Okrąg jednostkowy
Jeden okrąg o promieniu 1 i każda wartość sinusa, cosinusa i tangensa, jaką kiedykolwiek każą ci zapamiętać. Przeciągnij kąt i zobacz, skąd biorą się liczby.
Ostatnia aktualizacja
Prawie wszystko, co w trygonometrii wydaje się trudne, to tak naprawdę problem z pamięcią: za dużo wartości, za dużo znaków i brak sposobu, żeby sprawdzić, czy to, co właśnie zapisujesz, ma sens. Okrąg jednostkowy to rozwiązanie. To jeden obrazek, który mieści każdą potrzebną wartość i sprawia, że zły znak od razu wygląda źle.
Przeciągnij punkt poniżej. Obserwuj dwie przerywane przyprostokątne, gdy okrążasz środek.
Przeciągnij punkt. Zielony odcinek to cos, czerwony to sin, i dlatego punkt to (cos, sin).
Dlaczego punkt to (cos, sin)
Okrąg ma promień 1 i na tym polega cały trik.
Poprowadź ze środka odcinek do okręgu pod jakimś kątem, a potem z tego punktu opuść pionowy odcinek na oś x. Masz teraz trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna jest promieniem, więc ma długość 1.
W tym trójkącie cosinus to przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną. Przyprostokątna przy kącie jest pozioma, a przeciwprostokątna ma długość 1, więc cosinus jest poziomą przyprostokątną: dzielenie przez 1 niczego nie zmienia. Ten sam argument sprawia, że sinus to pionowa przyprostokątna.
Współrzędne punktu to więc dokładnie (cos(x), sin(x)): najpierw odległość w poziomie, potem w pionie. Dlatego zielona przyprostokątna na rysunku jest podpisana cos, a czerwona sin, i dlatego cosinus stoi na pierwszym miejscu: x przed y, poziom przed pionem.
Tangens to ta trzecia funkcja i nie jest długością na rysunku: to stosunek sin(x)/cos(x), czyli współczynnik kierunkowy narysowanego odcinka.
Trzy liczby, których naprawdę potrzebujesz
Ustaw na rysunku po kolei 30, 45 i 60 stopni i spójrz na wartości:
| kąt | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | sqrt(3)/2 | 1/2 |
| 45° | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 |
| 60° | 1/2 | sqrt(3)/2 |
Trzy różne wartości, 1/2, sqrt(2)/2 i sqrt(3)/2, a do tego 30° i 60° to ta sama para zamieniona miejscami. To nie przypadek: te dwa kąty dają razem 90°, więc ich trójkąty to ten sam trójkąt oglądany z drugiego końca.
Wszystko w trzech pozostałych ćwiartkach to jedna z tych trzech liczb ze znakiem z przodu. O znaku decyduje to, gdzie jesteś, i można go odczytać wprost z rysunku: cosinus to odległość w poziomie, więc jest ujemny w lewej połowie okręgu. Sinus to odległość w pionie, więc jest ujemny w dolnej połowie. Nie ma czego zapamiętywać: wystarczy spojrzeć, w którą stronę wskazuje przyprostokątna.
Stopnie i radiany to ten sam kąt
Przełącz rysunek na radiany i znów przeciągnij punkt dookoła. Na obrazku nic się nie zmienia; zmienia się tylko podpis.
Pełny obrót to 360°, a także 2pi radianów, bo obwód okręgu o promieniu 1 wynosi 2pi, więc "jeden radian" oznacza "łuk o długości jednego promienia". Pół obrotu to 180° albo pi. Stąd kąty szczególne to oczywiste części półobrotu: 30° to jedna szósta 180°, więc to pi/6; 45° to jedna czwarta, pi/4; 60° jedna trzecia, pi/3.
Radiany wyglądają na trudniejsze, a w rzeczywistości są łatwiejsze, bo mianownik mówi, ile razy dany kąt mieści się w półobrocie.
Gdzie tangens się psuje
Przeciągnij do 90°, a odczyt tangensa pokaże, że wartość nie istnieje. To nie ograniczenie widżetu, tylko arytmetyka. Dla 90° punkt jest dokładnie na górze, w (0, 1), więc cos(x) wynosi 0, a tangens to sin(x)/cos(x). Nie ma liczby równej 1 podzielone przez 0.
To samo dzieje się dla 270°. Wszędzie indziej tangens to zupełnie zwyczajna liczba, a dla 45° wynosi dokładnie 1. To ma sens, bo sinus i cosinus są tam równe, a każda liczba podzielona przez siebie daje 1.
Twoja kolej
Odłóż na chwilę rysunek i odpowiedz z pamięci. Jeśli się pomylisz, okrąg jest tuż obok.
Jeśli trzeba było zajrzeć, to cenna informacja: obrazek nie stał się jeszcze automatyczny, a przećwiczenie kilkunastu takich pytań właśnie to naprawia.
Częste pytania
- Co to jest okrąg jednostkowy?
- To okrąg o promieniu 1 ze środkiem w początku układu współrzędnych. Jego przydatność wynika z jednego faktu: jeśli poprowadzisz ze środka półprostą pod pewnym kątem i zaznaczysz, gdzie przecina okrąg, współrzędne tego punktu to dokładnie (cosinus kąta, sinus kąta). Okrąg zamienia więc pytanie o trójkąty w pytanie o współrzędne, a to dużo łatwiej sobie wyobrazić.
- Dlaczego punkt na okręgu to (cos, sin), a nie (sin, cos)?
- Bo cosinus mierzy odległość w poziomie, a współrzędna x jest właśnie pozioma. Poprowadź z punktu pionowy odcinek do osi x, a powstanie trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 1. Pozioma przyprostokątna leży przy kącie, więc równa się cosinus razy 1, czyli po prostu cosinus. Pionowa leży naprzeciw kąta, więc to sinus. Współrzędna x to zatem cosinus, a y to sinus, w tej kolejności.
- Czy trzeba zapamiętać cały okrąg jednostkowy?
- Nie, a próba zapamiętania to typowy błąd. Potrzebne są tylko trzy wartości, 1/2, √2/2 i √3/2, oraz jedna zasada dotycząca znaków. Wszystko inne to te trzy liczby z plusem albo minusem z przodu, zależnie od ćwiartki, w której jesteś. Naucz się pierwszej ćwiartki i zasady znaków, a masz wszystkie szesnaście kątów.
- Jak zamieniać stopnie na radiany?
- Pełny obrót to 360 stopni, a zarazem 2π radianów, więc pół obrotu to 180 stopni i π radianów. Stąd przelicznik: pomnóż stopnie przez π/180, żeby dostać radiany, albo radiany przez 180/π, żeby dostać stopnie. W praktyce rzadko trzeba to liczyć: 30, 45, 60 i 90 stopni to π/6, π/4, π/3 i π/2, a każdy inny kąt szczególny jest ich wielokrotnością.
- Dlaczego tangens nie istnieje dla 90 stopni?
- Bo tangens to sinus podzielony przez cosinus, a dla 90 stopni cosinus wynosi 0. Dzielenie przez zero nie daje liczby, więc tangens nie ma tam wartości. Na wykresie tangensa widać to jako asymptotę pionową: gdy kąt zbliża się do 90 stopni, wartość ucieka w nieskończoność i nigdzie nie dociera.
