Kwadraty liczb
Kwadrat liczby to nie liczba z tajemniczą własnością, którą trzeba sprawdzać w tabelce. To liczba rzeczy, które da się ułożyć w prawdziwy kwadrat, i cała reszta wynika właśnie z tego.
Ostatnia aktualizacja
"Liczba kwadratowa" brzmi jak etykieta, którą ktoś przykleił do listy liczb, a ty masz ją teraz wykuć na pamięć. Tak nie jest. Nazwa opisuje kształt, a kiedy już widzisz ten kształt, listy nie trzeba się uczyć na pamięć.
Przesuń suwak. Patrz, co dochodzi za każdym razem.
Przesuń suwak o jeden krok. Zacieniowane L to to, co zostało dodane: policz je, a masz różnicę między dwoma kolejnymi kwadratami.
Nazwa jest dosłowna
6^2 = 36 nie znaczy "6 przeszło przez operację podnoszenia do kwadratu". Znaczy: weź 36 kwadracików jednostkowych, a ułożysz z nich kwadrat o boku 6. Weź 35 i się nie da: zawsze zostanie dziura albo coś wystanie. To cała definicja i właśnie dlatego mówimy "kwadrat", a nie używamy jakiegoś abstrakcyjnego słowa.
Przeczytaj ten sam obrazek od końca, a dostaniesz pierwiastki kwadratowe. sqrt(36) = 6 to pytanie "jeśli 36 kwadracików tworzy kwadrat, to jaki długi jest jego bok?". Liczba ma pierwiastek kwadratowy będący liczbą całkowitą dokładnie wtedy, gdy jest kwadratem, i dlatego obu tematów zawsze uczy się razem.
Lista, którą warto znać
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Dwadzieścia pozycji wystarcza praktycznie do każdego zadania szkolnego, bo zadania układa się od końca, zaczynając od wyników, które łatwo sprawdzić.
Odstępy to liczby nieparzyste
Do tego właśnie służy suwak. Przesuń go z 5 na 6 i policz zacienione L, które się pojawia: pięć kwadracików wzdłuż nowego boku, pięć wzdłuż nowej góry i jeden w rogu. Jedenaście.
Ogólnie przejście od n^2 do (n+1)^2 dokłada 2n+1 kwadracików, zawsze nieparzystą liczbę. Różnice między kolejnymi kwadratami wynoszą więc 3, 5, 7, 9, 11, 13 …, a dodawanie kolejnych liczb nieparzystych daje po kolei kolejne kwadraty:
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
To także naprawdę szybki sposób na rozszerzanie tabeli w pamięci. Jeśli wiesz, że 14^2 = 196, a chcesz 15^2, dodaj 2*14 + 1 = 29: 225.
Jak rozpoznać kwadrat bez kalkulatora
Dwa filtry załatwiają większość pracy.
Spójrz na ostatnią cyfrę. Kwadrat dowolnej liczby kończy się cyfrą 0, 1, 4, 5, 6 lub 9, nigdy 2, 3, 7 ani 8. Zatem 4398 nie jest kwadratem i nie trzeba było nic liczyć. To nie przypadek: ostatnia cyfra iloczynu zależy tylko od ostatnich cyfr mnożonych liczb, a kwadraty cyfr od 0 do 9 kończą się wyłącznie tymi sześcioma cyframi.
Potem ją otocz. 200 leży między 14^2 = 196 a 15^2 = 225, więc nie ma już liczby całkowitej, której kwadratem mogłoby być. Żadna liczba leżąca ściśle między dwoma kolejnymi kwadratami nie jest kwadratem.
Dlaczego ciągle się pojawiają
Kwadraty liczb sprawiają, że niektóre wyrażenia kwadratowe ładnie rozkładają się na czynniki, a inne nie. x^2 - 49 rozkłada się jako różnica kwadratów, bo 49 jest kwadratem; x^2 - 50 już nie. To one pozwalają też upraszczać pierwiastki: sqrt(75) zamienia się w 5sqrt(3) właśnie dlatego, że w 75 ukrywa się kwadrat 25.
Twoja kolej
I jeszcze jedno zadanie w drugą stronę: równanie zamiast odczytu z tabeli. Zauważ, że ma dwa rozwiązania, a właśnie o tym najczęściej zapomina się przy pierwiastkach:
Zarówno 7, jak i -7 podniesione do kwadratu dają 49, więc obie liczby są rozwiązaniami. Symbol sqrt(49) oznacza tylko tę dodatnią: to umowa dotycząca symbolu, a nie fakt dotyczący równania.
Częste pytania
- Co to jest liczba kwadratowa?
- Liczba całkowita, którą dostajesz, mnożąc jakąś liczbę całkowitą przez nią samą. 9 jest kwadratem, bo 3 razy 3 to 9; 10 już nie, bo żadna liczba całkowita pomnożona przez siebie nie daje 10. Nazwa jest dosłowna: dokładnie tyle kwadracików jednostkowych da się ułożyć w kwadrat.
- Jakie są kwadraty liczb od 1 do 100?
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 i 100, czyli kwadraty liczb od 1 do 10. Dalej, powyżej 100, są 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 i 400. To prowadzi do 20 do kwadratu i pokrywa prawie wszystko, o co pytają zadania szkolne.
- Jak sprawdzić, czy liczba jest kwadratem liczby całkowitej?
- Dwa szybkie filtry, a potem jedno sprawdzenie. Kwadrat nigdy nie kończy się cyfrą 2, 3, 7 ani 8, więc takie liczby odpadają od razu. Jeśli liczba przejdzie ten test, znajdź najbliższy kwadrat, który znasz: 200 leży między 196 a 225, więc kwadratem nie jest. Pierwiastek trzeba liczyć dopiero wtedy, gdy liczba przejdzie oba filtry.
- Dlaczego odstępy między kolejnymi kwadratami to liczby nieparzyste?
- Powiększenie kwadratu o boku n do kwadratu o boku n+1 to dołożenie paska wzdłuż jednego boku, paska wzdłuż góry i jednego kwadracika w rogu: n + n + 1, a to zawsze liczba nieparzysta. Dlatego różnice wynoszą 3, 5, 7, 9 i tak dalej, a dodawanie kolejnych liczb nieparzystych daje po kolei kolejne kwadraty.
- Czy 0 jest kwadratem liczby?
- Tak. 0 razy 0 to 0, więc zero dokładnie pasuje do definicji. Niektóre szkolne listy zaczynają się od 1, bo kwadrat o boku zero trudno sobie wyobrazić, ale nic w definicji go nie wyklucza, a traktowanie 0 jako kwadratu porządkuje dalszą algebrę.
Chcesz to policzyć na własnych liczbach?
Kalkulator równań Otwórz kalkulator