הקלאסיקה: ניצבים 3 ו־4
plain
a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25, ו־√25 = 5 בדיוק. זה משולש 3-4-5, הקטן ביותר עם שלוש צלעות שלמות, וכדאי לזהות אותו במבט, כמו גם את הכפולות שלו 6-8-10 ו־9-12-15.
מחשבון משפט פיתגורס
שתי צלעות על משולש מצויר נותנות את השלישית, במדויק, כולל שורשים.
עדכון אחרון
רוצים לפתור את אלה בלי מחשבון?
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
סכום הריבועים על הניצבים שווה לריבוע על היתר
במשולש ישר זווית, ורק במשולש ישר זווית, a² + b² = c², כאשר c הוא היתר: הצלע שמול הזווית הישרה, ותמיד הארוכה מבין השלוש. הטענה עוסקת בשטחים: בנו ריבוע על כל אחת משתי הצלעות הקצרות, והשטח המשותף שלהם שווה בדיוק לשטח הריבוע שבנוי על הארוכה. לכן הכול מועלה בריבוע, ולכן התשובה צריכה שורש ריבועי בסוף.
הכיוון של החשבון תלוי באיזו צלע חסרה, ושם גרות רוב הטעויות. כשמחפשים את היתר, מחברים את שני הריבועים. כשמחפשים ניצב, מחסרים: a² = c² − b², כי הריבוע של היתר הוא הסכום הכולל והריבוע של הניצב הידוע הוא חלק ממנו. חיבור במקום חיסור נותן תשובה גדולה מהיתר, וזה בלתי אפשרי: בדיקה שימושית.
התשובות כאן מדויקות. היתר של משולש עם ניצבים 2 ו־3 הוא √13, וזה מה שהדף הזה מציג, עם 3.6056 לצדו, מסומן כעיגול שהוא. √20 מפושט ל־2√5 במקום להישאר כמו שהוא, ומשולש שכל שלוש צלעותיו יוצאות שלמות מסומן כשלשה פיתגורית.
למה לשים לב
- המשפט נכון רק במשולש ישר זווית. בכל משולש אחר, a² + b² ו־c² הם פשוט מספרים שונים; שם משפט הקוסינוסים הוא הגרסה הכללית.
- c הוא תמיד הצלע הארוכה ביותר. אם התשובה שלכם ליתר קטנה מניצב, חיבור הפך איפשהו לחיסור.
- מציאת ניצב היא חיסור. a² = c² − b² נובע ישירות מהמשפט, וזה המקרה שבו טועים הרבה יותר מאשר ביתר.
- רוב התשובות אי־רציונליות. משולשים עם שלוש צלעות שלמות, כמו 3-4-5 או 5-12-13, הם החריג, ולכן הצורה עם השורש חשובה.
- השטח של משולש ישר זווית הוא ab/2, שני הניצבים כפול זה בזה וחלקי שתיים. היתר לא מעורב: הניצבים כבר נפגשים בזווית ישרה, כך שאחד הוא הבסיס והשני הגובה.
- כל כפולה של שלשה היא שלשה. 3-4-5 כפול 3 נותן 9-12-15, ולכן אותם משולשים ספורים חוזרים שוב ושוב בתרגילים.
איך מוצאים צלע חסרה
זהו את היתר
זו הצלע שמול הזווית הישרה, והארוכה מבין השלוש. טעות כאן הופכת כל שלב אחריה לשגוי, אז סמנו אותה לפני שאתם מחשבים משהו.
החליטו אם מחברים או מחסרים
יתר חסר: מחברים את הריבועים של שני הניצבים. ניצב חסר: מחסרים את הריבוע של הניצב הידוע מהריבוע של היתר.
העלו בריבוע את הצלעות הידועות
קודם מעלים בריבוע, ואז מחברים או מחסרים. העלאה בריבוע אחרי חיבור, (a + b)², היא מספר אחר וגדול בהרבה.
הוציאו שורש ריבועי
זה מבטל את ההעלאה בריבוע ונותן את הצלע עצמה. אם היא לא יוצאת שלמה, פשטו את השורש במקום לעבור לשבר עשרוני: √20 הוא 2√5.
בדקו שהגודל הגיוני
היתר חייב להיות ארוך מכל אחד מהניצבים וקצר מסכומם. אם התשובה שלכם שוברת אחד מהכללים, החיבור והחיסור התחלפו.
משולשים ישרי זווית במבט אחד
השלשות שכדאי לשנן, ומה קורה כשהתשובה לא שלמה. העמודה המדויקת היא התשובה; השבר העשרוני הוא עיגול שלה.
| a | b | c | מדויק | שבר עשרוני |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
דוגמאות פתורות
יתר אי־רציונלי: ניצבים 2 ו־3
plain
a = 2, b = 34 + 9 = 13, ולכן היתר הוא √13. זו התשובה: 3.6056 הוא עיגול שלה, והעלאת 3.6056 בריבוע נותנת 12.9999… ולא 13. רוב המשולשים ישרי הזווית הם כמו זה; המקרים עם מספרים שלמים הם החריג.
פישוט השורש: ניצבים 2 ו־4
plain
a = 2, b = 44 + 16 = 20, ו־√20 לא נשאר כמו שהוא: 20 = 4 · 5, וה־4 יוצא מהשורש כ־2, כך שמתקבל 2√5. אותו מספר, בצורה שכל מחוון בדיקה מצפה לה.
מציאת ניצב: יתר 5, ניצב אחר 4
plain
b = 4, c = 5קודם מסדרים מחדש: a² = c² − b² = 25 − 16 = 9, ולכן a = 3. חיבור במקום זאת היה נותן √41 ≈ 6.4, ארוך מהיתר: בלתי אפשרי, וזו הבדיקה שתופסת את הטעות הזו מיד.
צלעות שבריות: ניצבים 3/2 ו־2
plain
a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4, והשורש הריבועי של 25/4 הוא בדיוק 5/2. שברים נשארים שברים לאורך כל הדרך, ולכן התשובה היא 5/2 ולא 2.5, אף ששניהם אותו מספר כאן.
טעויות נפוצות
- חיבור כשהצלע החסרה היא ניצב. הריבוע של היתר הוא הסכום הכולל, ולכן מציאת ניצב פירושה חיסור ממנו.
- העלאת הסכום בריבוע במקום חיבור הריבועים. a² + b² אינו (a + b)²; השני גדול יותר ב־2ab, שלעולם אינו אפס במשולש אמיתי.
- סימון הצלע הלא נכונה כיתר. היתר נמצא מול הזווית הישרה, לא פשוט הצלע ששורטטה אחרונה או זו שמימין.
- שכחת השורש הריבועי. 3² + 4² = 25 הוא הריבוע של התשובה, לא התשובה: היתר הוא 5, לא 25.
- שימוש במשפט על משולש בלי זווית ישרה. הוא נכון רק למשולשים ישרי זווית; כל השאר צריכים את משפט הקוסינוסים.
- עיגול שורש מוקדם מדי. √13 בריבוע הוא בדיוק 13, אבל 3.61 בריבוע הוא 13.0321, ובבעיה מרובת שלבים השגיאה הזו גדלה.
שאלות נפוצות על משפט פיתגורס
מהו משפט פיתגורס?
במשולש ישר זווית, a² + b² = c², כאשר a ו־b הן שתי הצלעות הקצרות (הניצבים) ו־c הוא היתר שמול הזווית הישרה. בקריאה כשטחים: לריבועים שבנויים על שני הניצבים יש יחד בדיוק את השטח של הריבוע שבנוי על היתר.
איך מוצאים את היתר?
מעלים את שני הניצבים בריבוע, מחברים ומוציאים שורש ריבועי: c = √(a² + b²). עבור ניצבים 3 ו־4 זה √25 = 5. אם השורש לא יוצא שלם, השאירו אותו כשורש מפושט: √20 הופך ל־2√5.
ואיך מוצאים ניצב?
מחסרים, לא מחברים: a² = c² − b², ולכן a = √(c² − b²). עם יתר 5 וניצב 4 זה √(25 − 16) = 3. זה המקרה שמשתבש הכי הרבה, והבדיקה היא שניצב חייב תמיד להיות קצר מהיתר.
מהי שלשה פיתגורית?
שלושה מספרים שלמים שמקיימים את המשפט: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. כל כפולה של שלשה היא גם שלשה, כך ש־6-8-10 ו־9-12-15 מגיעות בחינם עם 3-4-5. רוב המשולשים ישרי הזווית אינם שלשות, ולכן תשובות אי־רציונליות הן הנורמה.
האם המשפט עובד בכל משולש?
לא, רק במשולשים ישרי זווית. בכל משולש אחר הטענה הכללית היא משפט הקוסינוסים, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), שמצטמצם בדיוק למשפט פיתגורס כש־C היא 90° והקוסינוס שלה אפס.
למה הדף הזה שומר שורשים במקום שברים עשרוניים?
כי שורש הוא התשובה המדויקת ושבר עשרוני הוא עיגול שלה. √13 בריבוע הוא בדיוק 13; 3.61 בריבוע הוא 13.0321. בבעיה מרובת שלבים ההבדל הזה מצטבר, ורוב מחווני הבדיקה רוצים את הצורה המדויקת בכל מקרה.
איך בודקים אם משולש הוא ישר זווית?
בודקים את המשפט על שלוש הצלעות שיש לכם: אם a² + b² שווה בדיוק ל־c², כש־c הצלע הארוכה ביותר, למשולש יש זווית ישרה. אם האגף השמאלי גדול יותר הזווית חדה, ואם קטן יותר היא קהה: זה המשפט ההפוך, ובדיקה שימושית באמת.
האם המחשבון מטפל בשברים ובשברים עשרוניים?
כן, ושניהם נשארים מדויקים. ניצבים של 3/2 ו־2 נותנים יתר של בדיוק 5/2, וקלט עשרוני נקרא כשבר המדויק שהוא מייצג ולא כקירוב נקודה צפה שלו.
