Kalkulator równań kwadratowych

Rozwiąż dowolne równanie kwadratowe dokładnie, z każdym krokiem rozpisanym.

Autor: Nethanel Bar, Współzałożyciel i CEO

Ostatnia aktualizacja 24 sierpnia 2026

Chcesz rozwiązywać takie zadania bez kalkulatora?

Kurs matematyki Coddy uczy samej metody: każdy krok robisz na interaktywnej tablicy i dowiadujesz się dokładnie, gdzie ruch poszedł nie tak.

Zacznij naukę za darmo

Co naprawdę robi wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Równanie kwadratowe to każde równanie, które da się zapisać jako ax² + bx + c = 0, gdzie a nie jest zerem. Wzór x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a rozwiązuje każde z nich bez wyjątku, co jest rzadkie i warte docenienia. Rozkład na czynniki działa tylko wtedy, gdy liczby akurat są przyjazne. Dopełnianie do kwadratu działa zawsze, ale wymaga wprawy. Wzór działa zawsze i wymaga tylko staranności.

Prawdziwą pracę wykonuje to, co stoi pod pierwiastkiem. b² - 4ac to wyróżnik, czyli delta (Δ), a jego znak decyduje o kształcie odpowiedzi, zanim policzysz cokolwiek innego: dodatni oznacza dwa pierwiastki, zero jeden podwójny pierwiastek, a ujemny brak rozwiązań rzeczywistych. Sprawdzenie delty na początku mówi, jakiej odpowiedzi się spodziewać, a to najszybszy sposób na wyłapanie późniejszej pomyłki rachunkowej.

Wzór to nie jeden ruch i to najczęstsze nieporozumienie na jego temat. To krótka procedura: podstaw, oblicz deltę, wyciągnij pierwiastek, rozdziel ±, a potem uprość każdą gałąź. Ten kalkulator przechodzi przez wszystkie pięć etapów, więc widać, w którym z nich najłatwiej o błąd.

Na co uważać w krokach

Każdy ujemny współczynnik podstawia się w nawiasie. -b przy b = -5 to -(-5) = 5, a zgubienie tego znaku to najczęstszy błąd w całym temacie.
Delta jest liczona w osobnej linijce, przed wszystkim innym. Jej znak to kształt odpowiedzi.
√12 jest upraszczane do 2√3 zamiast zostawać bez zmian albo zamieniać się w 3.464. Dokładny pierwiastek to odpowiedź, a ułamek dziesiętny to jej pomiar.
± jest jawnie rozdzielane na dwa przypadki. To skrót dla dwóch osobnych obliczeń, a nie działanie, które da się donieść do końca.
Gdy oba pierwiastki są wymierne, jako test pokazujemy postać iloczynową. Po wymnożeniu powinna dać równanie, od którego zaczynasz.
Wzór nie jest regułą wziętą znikąd: to dopełnienie do kwadratu, wykonane raz w ogólnej postaci, żeby nikt nie musiał robić tego ponownie. Wyprowadzenie poniżej to właśnie ten jeden raz.

Jak rozwiązać równanie kwadratowe ze wzoru

Wpisz trzy współczynniki
Wpisz a, b i c w pola. Działają liczby całkowite, ułamki dziesiętne i ułamki zwykłe, np. 1/2. Brakujący wyraz oznacza współczynnik równy zero: w x² - 4 = 0 b wynosi 0.
Albo wklej całe równanie
Wpisz coś w rodzaju 2x^2 - 5x + 2 = 0 w pole równania i naciśnij Wczytaj. Wyrazy z obu stron są automatycznie przenoszone na lewą stronę, więc 3x^2 = 2x + 1 też działa.
Odczytaj deltę przed pierwiastkami
Krok czwarty daje b² - 4ac. Zwróć uwagę na znak i przewidź kształt odpowiedzi (dwa pierwiastki, jeden albo żaden), zanim przewiniesz dalej.
Porównaj swoje obliczenia linijka po linijce
Jeśli twój wynik się nie zgadzał, przydatne pytanie nie brzmi, która liczba jest dobra, tylko w którym kroku drogi się rozeszły. Znajdź tę linijkę, a błąd wyjaśni się sam.

Skąd się bierze wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Wzór nie jest aksjomatem. To wynik jednorazowego dopełnienia do kwadratu ogólnego równania, dzięki któremu nikt nie musi tego robić na własnych liczbach. Przejście przez to choć raz to różnica między pamiętaniem wzoru a jego rozumieniem.

Zacznij od ogólnego równania kwadratowego
a x^2 + b x + c = 0
a nie może być zerem: bez wyrazu x² nie ma czego rozwiązywać jako równania kwadratowego, a 2a w mianowniku też byłoby zerem.
Podziel każdy wyraz przez a
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
Dopełnianie do kwadratu wymaga samego x², więc a musi zniknąć z przodu. W tym kroku a trafia też do mianownika, gdzie zostaje do końca wyprowadzenia.
Przenieś wyraz wolny na drugą stronę
x^2 + (b/a) x = -c/a
Dodaj do obu stron kwadrat połowy współczynnika przy x
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
Połowa b/a to b/2a, a jej kwadrat to b²/4a². Na tym ruchu opiera się całe wyprowadzenie: to dokładnie to, czego brakowało lewej stronie, żeby była pełnym kwadratem.
Zapisz lewą stronę jako kwadrat, a prawą nad wspólnym mianownikiem
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
Oto delta, b² - 4ac, która pojawia się sama, zanim ktokolwiek nadał jej nazwę.
Wyciągnij pierwiastek z obu stron
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
Oba znaki, bo oba po podniesieniu do kwadratu dają to samo. 2a wychodzi spod √(4a²) jako |2a|, a ± z przodu i tak pochłania znak.
Odejmij b/2a i zapisz wynik jako jeden ułamek
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)

Żadna z tych siedmiu linijek nie korzystała z konkretnych a, b ani c, dlatego wynik obowiązuje dla każdego równania kwadratowego. To także powód, dla którego delta decyduje o kształcie odpowiedzi: to liczba pod pierwiastkiem, a jeśli jest ujemna, krok szósty nie ma dokąd pójść.

Co mówi delta

Wartość b² - 4ac decyduje o całym kształcie odpowiedzi, zanim wyciągniesz choćby jeden pierwiastek.

Delta	Pierwiastki rzeczywiste	Wykres	Przykład
b² - 4ac > 0	Dwa różne pierwiastki rzeczywiste	Przecina oś x dwa razy	x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2
b² - 4ac = 0	Jeden pierwiastek podwójny	Dotyka osi x w jednym punkcie	x² - 4x + 4 = 0 → x = 2
b² - 4ac < 0	Brak rozwiązań rzeczywistych	Nigdy nie dochodzi do osi x	x² + 2x + 5 = 0
Kwadrat liczby wymiernej	Dwa pierwiastki wymierne	Przecina oś w dwóch ułamkach lub liczbach całkowitych	2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2
Dodatnia, ale nie kwadrat	Dwa pierwiastki niewymierne	Przecina oś w dwóch pierwiastkach niewymiernych	x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3

Przykłady krok po kroku

Dwa pierwiastki całkowite: x² - 5x + 6 = 0

plain

a = 1, b = -5, c = 6

Delta wynosi (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Jej pierwiastek to dokładnie 1, więc pierwiastki równania to (5 + 1)/2 = 3 i (5 - 1)/2 = 2. Ponieważ delta jest kwadratem, oba pierwiastki są wymierne, a równanie rozkłada się też na (x - 3)(x - 2) = 0. W tym przypadku rozkład na czynniki byłby szybszy.

Pierwiastek ułamkowy: 2x² - 5x + 2 = 0

plain

a = 2, b = -5, c = 2

Delta wynosi 25 - 16 = 9, więc √9 = 3, a pierwiastki to (5 + 3)/4 = 2 i (5 - 3)/4 = 1/2. Zwróć uwagę, że drugi pierwiastek zostaje jako 1/2 i nigdy nie jest pokazywany jako 0.5. Ułamek to dokładna wartość, a ułamek dziesiętny to jej przybliżenie, które akurat jest krótkie.

Pierwiastki niewymierne: x² - 4x + 1 = 0

plain

a = 1, b = -4, c = 1

Delta wynosi 16 - 4 = 12, co nie jest kwadratem liczby całkowitej. √12 upraszcza się do 2√3, więc pierwiastki to (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. W tym miejscu większość kalkulatorów zaczyna wypisywać 3.7320508 i przestaje być przydatna: 2 + √3 to odpowiedź, a każdy ułamek dziesiętny to jej zaokrąglenie.

Brak rozwiązań rzeczywistych: x² + 2x + 5 = 0

plain

a = 1, b = 2, c = 5

Delta wynosi 4 - 20 = -16. Żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie daje liczby ujemnej, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych i wyprowadzenie się tu zatrzymuje. Parabola leży w całości nad osią x. Jeśli twój kurs doszedł już do liczb zespolonych, pierwiastki to -1 ± 2i, ale czy to się liczy jako odpowiedź, zależy od tego, w jakim zbiorze liczb uczono cię pracować.

Częste błędy

Gubienie znaku przy -b. Jeśli b = -5, to -b = +5. Podstawienie -5 to błąd, który daje wiarygodnie wyglądającą, ale złą parę pierwiastków.
Zapominanie, że a może być ujemne. W -x² + 2x = 0 a wynosi -1, a 2a w mianowniku to -2.
Dzielenie tylko części licznika. W (4 ± 2√3)/2 zarówno 4, jak i 2√3 dzieli się przez 2. Podzielenie na pół samej czwórki to bardzo częsta pomyłka.
Niesienie ± do końca i traktowanie go jako jednej odpowiedzi. Oznacza ono dwa osobne obliczenia, które trzeba dokończyć osobno.
Sięganie po wzór, gdy a = 0. Takie równanie jest liniowe, a wzór dzieli przez 2a, które wynosi zero.
Zatrzymanie się na x = (5 + 1)/2. To jeszcze nie odpowiedź, tylko arytmetyka czekająca na wykonanie.

Równanie kwadratowe i delta: pytania i odpowiedzi

Jaki jest wzór na pierwiastki równania kwadratowego?

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, gdzie b² - 4ac to delta. Wzór daje rozwiązania każdego równania postaci ax² + bx + c = 0, w którym a nie jest zerem. Wyprowadza się go przez dopełnienie do kwadratu ogólnego równania, dlatego działa uniwersalnie, a nie tylko na wygodnych liczbach.

Jak wyprowadzić wzór na pierwiastki równania kwadratowego?

Przez dopełnienie do kwadratu równania ax² + bx + c = 0. Podziel wszystko przez a, przenieś wyraz wolny na drugą stronę, dodaj (b/2a)² do obu stron, żeby lewa była pełnym kwadratem, wyciągnij pierwiastek z obu stron (tu pojawia się ±) i odejmij b/2a. Siedem linijek jest rozpisanych powyżej. Nic w nich nie zależy od konkretnych liczb, dlatego wynik obowiązuje dla każdego równania kwadratowego.

Dlaczego we wzorze jest ±?

Bo wyprowadzenie wyciąga pierwiastek z obu stron, a liczba dodatnia ma dwa pierwiastki kwadratowe: 3 i -3 do kwadratu dają 9. Oba trzeba nieść dalej, więc ± to skrót dla dwóch osobnych obliczeń. To także powód, dla którego równanie kwadratowe zwykle ma dwa rozwiązania, a nie jedno.

Czy ten kalkulator i jego kroki są darmowe?

Jedno i drugie jest darmowe, bez rejestracji. Warto to powiedzieć wprost, bo dwie najbardziej znane strony z matematyką krok po kroku pokazują wynik, a potem proszą o subskrypcję, żeby zobaczyć, jak go uzyskano. Cały sens tej strony polega na tym, że to obliczenia są przydatną częścią.

Dlaczego wynik to 2 + √3, a nie 3.732?

Bo 2 + √3 to odpowiedź, a 3.732 to jej zaokrąglenie. Jeśli zadanie domowe prosi o dokładną wartość, ułamek dziesiętny zostanie uznany za błędny. Przybliżenie jest pokazane pod spodem na wypadek, gdy chcesz sprawdzić wykres lub pomiar.

Co oznacza ujemna delta?

Oznacza, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych: parabola nigdy nie przecina osi x. Na kursach, które wprowadziły liczby zespolone, wciąż są dwa rozwiązania, zapisywane jako a ± bi, ale do tego czasu "brak rozwiązań rzeczywistych" to pełna i poprawna odpowiedź.

Delta czy rozkład na czynniki?

Najpierw rozkładaj na czynniki, jeśli widzisz je w kilka sekund: to szybsze i mniej podatne na błędy. Używaj wzoru, gdy liczby nie współpracują, gdy współczynnik przy x² nie jest równy 1 albo gdy podejrzewasz, że pierwiastki są niewymierne. Wzór nigdy nie zawodzi, a rozkład na czynniki działa tylko na równaniach, które zbudowano tak, żeby się rozkładały.

Czy współczynniki mogą być ułamkami i ułamkami dziesiętnymi?

Tak. Wpisuj ułamki jako 1/2 lub 3/4, a ułamki dziesiętne jako 0.5. Ułamki dziesiętne są wewnętrznie zamieniane na dokładne ułamki, więc 0.1 zachowuje się jak jedna dziesiąta, a nie jak binarne przybliżenie, którego użyłby kalkulator zmiennoprzecinkowy.

Jak sprowadzić równanie do postaci ax² + bx + c = 0?

Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę, żeby po drugiej zostało zero, a potem zredukuj wyrazy podobne. Dla 3x² = 2x + 1 odejmij 2x i 1 od obu stron, co daje 3x² - 2x - 1 = 0. Pole równania na tej stronie zrobi to przekształcenie za ciebie, jeśli wkleisz oryginał.

Więcej narzędzi matematycznych