Polski
Tabela odchyleń wiersz po wierszu, czyli ta część, za którą naprawdę dostaje się punkty.
Ostatnia aktualizacja
Kurs matematyki Coddy uczy samej metody: każdy krok robisz na interaktywnej tablicy i dowiadujesz się dokładnie, gdzie ruch poszedł nie tak.
Weź listę liczb i jej średnią. Każda wartość leży w pewnej odległości od tej średniej, a odchylenie standardowe to mniej więcej typowa wielkość tych odległości. Nie może to być ich zwykła średnia, bo odległości powyżej i poniżej średniej zawsze znoszą się dokładnie do zera. Dlatego każdą z nich najpierw podnosi się do kwadratu, kwadraty się uśrednia, a pierwiastek na końcu cofa potęgowanie, żeby wynik wrócił do pierwotnych jednostek.
To cały wzór, a część, za którą naprawdę dostaje się punkty, to środek: tabela, w której od każdej wartości odjęto średnią, a każdą z tych różnic podniesiono do kwadratu. Ta strona wypisuje tę tabelę w całości, razem z sumą, którą dzielą obie wariancje. Inne kalkulatory podają sigmę i na tym kończą, czyli podają jedyną część, którą uczeń mógłby policzyć telefonem.
Są dwa dzielniki i różnica ma znaczenie. Dziel sumę przez n, gdy twoje liczby SĄ całą grupą, czyli populacją. Dziel przez n − 1, gdy są próbą reprezentującą coś większego, bo średnia z próby leży odrobinę za blisko jej własnych wartości, a dzielenie przez liczbę o jeden mniejszą to rekompensuje. Oba wyniki są tu pokazane zawsze, więc dzielnik wybierasz ty, a nie strona.
Dodaj wszystkie wartości i podziel przez ich liczbę. Zachowaj dokładność: jeśli średnia wynosi 7/3, nie pisz 2.33, bo ten błąd zaraz zostanie podniesiony do kwadratu.
To są odchylenia. Niektóre są ujemne i to w porządku; dla sprawdzenia ich suma powinna wynosić dokładnie zero.
Kwadrat usuwa znaki i nadaje większą wagę dużym odległościom. Dodaj kwadraty: ta suma to suma kwadratów.
Przez n, jeśli te wartości to cała grupa, która cię interesuje; przez n − 1, jeśli to próba z czegoś większego. Wynik to wariancja.
To jest odchylenie standardowe. Ma te same jednostki co twoje pierwotne dane, czego nie można powiedzieć o wariancji.
Te same liczby przy obu dzielnikach. Zobacz, jak różnica między wynikami maleje, gdy lista się wydłuża.
| Wartości | Średnia | Suma kwadratów | σ (populacja) | s (próba) |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 32 | 2 | 2.138 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 5 | 1.118 | 1.291 |
| 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 | 18 | 210 | 5.123 | 5.477 |
| 3, 3, 3 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 14/3 | 1.106 | 1.528 |
| 5, 15 | 10 | 50 | 5 | 7.071 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 6 | 40 | 2.828 | 3.162 |
| 100, 100, 100, 200 | 125 | 7500 | 43.301 | 50 |
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9Suma ośmiu wartości to 40, więc średnia wynosi 5. Odchylenia to −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 (suma zero, jak być musi), a suma ich kwadratów to 32. Po podzieleniu przez n = 8 wariancja wynosi 4, a pierwiastek dokładnie 2. Dla próby byłoby to 32/7, co daje około 2.138.
1, 2, 3, 4Średnia to 2.5, a suma kwadratów 5. Po podzieleniu przez 4 wariancja wynosi 5/4, a odchylenie standardowe √5/2 ≈ 1.118; po podzieleniu przez 3 to 5/3 i około 1.291. Wynik dla próby jest zawsze większy, bo średnia z próby trzyma się jej własnych wartości odrobinę za blisko.
1, 2, 4Średnia to 7/3, a nie 2.33. Odchylenia to −4/3, −1/3 i 5/3, ich kwadraty to 16/9, 1/9 i 25/9, a ich suma 14/3. Zaokrąglenie średniej na początku wyrzuciłoby cyfrę, zanim w ogóle zaczęło się podnoszenie do kwadratu, dlatego każdy wiersz tabeli jest tu ułamkiem.
3, 3, 3Każde odchylenie wynosi zero, więc suma kwadratów to zero i odchylenie standardowe również. To jedyna sytuacja, w której odchylenie standardowe może wynosić zero: nie „liczby są małe”, tylko „wszystkie wartości są takie same”.
100, 100, 100, 200Trzy wartości są dokładnie takie same, a jedna nie, i odchylenie standardowe wynosi około 43, czyli więcej niż czwarta część całego rozstępu. Podnoszenie odległości do kwadratu nadaje tej jednej dalekiej wartości tak dużą wagę, i właśnie dlatego ta miara dobrze wyłapuje wartości odstające.
