Układ współrzędnych
Dwie osie liczbowe przecięte pod kątem prostym i nagle każda para liczb ma swoje miejsce. Ludzie mylą najczęściej dwie rzeczy: kolejność liczb w parze i to, która ćwiartka jest która. Obie warto przećwiczyć, a nie tylko o nich czytać.
Ostatnia aktualizacja
Przed układem współrzędnych prosta była czymś, co się rysuje, a okrąg czymś, co się mierzy. Po nim obie są równaniami, na których można liczyć. Całe rysowanie wykresów, a także większość tego, co zrobisz potem w algebrze, opiera się na jednym małym pomyśle: para liczb nazywa miejsce.
Kliknij w dowolnym miejscu siatki poniżej. Linie przerywane pokazują, jak powstaje para.
Kliknij gdziekolwiek. Linie przerywane pokazują, jak czyta się parę: najpierw wzdłuż osi x, potem w górę wzdłuż osi y.
Najpierw w bok, potem w górę
Każda z dwóch osi ma jedno zadanie. Oś x biegnie od lewej do prawej i mierzy, jak daleko w bok; oś y biegnie od dołu do góry i mierzy, jak daleko w górę. Miejsce, w którym się przecinają, to początek układu, czyli (0, 0): zero odległości w każdym kierunku.
Żeby nazwać punkt, podajesz dwie liczby w ustalonej kolejności: w bok, potem w górę. Czyli (3, 2) oznacza trzy w prawo i dwa w górę. Sam punkt nie mówi, która liczba jest która, więc tę informację niesie kolejność, i dlatego nazywamy je parami uporządkowanymi, a (3, 2) i (2, 3) to różne miejsca.
Jeśli ciągle ci się mylą, jeden trik zwykle zostaje w głowie: x jest w alfabecie przed y, więc jest pierwsze w parze.
Liczby ujemne po prostu odwracają kierunek. Ujemna współrzędna x oznacza ruch w lewo zamiast w prawo; ujemne y oznacza ruch w dół zamiast w górę. Poklikaj w lewej dolnej części siatki powyżej i zobacz, jak oba znaki razem stają się ujemne.
Cztery ćwiartki
Dwie osie dzielą płaszczyznę na cztery obszary, numerowane od prawego górnego, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara:
| ćwiartka | x | y | przykład |
|---|---|---|---|
| I | dodatnie | dodatnie | (3, 2) |
| II | ujemne | dodatnie | (-4, 1) |
| III | ujemne | ujemne | (-2, -3) |
| IV | dodatnie | ujemne | (4, -2) |
Kolejność przeciwna do ruchu wskazówek zegara wygląda na dziwny wybór, dopóki nie poznasz kątów, które też mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej części osi x. Obie konwencje zgadzają się celowo.
Nie ma piątego obszaru dla samych osi. Punkt taki jak (0, 3) leży na osi y, a punkt taki jak (-4, 0) na osi x; żaden nie jest w ćwiartce, bo osie są granicami. Widżet powyżej mówi to wprost, gdy klikniesz na osi, bo to przypadek, przy którym ludzie najczęściej zgadują.
Zaznaczanie całego zbioru punktów
Gdy pojedyncze punkty wychodzą już automatycznie, lista punktów zaczyna coś mówić. Oto cztery punkty zaznaczone w tym samym układzie:
Nie są rozrzucone: układają się w linię. To moment, w którym układ współrzędnych zaczyna na siebie zarabiać: wzór w liście liczb staje się kształtem, który widać, a kształt, który widać, zwykle da się zapisać równaniem. Tutaj każde y to połowa swojego x, więc prosta to y = 1/2x.
Rozwiąż jedno zadanie
Siatka jest powyżej, jeśli jej potrzebujesz, ale najpierw spróbuj umieścić ten punkt w głowie.
Ten punkt to (-3, 5), a pytanie celowo dotyczyło drugiej liczby, bo nawyk czytania pary po kolei to właśnie to, co warto w sobie wyrobić.
Częste pytania
- Co to jest układ współrzędnych?
- To dwie osie liczbowe przecięte pod kątem prostym: pozioma, nazywana osią x, i pionowa, nazywana osią y. Spotykają się w punkcie zwanym początkiem układu, czyli (0, 0). Każdy punkt na płaszczyźnie można wtedy nazwać parą liczb: jak daleko w bok i jak daleko w górę.
- Która liczba jest pierwsza w parze uporządkowanej?
- Zawsze współrzędna x. Para (3, 2) oznacza 3 w bok i 2 w górę, a nie odwrotnie. Niezawodny sposób, żeby to zapamiętać, to kolejność alfabetyczna: x jest w alfabecie przed y i jest pierwsze w parze. Słowo 'uporządkowana' w nazwie 'para uporządkowana' ma realne znaczenie: (3, 2) i (2, 3) to dwa różne punkty.
- Jak numeruje się cztery ćwiartki?
- Zaczyna się w prawym górnym rogu i idzie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: ćwiartka I to prawa górna, gdzie obie współrzędne są dodatnie, II to lewa górna (x ujemne, y dodatnie), III to lewa dolna (obie ujemne), a IV to prawa dolna (x dodatnie, y ujemne). Kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara wygląda na przypadkowy, ale zgadza się z kierunkiem, w którym mierzy się kąty, i dlatego warto nauczyć się go właśnie tak.
- W której ćwiartce leży punkt na osi?
- W żadnej. Osie są granicami między ćwiartkami, a nie częścią którejś z nich, więc o punkcie takim jak (0, 3) albo (-4, 0) mówi się, że leży na osi y albo na osi x, a nie w ćwiartce. Początek układu leży na obu osiach.
- Dlaczego nazywa się go układem kartezjańskim?
- Od Kartezjusza (René Descartes), który w 1637 roku opublikował pomysł nazywania punktów parami liczb. To jedna z najbardziej użytecznych idei w matematyce: zamienia geometrię w algebrę. Prosta przestaje być rysunkiem i staje się równaniem, a to pozwala na niej liczyć.
