Walec o promieniu 3 i wysokości 5
plain
r = 3, h = 5V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π, czyli około 141.37. Podnieś promień do kwadratu przed pomnożeniem przez wysokość; odwrotna kolejność daje 225π, pięć razy za dużo.
Kalkulator objętości
Sześć brył, każda ze wzorem zapisanym, zanim zostanie użyty.
Ostatnia aktualizacja
Chcesz rozwiązywać takie zadania bez kalkulatora?
Kurs matematyki Coddy uczy samej metody: każdy krok robisz na interaktywnej tablicy i dowiadujesz się dokładnie, gdzie ruch poszedł nie tak.
Każdy wzór na objętość to pole razy wysokość
Graniastosłup, czyli prostopadłościan, walec i wszystko, co ma ten sam przekrój na całej wysokości, ma objętość równą polu podstawy razy wysokość. To jedna idea obejmująca dwie z sześciu brył na tej stronie: prostopadłościan to długość × szerokość × wysokość, bo pole jego podstawy to długość × szerokość, a walec to πr²h, bo jego podstawa to koło o polu πr². Nauczenie się tego wzorca daje więcej niż uczenie się wzorów osobno.
Bryły, które się zwężają, czyli stożek i ostrosłup, zajmują dokładnie JEDNĄ TRZECIĄ graniastosłupa, w którym by się mieściły. Ta sama podstawa, ta sama wysokość, jedna trzecia objętości. Ten czynnik 1/3 nie jest przypadkowy i to najczęściej zapominana rzecz w tym temacie; stożek tej samej wielkości co walec mieści trzy razy mniej, co łatwo zapamiętać, gdy raz przeleje się jedno do drugiego.
Kula jest wyjątkiem ze wzorem 4/3πr³ i warto zachować ją dokładną z tego samego powodu co wszystko inne tutaj: π jest niewymierne, więc 36π to odpowiedź, a 113.1 to jej zaokrąglenie. Ta strona zachowuje symbol, podaje obok ułamek dziesiętny i daje ci pole powierzchni oraz tworzącą wszędzie tam, gdzie one również są dokładne.
Na co zwrócić uwagę
- Dla każdej bryły w kształcie graniastosłupa objętość to pole podstawy × wysokość. Rozpoznanie tego zamienia cztery wzory w jedną ideę plus właściwy wzór na pole.
- Stożek lub ostrosłup to jedna trzecia graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Zapomnienie o 1/3 to klasyczny błąd, przez który wynik jest dokładnie trzy razy za duży.
- Przed rozpoczęciem wszystkie wymiary muszą być w tej samej jednostce, a objętość wychodzi wtedy w tej jednostce DO SZEŚCIANU. Pomieszanie centymetrów z metrami to błąd o czynnik miliona.
- Podwojenie jednego wymiaru podwaja objętość; podwojenie wszystkich trzech mnoży ją przez osiem. Dlatego objętość rośnie o wiele szybciej niż długość.
- π należy do wyniku, a nie do obliczeń. 45π jest dokładne, a wymnożenie go na końcu do 141.37 nic nie kosztuje i łatwo je sprawdzić.
- Tworząca stożka to nie jego wysokość. Tworząca to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych równych promieniowi i wysokości, dlatego wychodzi jako pierwiastek. Potrzebna jest do pola powierzchni bocznej, a nie do objętości.
Jak obliczyć objętość
Rozpoznaj bryłę i zapisz jej wzór
Zrób to, zanim dotkniesz jakiejkolwiek liczby. Sześcian s³, prostopadłościan abh, walec πr²h, kula 4/3πr³, stożek 1/3πr²h, ostrosłup o podstawie kwadratu 1/3s²h.
Sprawdź, czy jednostki się zgadzają
Najpierw zamień wszystko na tę samą jednostkę. To krok, który po cichu psuje wyniki, bo późniejsze obliczenia wyglądają zupełnie poprawnie.
Podstaw wymiary
Zapisz wzór z twoimi liczbami, zanim cokolwiek policzysz. W ocenianym zadaniu ta linijka z podstawieniem jest zwykle warta osobnego punktu.
Oblicz potęgi przed mnożeniem
Dla walca o promieniu 3 i wysokości 5: najpierw podnieś 3 do kwadratu, co daje 9, potem 9 · 5 = 45, czyli 45π. Mnożenie przed potęgowaniem daje inną, błędną liczbę.
Podaj wynik w jednostkach sześciennych
Promień w centymetrach daje objętość w centymetrach sześciennych. Zostaw π, chyba że zadanie prosi o ułamek dziesiętny.
Sześć wzorów z obliczoną wartością
Każdy wzór i to, co daje dla małego przykładu. Zwróć uwagę na 1/3 przy dwóch bryłach, które się zwężają.
| Bryła | Wzór | Przykład | Dokładna objętość | Dziesiętnie |
|---|---|---|---|---|
| Sześcian | s³ | s = 4 | 64 | 64 |
| Prostopadłościan | a · b · h | 2, 3, 4 | 24 | 24 |
| Walec | πr²h | r = 3, h = 5 | 45π | 141.3717 |
| Kula | 4/3 πr³ | r = 3 | 36π | 113.0973 |
| Stożek | 1/3 πr²h | r = 3, h = 4 | 12π | 37.6991 |
| Ostrosłup o podstawie kwadratu | 1/3 s²h | s = 6, h = 4 | 48 | 48 |
| Kula | 4/3 πr³ | r = 2 | 32π/3 | 33.5103 |
| Walec | πr²h | r = 1/2, h = 4 | π | 3.1416 |
Przykłady krok po kroku
Kula o promieniu 3
plain
r = 3V = 4/3 πr³ = 4/3 · π · 27 = 36π, około 113.1. 27 i 4/3 ładnie się tu skracają, dlatego promień 3 to przykład z każdego podręcznika. Pole jej powierzchni to 4πr² = 36π, co jest zbiegiem okoliczności zachodzącym tylko dla r = 3.
Stożek o promieniu 3 i wysokości 4
plain
r = 3, h = 4V = 1/3 πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π, około 37.7. Porównaj z walcem o tej samej podstawie i wysokości, który mieści 36π: stożek to dokładnie jedna trzecia. Jego tworząca to √(3² + 4²) = 5; objętość jej nie potrzebuje, ale pole powierzchni bocznej tak.
Sześcian o boku 4
plain
s = 4V = s³ = 4³ = 64 i nigdzie nie ma π. Pole powierzchni to 6s² = 96, bo sześcian ma sześć jednakowych kwadratowych ścian. Oba wyniki są liczbami całkowitymi, dlatego to dobry przykład do sprawdzenia własnej metody.
Gdy wynik zachowuje ułamek: kula o promieniu 2
plain
r = 2V = 4/3 · π · 8 = 32π/3, czyli około 33.51. 3 nie dzieli 32, więc dokładny wynik zachowuje ułamek. Zapisanie 33.5 go gubi, a w każdym zadaniu, które dalej korzysta z tej wartości, błąd idzie dalej.
Częste błędy
- Zapomnienie o 1/3 przy stożku lub ostrosłupie. Wynik wychodzi dokładnie trzy razy za duży, co jest najłatwiejszym błędem do wychwycenia, gdy wiesz, gdzie patrzeć.
- Mieszanie jednostek. Najpierw zamień: promień w centymetrach z wysokością w metrach daje liczbę, która nic nie znaczy.
- Mnożenie przed potęgowaniem. W πr²h do kwadratu podnosi się promień, a nie iloczyn; π · (3 · 5)² to zupełnie inna wielkość.
- Użycie średnicy zamiast promienia. To podwaja r, co mnoży objętość walca przez cztery, a kuli przez osiem.
- Mylenie objętości z polem powierzchni. Pierwsze to przestrzeń w środku i wychodzi w jednostkach sześciennych; drugie to powłoka i wychodzi w jednostkach kwadratowych.
- Użycie tworzącej we wzorze na objętość stożka. Objętość wymaga wysokości prostopadłej do podstawy; tworząca służy do pola powierzchni bocznej.
Objętość brył: FAQ
Jaki jest wzór na objętość walca?
V = πr²h, czyli pole okrągłej podstawy razy wysokość. Dla promienia 3 i wysokości 5 to π · 9 · 5 = 45π, czyli około 141.37. Podnieś promień do kwadratu przed pomnożeniem przez wysokość.
Jaka jest objętość kuli?
V = 4/3 πr³. Kula o promieniu 3 mieści 4/3 · π · 27 = 36π, około 113.1. To jedyny wzór na tej stronie, którego nie da się odczytać jako pole podstawy razy wysokość, więc trzeba go zapamiętać.
Skąd 1/3 we wzorach na objętość stożka i ostrosłupa?
Stąd, że stożek lub ostrosłup mieści dokładnie jedną trzecią graniastosłupa o tej samej podstawie i tej samej wysokości. Przelej pełny stożek do walca o pasujących wymiarach, a wypełni go w jednej trzeciej. Ten czynnik to fakt o zwężaniu się, a nie sztuczka.
W jakich jednostkach wychodzi objętość?
W jednostce, w której podano wymiary, do sześcianu. Centymetry dają centymetry sześcienne, metry dają metry sześcienne. Wszystkie wymiary trzeba zamienić na tę samą jednostkę PRZED obliczeniami, inaczej wynik nie ma sensu.
Jak obliczyć objętość prostopadłościanu?
Pomnóż trzy wymiary: V = a · b · h. To pole podstawy razy wysokość, jak w każdym graniastosłupie, bo pole podstawy prostopadłościanu to a · b. Prostopadłościan 2 na 3 na 4 mieści 24 jednostki sześcienne.
Czym różni się objętość od pola powierzchni?
Objętość to przestrzeń w środku, mierzona w jednostkach sześciennych; pole powierzchni to łączne pole zewnętrznej powłoki, mierzone w jednostkach kwadratowych. Ta strona podaje oba wszędzie tam, gdzie pole powierzchni jest dokładne: dla sześcianu, prostopadłościanu, walca i kuli.
Czym jest tworząca stożka?
To odległość od wierzchołka wzdłuż pochyłej ściany do brzegu podstawy: √(r² + h²), z twierdzenia Pitagorasa dla promienia i wysokości. Jest dłuższa od wysokości, potrzebuje jej wzór na pole powierzchni bocznej, a w objętości nie odgrywa żadnej roli.
Dlaczego zostawiać π zamiast je wymnożyć?
Bo 45π jest dokładne, a 141.37 to zaokrąglenie. Zadania egzaminacyjne często proszą o wynik z π właśnie dlatego, że da się go sprawdzić bez kalkulatora, a wczesne zaokrąglanie w zadaniu wieloetapowym traci precyzję potrzebną w dalszych krokach.
