Dodawanie ułamków
Dodawanie ułamków to jedyne działanie z dodatkowym krokiem, a ten krok nie jest przypadkowy: kawałków różnej wielkości nie da się policzyć razem. Gdy zobaczysz, jak paski są cięte na nowo, zasada staje się oczywista, a nie wyuczona.
Ostatnia aktualizacja
Dodawanie ułamków ma swoją reputację i w jednym wąskim sensie na nią zasłużyło: to jedyne z czterech działań z dodatkowym krokiem. Mnożenie i dzielenie idą prosto. Dodawanie zatrzymuje się i każe najpierw przepisać oba ułamki.
Ten dodatkowy krok nie jest umową, którą ktoś wymyślił. Jest wymuszony, a paski poniżej pokazują dlaczego.
Dwa górne paski są pocięte inaczej, więc ich kawałków nie da się policzyć razem. Trzeci pasek tnie oba na nowo na kawałki jednej wielkości, a wtedy po prostu się dodają.
Kawałków różnej wielkości nie da się policzyć razem
Dwa górne paski to dwa ułamki. Przy wartościach początkowych jeden jest pocięty na połówki, a drugi na trzecie, czyli na różne części, więc ich kawałki mają różną wielkość. Nie da się uczciwie powiedzieć, ile masz kawałków w sumie, bo połówka i jedna trzecia to nie to samo. "Jeden kawałek plus jeden kawałek to dwa kawałki" dałoby 2/5, czyli mniej niż połówka, od której zaczynasz.
Trzeci pasek to naprawia. Oba ułamki są pocięte na nowo na szóste części: połówka to 3 z nich, jedna trzecia to 2 z nich, a teraz są to kawałki jednej wielkości, które można po prostu zsunąć razem.
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
Zobacz, co zrobił mianownik podczas dodawania: nic. To nie ilość, którą się dodaje, tylko etykieta mówiąca, jakie kawałki są liczone. Trzy szóste plus dwie szóste to pięć szóstych z tego samego powodu, z którego trzy jabłka plus dwa jabłka to pięć jabłek.
Dlatego też dodawanie mianowników jest błędem. 1/4 + 1/4 to 2/4, czyli połowa, a dodanie mianowników dałoby 2/8, czyli ćwierć, dokładnie tyle, ile było, zanim cokolwiek dodano.
Gdy mianowniki są już równe, nie ma nic do zrobienia
Ustaw na rysunku oba mianowniki na tę samą liczbę, a trzeci pasek będzie pocięty tak jak dwa pozostałe, bo praca jest już wykonana:
2/7 + 3/7 = 5/7
Dodaj liczniki, zostaw mianownik, skróć, jeśli się da. To cała zasada, a wszystko inne na tej stronie służy temu, żeby doprowadzić cię do tej sytuacji.
Szukanie wspólnego mianownika
Potrzebujesz liczby, która dzieli się przez oba mianowniki. Są dwa sposoby, żeby ją znaleźć:
Najmniejszy wspólny mianownik to najmniejsza taka liczba, czyli najmniejsza wspólna wielokrotność obu mianowników. Dzięki niemu rachunki zostają małe.
Pomnożenie obu mianowników zawsze działa, nie wymaga myślenia i daje większe liczby, które na końcu się skraca.
| suma | najmniejszy wspólny mianownik | iloczyn mianowników |
|---|---|---|
| 1/2 + 1/3 | 6 | 6 |
| 1/4 + 1/6 | 12 | 24 |
| 3/8 + 1/6 | 24 | 48 |
| 2/5 + 1/10 | 10 | 50 |
Obie kolumny prowadzą do tego samego wyniku. Prawa po prostu niesie po drodze większe liczby, więc 1/4 + 1/6 wychodzi jako 10/24 i trzeba to skrócić do 5/12, podczas gdy lewa droga prowadzi prosto do 5/12.
Obserwuj odczyt na rysunku, zmieniając mianowniki: gdy jeden mianownik dzieli się przez drugi, wspólnym mianownikiem jest po prostu większy z nich. 2/5 + 1/10 wymaga 10, a nie 50, bo piąte części składają się już z dziesiątych.
Przepisywanie każdego ułamka
Gdy masz już mianownik, każdy ułamek przepisujesz, mnożąc jego licznik i mianownik przez liczbę, która go tam doprowadzi. To rozszerzanie ułamka, nic więcej:
3/8 = (3*3)/(8*3) = 9/24
1/6 = (1*4)/(6*4) = 4/24
9/24 + 4/24 = 13/24
Mnożnik jest inny dla każdego ułamka i to normalne: 8 potrzebuje 3, żeby dojść do 24, a 6 potrzebuje 4. Taka sama dla obu musi być liczba, która ląduje w mianowniku.
Odejmowanie to ta sama strona
Wszystko powyżej obowiązuje, z jednym znakiem zmienionym na samym końcu:
5/6 - 1/4 = 10/12 - 3/12 = 7/12
Wspólny mianownik, a potem odejmij liczniki. Jeśli wynik wyjdzie ujemny, to prawdziwy wynik, a nie błąd: 1/4 - 5/6 to -7/12.
Rozwiąż jedno zadanie
Jeśli wyszło ci 4/14, zostały dodane mianowniki. Jeśli wyszło 26/48, mianowniki zostały pomnożone zamiast wzięcia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności: wartość jest dobra, więc po skróceniu i tak dojdziesz do 13/24.
Częste pytania
- Jak dodawać ułamki?
- Jeśli mianowniki są już równe, dodaj liczniki, a mianownik zostaw w spokoju: 2/7 + 3/7 = 5/7. Jeśli nie są równe, najpierw zapisz oba ułamki ze wspólnym mianownikiem, a potem dodaj. 1/2 + 1/3 zmienia się w 3/6 + 2/6 = 5/6.
- Dlaczego mianowniki muszą być takie same?
- Bo mianownik mówi, jak duży jest kawałek, a kawałków różnej wielkości nie da się policzyć razem. Dwie połówki i trzy trzecie to nie pięć czegokolwiek. Zapisanie obu ułamków z jednym mianownikiem tnie je na nowo na kawałki jednej wielkości i wtedy liczenie działa.
- Dlaczego nie dodaje się mianowników?
- Bo mianownik nie jest ilością, tylko etykietą mówiącą, jakie kawałki liczysz. 1/4 + 1/4 = 2/4, czyli połowa, a dodanie mianowników dałoby 2/8, czyli ćwierć, a więc tyle, ile było na początku. Etykieta zostaje, rośnie tylko liczba kawałków.
- Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik?
- To najmniejsza wspólna wielokrotność obu mianowników: najmniejsza liczba, która dzieli się przez oba. Dla 4 i 6 to 12. Pomnożenie obu mianowników też zawsze działa (tutaj 24) i daje poprawny wynik na większych liczbach, które na końcu się skraca, więc to rozsądne wyjście awaryjne, gdy NWW nie jest oczywista.
- Czy odejmowanie ułamków działa tak samo?
- Identycznie, aż do ostatniego kroku. Znajdź wspólny mianownik, a potem odejmij liczniki zamiast je dodawać: 5/6 - 1/4 zmienia się w 10/12 - 3/12 = 7/12. Wszystko, co trudne w dodawaniu ułamków, jest dokładnie tak samo trudne w ich odejmowaniu.
Chcesz to policzyć na własnych liczbach?
Kalkulator ułamków Otwórz kalkulator