Polski
Metoda przeciwnych współczynników krok po kroku, z obiema prostymi na wykresie i zaznaczonym punktem przecięcia.
Ostatnia aktualizacja
Kurs matematyki Coddy uczy samej metody: każdy krok robisz na interaktywnej tablicy i dowiadujesz się dokładnie, gdzie ruch poszedł nie tak.
Dwa równania z x i y to dwie proste na tej samej płaszczyźnie. Para (x, y), która spełnia oba równania, to punkt leżący na obu prostych, czyli ich punkt przecięcia. To cała idea i wyjaśnia ona każdy przypadek naraz: proste przecinające się raz dają jedno rozwiązanie, proste równoległe nie dają żadnego, a jedna prosta narysowana dwa razy daje nieskończenie wiele.
Metoda przeciwnych współczynników i metoda podstawiania to po prostu sposoby znalezienia punktu przecięcia bez rysowania. Ta strona robi obie połowy: rysunek, na którym widać, co oznacza wynik, i metodę przeciwnych współczynników rozpisaną linijka po linijce, z której widać, jak go znaleziono. Większość kalkulatorów daje jedno albo drugie.
Dwa szczególne przypadki są nazwane, a nie zgłaszane jako porażki. „Brak rozwiązań” i „nieskończenie wiele rozwiązań” to prawdziwe odpowiedzi o prawdziwym znaczeniu, a kalkulator, który przy nich rozkłada ręce, uczy bać się takiego pytania. Tutaj rodzaj układu jest ustalany na podstawie współczynników, więc strona powie ci, z którym przypadkiem masz do czynienia, nawet gdy nie ma jednej pary do wypisania.
Zapisz je jak na papierze: 2x + y = 5 w pierwszej linii, x - y = 1 w drugiej. Ułamki i ułamki dziesiętne we współczynnikach są w porządku.
Para jest na górze. Pod nią jedno zdanie mówi, czym układ jest geometrycznie: jednym punktem przecięcia, prostymi równoległymi albo tą samą prostą zapisaną dwa razy.
Proste są narysowane z zaznaczonym punktem przecięcia. Jeśli wynik cię zaskakuje, rysunek zwykle wyjaśnia go szybciej niż algebra.
Ponumerowane kroki pokazują, którą niewiadomą usunięto, w jaki sposób i co zostało. To właśnie metodę masz odtworzyć w zadaniu.
Każdy układ 2x2 to jeden z nich, a który, widać po prostych, zanim zrobisz jakąkolwiek algebrę.
| Przypadek | Proste | Przykład |
|---|---|---|
| Jedno rozwiązanie (układ oznaczony) | Przecinają się raz | 2x + y = 5, x - y = 1 → (2, 1) |
| Brak rozwiązań (układ sprzeczny) | Równoległe, różne wyrazy wolne | x + y = 3, x + y = 5 |
| Nieskończenie wiele (układ nieoznaczony) | Ta sama prosta dwa razy | x + y = 3, 2x + 2y = 6 |
| Tylko jedno równanie | Cała prosta rozwiązań | 2x + 3y = 7 |
| Trzy niewiadome | Płaszczyzny, nie proste | x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2 |
2x + y = 5; x - y = 1Dodanie równań od razu usuwa y, bo +y i -y się znoszą: 3x = 6, więc x = 2, a potem y = 1 z dowolnego równania. Rysunek pokazuje dwie proste przecinające się w (2, 1): jeden punkt, jedna odpowiedź.
x + y = 3; x + y = 5Odejmij, a otrzymasz 0 = -2, czego nie naprawi żadna para liczb. To nie porażka kalkulatora, tylko odpowiedź. Proste mają ten sam współczynnik kierunkowy i różne wyrazy wolne, więc nigdy się nie spotykają, a układ nie ma rozwiązań.
x + y = 3; 2x + 2y = 6Drugie równanie to pierwsze pomnożone przez 2, więc rysuje tę samą prostą. Każdy punkt tej prostej spełnia oba równania, co oznacza nieskończenie wiele rozwiązań. Na rysunku widać tylko jedną prostą, bo jest tylko jedna.
x + y + z = 6; x - y = 0; z = 2Podstawienie z = 2 i x = y zamienia trzy równania w jedno, co daje x = y = 2. Nie ma tu rysunku, bo trzy niewiadome to płaszczyzny, a nie proste, ale eliminacja to ta sama procedura, jedna niewiadoma naraz.
