Rozszerzanie i skracanie ułamków
Dwa ułamki bez żadnej wspólnej cyfry mogą oznaczać tę samą ilość. Brzmi to jak sztuczka, dopóki raz nie zobaczysz tego jako długości, a potem przestaje w ogóle dziwić.
Ostatnia aktualizacja
Zapytaj kogoś, czy 2/3 i 8/12 to ta sama liczba, a zwykle usłyszysz chwilę ciszy. Nic w nich nie wygląda podobnie: ani licznik, ani mianownik, ani wielkość cyfr. A jednak to dokładnie ta sama ilość, bez żadnego zaokrąglania.
Powód łatwiej zobaczyć, niż wyrazić słowami, więc oto on jako długość.
Linia przerywana nigdy się nie przesuwa. Pocięcie tej samej długości na więcej kawałków zmienia obie liczby, a nie zmienia tego, ile jest zacieniowane.
Zacieniowana długość się nie zmienia
Górny pasek jest pocięty na 3 kawałki, z których 2 są zacieniowane. Dolny pasek to ten sam pasek pocięty na 6 kawałków, z których 4 są zacieniowane. Zwiększ mnożnik, a dolny pasek zostanie pocięty na 9, potem 12, potem 15 kawałków, a przerywana linia ani drgnie.
Ta linia to cała idea. Ułamek to długość, a dwie liczby to tylko opis tego, jak ją pocięto. Mianownik mówi, na ile kawałków pocięto całość; licznik mówi, ile z nich wzięto. Przetnij każdy kawałek na pół, a masz dwa razy więcej kawałków, każdy o połowę mniejszy, i wziętych jest dwa razy więcej. Dwie zmiany, które się znoszą.
Zatem 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12, a ta lista się nie kończy: każdy ułamek ma nieskończenie wiele równych mu postaci.
Rozszerzanie: pomnóż licznik i mianownik przez tę samą liczbę
Żeby zapisać ułamek inaczej, pomnóż obie części przez tę samą liczbę:
2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12
Liczbę wybierasz dowolnie, a w prawdziwych zadaniach wybiera się ją z konkretnego powodu, zwykle dlatego, że potrzebny jest określony mianownik. Jeśli zadanie wymaga zapisania trzecich części w dwunastych, mnożnik to 4, bo 3*4 = 12.
Jedyna zasada, która się liczy: obie części albo żadna. Pomnożenie samego licznika daje 8/3, czyli cztery razy za dużo. Przesuń górny suwak na rysunku powyżej i zobacz, jak przerywana linia skacze: to właśnie robi zmiana jednej liczby osobno.
Dzielenie działa tak samo, tylko w odwrotną stronę. 8/12 po podzieleniu licznika i mianownika przez 4 to 2/3 i znowu nic się nie przesunęło.
Czytanie wstecz: skracanie do postaci nieskracalnej
Schodzenie w dół listy zamiast w górę nazywa się skracaniem i w tej postaci oczekuje się prawie każdego wyniku. Podziel licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik:
| ułamek | wspólny dzielnik | postać nieskracalna |
|---|---|---|
| 8/12 | 4 | 2/3 |
| 15/25 | 5 | 3/5 |
| 6/9 | 3 | 2/3 |
| 14/21 | 7 | 2/3 |
| 9/12 | 3 | 3/4 |
Ułamek jest nieskracalny, gdy jedyną liczbą naturalną, przez którą dzielą się obie części, jest 1. Zwróć uwagę, że trzy różnie wyglądające ułamki z tej tabeli skracają się do 2/3, i o to właśnie chodzi: od początku były tą samą ilością, zapisaną przy innym pocięciu.
Jeśli wspólny dzielnik nie jest oczywisty, można skracać etapami. 24/36 jest parzyste, więc podziel obie liczby przez 2 i dostaniesz 12/18; jeszcze raz przez 2 i jest 6/9; potem podziel przez 3 i jest 2/3. Dojście do wyniku w trzech łatwych krokach nie jest gorsze niż w jednym sprytnym.
Po co to w ogóle
Równe ułamki nie są osobnym tematem. Istnieją, bo bez nich nie da się dodawać ułamków.
1/2 + 1/3 nie da się policzyć, bo połówka i jedna trzecia to kawałki różnej wielkości. Zapisz oba ułamki w szóstych częściach, 1/2 = 3/6 i 1/3 = 2/6, a teraz są to kawałki jednej wielkości, więc po prostu się dodają: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Każde sprowadzenie do wspólnego mianownika, jakie kiedykolwiek wykonasz, to zapisanie dwóch równych ułamków. Dlatego ta idea jest pierwsza.
Rozwiąż jedno zadanie
Jeśli wyszło ci 9/12, skracanie zatrzymało się po podzieleniu przez 2: 9 i 12 nadal mają wspólny dzielnik 3. Skracaj dalej, aż jedyną liczbą, przez którą dzielą się obie, będzie 1.
Częste pytania
- Co to są ułamki równe?
- Dwa ułamki są równe, gdy opisują tę samą ilość, choć liczby wyglądają inaczej. 2/3 i 8/12 są równe: pokrój pasek na 3 kawałki i zacieniuj 2 albo pokrój ten sam pasek na 12 kawałków i zacieniuj 8, a zacieniowana część sięgnie dokładnie w to samo miejsce.
- Jak rozszerzyć ułamek?
- Pomnóż licznik i mianownik przez tę samą liczbę. 2/3 zmienia się w 4/6 (razy 2), 6/9 (razy 3), 8/12 (razy 4) i tak dalej bez końca. Pomnożenie obu części przez tę samą liczbę to to samo co pocięcie każdego kawałka na tyle mniejszych kawałków: zmienia się liczba kawałków, ale nie to, ile masz.
- Dlaczego nie można pomnożyć samego licznika?
- Bo licznik liczy kawałki, a mianownik mówi, jak duży jest kawałek. Zmiana samego licznika oznacza wzięcie większej liczby kawałków tej samej wielkości, a to naprawdę jest więcej. Trzeba jednocześnie zmienić wielkość kawałka, a robi to pomnożenie mianownika przez tę samą liczbę.
- Jak skrócić ułamek do postaci nieskracalnej?
- Podziel licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik. Dla 8/12 ten dzielnik to 4, więc 8/12 zmienia się w 2/3. Ułamek jest nieskracalny, gdy jedyną liczbą, przez którą dzielą się obie części, jest 1, i w tej postaci oczekuje się prawie każdego wyniku.
- Do czego służy rozszerzanie ułamków?
- Do dodawania i odejmowania. Kawałków różnej wielkości nie da się policzyć razem, więc 1/2 + 1/3 nigdzie nie prowadzi, dopóki oba ułamki nie zostaną zapisane z tym samym mianownikiem: 3/6 + 2/6 = 5/6. Każde takie przepisanie to rozszerzenie ułamka, więc na tej idei opiera się cała arytmetyka ułamków.
Chcesz to policzyć na własnych liczbach?
Kalkulator ułamków Otwórz kalkulator