא ביחידות רבועות.
- שימוש בקו היוצר בנפח של חרוט. הנפח צריך את הגובה המאונך; הקו היוצר מיועד לשטח המעטפת.
שאלות נפוצות על נפח
מה הנוסחה לנפח של גליל?
V = πr²h: שטח הבסיס העגול כפול הגובה. לרדיוס 3 ולגובה 5 זה π · 9 · 5 = 45π, בערך 141.37. העלו את הרדיוס בריבוע לפני הכפל בגובה.
מה הנפח של כדור?
V = 4/3 πr³. כדור ברדיוס 3 מכיל 4/3 · π · 27 = 36π, בערך 113.1. זו הנוסחה היחידה כאן שאי אפשר לקרוא כשטח בסיס כפול גובה, ולכן צריך לזכור אותה בעל פה.
למה יש 1/3 בנוסחאות של חרוט ופירמידה?
כי חרוט או פירמידה מכילים בדיוק שליש מהמנסרה עם אותו בסיס ואותו גובה. מזגו חרוט מלא לתוך גליל בגודל תואם והוא ימלא שליש ממנו: הגורם הוא עובדה על התחדדות, לא תיקון מאולתר.
באילו יחידות יוצא נפח?
באותה יחידה שבה נמדדו המידות, בחזקת שלוש. סנטימטרים נותנים סנטימטרים מעוקבים, מטרים נותנים מטרים מעוקבים. את כל המידות צריך להמיר לאותה יחידה לפני החישוב, אחרת התשובה חסרת משמעות.
איך מחשבים נפח של תיבה?
כופלים את שלוש המידות: V = l · w · h. זה שטח בסיס כפול גובה כמו בכל מנסרה, כי שטח הבסיס של תיבה הוא l · w. תיבה של 2 על 3 על 4 מכילה 24 יחידות מעוקבות.
מה ההבדל בין נפח לשטח פנים?
נפח הוא המקום שבפנים ונמדד ביחידות מעוקבות; שטח פנים הוא השטח הכולל של החוץ ונמדד ביחידות רבועות. הדף הזה מציג את שניהם בכל מקום ששטח הפנים מדויק: לקובייה, לתיבה, לגליל ולכדור.
מה זה הקו היוצר של חרוט?
המרחק מהקודקוד לאורך הצד המשופע עד השפה: √(r² + h²), לפי משפט פיתגורס על הרדיוס והגובה. הוא ארוך מהגובה, נוסחת שטח המעטפת צריכה אותו, ואין לו שום תפקיד בנפח.
למה להשאיר את π כסימן במקום לכפול אותו?
כי 45π מדויק ו־141.37 הוא עיגול. שאלות בחינה מבקשות לעתים קרובות תשובה במונחי π בדיוק כי אפשר לבדוק אותה בלי מחשבון, ועיגול מוקדם בבעיה רב־שלבית מאבד דיוק שהשלבים הבאים צריכים.
