Okrąg jednostkowy
Okrąg jednostkowy, nazywany też kołem trygonometrycznym, to okrąg o promieniu 1 ze środkiem w początku układu współrzędnych. Punkt na nim przy każdym kącie to (cos, sin), więc jeden rysunek mieści każdą szczególną wartość sinusa, cosinusa i tangensa.
Ostatnia aktualizacja
Ten rysunek podaje sinus i cosinus dla wszystkich szesnastu kątów szczególnych, w stopniach i w radianach. Przełącz go, żeby pokazywał też tg, albo na puste koło trygonometryczne, które możesz wydrukować i uzupełnić.
Koło trygonometryczne ze stopniami i radianami
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych
Każda wartość z rysunku w jednej tabeli. Tangens to sinus podzielony przez cosinus, więc nie ma wartości tam, gdzie cos wynosi 0.
| Stopnie | Radiany | cos | sin | tg |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | nie istnieje |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | nie istnieje |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
Dlaczego punkt to (cos, sin)
Przeciągnij punkt po okręgu i obserwuj dwa przerywane odcinki.
Przeciągnij punkt. Zielony odcinek to cos, a czerwony to sin, i dlatego punkt to (cos, sin).
Okrąg ma promień 1 i w tym cały sekret. Poprowadź ze środka odcinek do okręgu pod jakimś kątem, a potem z tego punktu pionowy odcinek do osi x. Masz teraz trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna jest promieniem, więc przeciwprostokątna wynosi 1.
W tym trójkącie cosinus to przyprostokątna przyległa przez przeciwprostokątną. Przyległa przyprostokątna jest pozioma, a przeciwprostokątna wynosi 1, więc cosinus jest poziomą przyprostokątną. Tak samo sinus jest pionową przyprostokątną. Punkt to więc (cos(x), sin(x)): najpierw odległość w poziomie, potem w pionie, x przed y.
Trzy liczby, których naprawdę potrzebujesz
Pierwsza ćwiartka zawiera każdą wartość, której używa okrąg:
| kąt | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | √3/2 | 1/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | 1/2 | √3/2 |
Trzy różne wartości: 1/2, √2/2 i √3/2. Zauważ, że 30° i 60° mają tę samą parę, tylko zamienioną. Te kąty sumują się do 90°, więc ich trójkąty to ten sam trójkąt widziany z drugiego końca.
Znaki funkcji trygonometrycznych w ćwiartkach
Każdy kąt poza pierwszą ćwiartką używa jednej z tych trzech liczb ze znakiem. Żeby ją znaleźć, weź kąt odniesienia, czyli kąt między odcinkiem a osią x: do 180° brakuje 150° jeszcze 30°, więc jego kąt odniesienia to 30°, a jego wartości to wartości 30° z nowymi znakami.
Znaki wynikają z tego, gdzie leży punkt. Cos to odległość w poziomie, więc jest ujemny na lewej połowie okręgu. Sin to odległość w pionie, więc jest ujemny na dolnej połowie. Rysunek oznacza każdą ćwiartkę znakami (cos, sin):
| ćwiartka | kąty | cos | sin | tg |
|---|---|---|---|---|
| I | od 0° do 90° | + | + | + |
| II | od 90° do 180° | − | + | − |
| III | od 180° do 270° | − | − | + |
| IV | od 270° do 360° | + | − | − |
Zatem 150° to (−√3/2, 1/2), a 210°, którego kąt odniesienia to też 30°, to (−√3/2, −1/2).
Okrąg jednostkowy w radianach
Pełny obrót to 360° i zarazem 2π radianów, bo obwód okręgu o promieniu 1 wynosi 2π: jeden radian to łuk o długości jednego promienia. Pół obrotu to 180° albo π.
Stąd kąty szczególne to ułamki pół obrotu. 30° to szósta część 180°, czyli π/6; 45° to ćwierć, π/4; 60° jedna trzecia, π/3. Mianownik mówi, ile takich kątów mieści się w pół obrotu, a licznik je liczy: 150° to pięć szóstych pół obrotu, 5π/6.
Tangens na kole trygonometrycznym
Tangens to stosunek sin(x)/cos(x), czyli nachylenie odcinka od środka do punktu. Przy 45° sin i cos są równe, więc tg wynosi dokładnie 1. Przy 30° to √3/3, a przy 60° √3.
Przy 90° punkt leży prosto w górze, w (0, 1), więc cos wynosi 0, a tg nie istnieje: nie ma liczby równej 1 podzielone przez 0, a pionowa prosta nie ma nachylenia. To samo dzieje się przy 270°. Wszędzie indziej tg trzyma się zasady znaków: jest dodatni tam, gdzie sin i cos mają ten sam znak (ćwiartki I i III), a ujemny tam, gdzie się różnią. Wersja rysunku z tg pokazuje każdą wartość.
Quiz i ćwiczenia z koła trygonometrycznego
Przełącz przeciągany okrąg powyżej na Sprawdź mnie: ukryje wartości, ty je podasz, a potem sprawdzisz. Albo odpowiedz z pamięci na to pytanie:
Żeby poćwiczyć na papierze, wydrukuj pusty rysunek i uzupełnij wszystkie szesnaście punktów. Kiedy zrobisz to w mniej niż dwie minuty bez podglądania, znasz okrąg jednostkowy.
Częste pytania
- Co to jest okrąg jednostkowy?
- To okrąg o promieniu 1 ze środkiem w początku układu współrzędnych. Poprowadź ze środka półprostą pod pewnym kątem i zaznacz, gdzie przecina okrąg: współrzędne tego punktu to dokładnie (cosinus kąta, sinus kąta). Okrąg zamienia więc pytanie o trójkąty w pytanie o współrzędne, a to dużo łatwiej sobie wyobrazić.
- Jakie są wartości na kole trygonometrycznym?
- Dla szesnastu kątów szczególnych każda współrzędna to 0, 1/2, √2/2, √3/2 albo 1, ze znakiem. W pierwszej ćwiartce: 30° to (√3/2, 1/2), 45° to (√2/2, √2/2), a 60° to (1/2, √3/2). Każdy inny kąt szczególny powtarza jedną z tych par ze znakami swojej ćwiartki. Tabela na tej stronie podaje wszystkie szesnaście, razem z tg.
- Czy jest koło trygonometryczne do druku albo puste?
- Tak. Rysunek na górze tej strony można pobrać jako PDF w formacie Letter albo jako PNG, w trzech wersjach: ze współrzędnymi, ze współrzędnymi i tg oraz pusty. Pusty zachowuje okrąg, osie i szesnaście punktów, żebyś sam wpisał każdy opis.
- Dlaczego punkt na okręgu to (cos, sin), a nie (sin, cos)?
- Bo cosinus mierzy odległość w poziomie, a współrzędna x jest pozioma. Poprowadź z punktu pionowy odcinek do osi x, a dostaniesz trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 1. Pozioma przyprostokątna przylega do kąta, więc to cos przez 1, czyli po prostu cos. Pionowa przyprostokątna leży naprzeciw kąta, więc to sin.
- Jak zapamiętać koło trygonometryczne?
- Naucz się trzech liczb i jednej zasady. Liczby to 1/2, √2/2 i √3/2, wartości z pierwszej ćwiartki. Zasada dotyczy znaku: cos jest ujemny na lewej połowie okręgu, a sin na dolnej. Każdy inny kąt ma wartość z pierwszej ćwiartki z tymi znakami, którą znajdziesz przez jego kąt odniesienia.
- Jak zamienić stopnie na radiany?
- Pełny obrót to 360 stopni i zarazem 2π radianów, więc pół obrotu to 180 stopni i π radianów. Pomnóż stopnie przez π/180, żeby dostać radiany, albo radiany przez 180/π, żeby dostać stopnie. Zatem 30° to π/6, 45° to π/4, 60° to π/3, a 90° to π/2.
- Dlaczego tangens 90 stopni nie istnieje?
- Tangens to sinus podzielony przez cosinus. Przy 90° punkt leży prosto w górze, w (0, 1), więc cos wynosi 0, a przez 0 dzielić nie można. To samo dzieje się przy 270°. Widać to też na okręgu: tg to nachylenie odcinka ze środka, a pionowa prosta nie ma nachylenia.
