Klasyka: przyprostokątne 3 i 4
plain
a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25, a √25 = 5 dokładnie. To trójkąt 3-4-5, najmniejszy o trzech całkowitych bokach, i warto rozpoznawać go od razu, podobnie jak jego wielokrotności 6-8-10 i 9-12-15.
Kalkulator twierdzenia Pitagorasa
Dwa boki na narysowanym trójkącie dają trzeci, dokładnie, także z pierwiastkami.
Ostatnia aktualizacja
Chcesz rozwiązywać takie zadania bez kalkulatora?
Kurs matematyki Coddy uczy samej metody: każdy krok robisz na interaktywnej tablicy i dowiadujesz się dokładnie, gdzie ruch poszedł nie tak.
Kwadraty przyprostokątnych sumują się do kwadratu przeciwprostokątnej
W trójkącie prostokątnym, i tylko w nim, a² + b² = c², gdzie c to przeciwprostokątna: bok naprzeciw kąta prostego i zawsze najdłuższy z trzech. To twierdzenie mówi o POLACH: zbuduj kwadrat na każdym z dwóch krótszych boków, a ich łączne pole będzie dokładnie równe polu kwadratu zbudowanego na najdłuższym. Dlatego wszystko podnosi się do kwadratu i dlatego na końcu potrzebny jest pierwiastek.
Kierunek obliczeń zależy od tego, którego boku brakuje, i tu kryje się większość błędów. Szukając przeciwprostokątnej, DODAJESZ oba kwadraty. Szukając przyprostokątnej, ODEJMUJESZ: a² = c² − b², bo kwadrat przeciwprostokątnej to całość, a kwadrat znanej przyprostokątnej jest jego częścią. Dodanie zamiast odjęcia daje wynik dłuższy od przeciwprostokątnej, co jest niemożliwe. To przydatny test.
Wyniki są tu dokładne. Przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych 2 i 3 to √13 i właśnie √13 podaje ta strona, a obok 3.6056, oznaczone jako zaokrąglenie. √20 jest upraszczane do 2√5 zamiast zostawać w pierwotnej postaci, a trójkąt, którego wszystkie trzy boki wychodzą całkowite, jest oznaczany jako trójka pitagorejska.
Na co zwrócić uwagę
- Twierdzenie działa tylko w trójkącie prostokątnym. W każdym innym trójkącie a² + b² i c² to po prostu różne liczby, a ogólną wersją jest wtedy twierdzenie cosinusów.
- c jest zawsze najdłuższym bokiem. Jeśli wyliczona przeciwprostokątna jest krótsza od przyprostokątnej, gdzieś dodawanie zamieniło się w odejmowanie.
- Szukanie przyprostokątnej to odejmowanie. a² = c² − b² wynika wprost z twierdzenia i ten przypadek sprawia kłopot znacznie częściej niż przeciwprostokątna.
- Większość wyników jest niewymierna. Trójkąty o trzech całkowitych bokach, jak 3-4-5 czy 5-12-13, to wyjątek, dlatego postać z pierwiastkiem ma znaczenie.
- Pole trójkąta prostokątnego to ab/2, czyli iloczyn przyprostokątnych podzielony na pół. Przeciwprostokątna nie jest potrzebna: przyprostokątne spotykają się pod kątem prostym, więc jedna jest podstawą, a druga wysokością.
- Każda wielokrotność trójki pitagorejskiej też jest trójką. 3-4-5 pomnożone przez 3 daje 9-12-15, dlatego te same trójkąty ciągle wracają w zadaniach.
Jak obliczyć brakujący bok
Wskaż przeciwprostokątną
To bok naprzeciw kąta prostego i najdłuższy z trzech. Pomyłka w tym miejscu psuje każdy kolejny krok, więc oznacz go, zanim cokolwiek policzysz.
Zdecyduj, czy dodajesz, czy odejmujesz
Brakuje przeciwprostokątnej: dodaj kwadraty obu przyprostokątnych. Brakuje przyprostokątnej: odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej od kwadratu przeciwprostokątnej.
Podnieś znane boki do kwadratu
Najpierw kwadrat, potem dodawanie lub odejmowanie. Podniesienie do kwadratu po dodaniu, (a + b)², daje inną i znacznie większą liczbę.
Wyciągnij pierwiastek kwadratowy
To odwraca podnoszenie do kwadratu i daje sam bok. Jeśli wynik nie jest całkowity, uprość pierwiastek zamiast sięgać po ułamek dziesiętny: √20 to 2√5.
Sprawdź, czy rozmiar ma sens
Przeciwprostokątna musi być dłuższa od każdej przyprostokątnej i krótsza od ich sumy. Jeśli twój wynik łamie którąś z tych zasad, dodawanie i odejmowanie zamieniły się miejscami.
Trójkąty prostokątne w pigułce
Trójki pitagorejskie warte zapamiętania i to, co się dzieje, gdy wynik nie jest całkowity. Kolumna dokładna to wynik, a ułamek dziesiętny to jego zaokrąglenie.
| a | b | c | Dokładnie | Dziesiętnie |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
Przykłady krok po kroku
Niewymierna przeciwprostokątna: przyprostokątne 2 i 3
plain
a = 2, b = 34 + 9 = 13, więc przeciwprostokątna to √13. To jest wynik, a 3.6056 to jego zaokrąglenie: 3.6056 do kwadratu daje 12.9999…, a nie 13. Większość trójkątów prostokątnych jest właśnie taka, a przypadki z liczbami całkowitymi to wyjątek.
Upraszczanie pierwiastka: przyprostokątne 2 i 4
plain
a = 2, b = 44 + 16 = 20, a √20 nie zostaje w tej postaci: 20 = 4 · 5, a 4 wychodzi spod pierwiastka jako 2, co daje 2√5. Ta sama liczba, zapisana w postaci, której oczekuje każdy klucz odpowiedzi.
Szukanie przyprostokątnej: przeciwprostokątna 5, druga przyprostokątna 4
plain
b = 4, c = 5Najpierw przekształć: a² = c² − b² = 25 − 16 = 9, więc a = 3. Dodawanie dałoby √41 ≈ 6.4, czyli więcej niż przeciwprostokątna. To niemożliwe i właśnie ten test od razu wyłapuje ten błąd.
Boki ułamkowe: przyprostokątne 3/2 i 2
plain
a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4, a pierwiastek z 25/4 to dokładnie 5/2. Ułamki zostają ułamkami przez całe obliczenia, dlatego wynik to 5/2, a nie 2.5, choć tutaj to ta sama liczba.
Częste błędy
- Dodawanie, gdy brakuje przyprostokątnej. Kwadrat przeciwprostokątnej to CAŁOŚĆ, więc szukanie przyprostokątnej oznacza odejmowanie od niego.
- Podnoszenie sumy do kwadratu zamiast sumowania kwadratów. a² + b² to nie (a + b)². Drugie wyrażenie jest większe o 2ab, co w prawdziwym trójkącie nigdy nie jest zerem.
- Uznanie złego boku za przeciwprostokątną. Leży ona naprzeciw kąta prostego, a nie jest po prostu bokiem narysowanym jako ostatni albo tym po prawej.
- Zapominanie o pierwiastku. 3² + 4² = 25 to kwadrat wyniku, a nie wynik: przeciwprostokątna ma długość 5, a nie 25.
- Stosowanie twierdzenia w trójkącie bez kąta prostego. Jest prawdziwe tylko dla trójkątów prostokątnych, a wszystkie inne wymagają twierdzenia cosinusów.
- Zbyt wczesne zaokrąglanie pierwiastka. √13 do kwadratu to dokładnie 13, ale 3.61 do kwadratu to 13.0321, a w zadaniu wieloetapowym ten błąd rośnie.
Twierdzenie Pitagorasa: pytania i odpowiedzi
Co mówi twierdzenie Pitagorasa?
W trójkącie prostokątnym a² + b² = c², gdzie a i b to dwa krótsze boki (przyprostokątne), a c to przeciwprostokątna naprzeciw kąta prostego. W ujęciu pól: kwadraty zbudowane na obu przyprostokątnych mają łącznie dokładnie takie pole jak kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.
Jak obliczyć przeciwprostokątną?
Podnieś obie przyprostokątne do kwadratu, dodaj je i wyciągnij pierwiastek: c = √(a² + b²). Dla przyprostokątnych 3 i 4 to √25 = 5. Jeśli pierwiastek nie wychodzi całkowity, zostaw go jako uproszczony pierwiastek: √20 zamienia się w 2√5.
Jak obliczyć przyprostokątną?
Odejmuj, nie dodawaj: a² = c² − b², więc a = √(c² − b²). Przy przeciwprostokątnej 5 i przyprostokątnej 4 to √(25 − 16) = 3. Ten przypadek najczęściej idzie źle, a test polega na tym, że przyprostokątna zawsze musi być krótsza od przeciwprostokątnej.
Czym jest trójka pitagorejska?
To trzy liczby całkowite spełniające twierdzenie: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Każda wielokrotność trójki też jest trójką, więc 6-8-10 i 9-12-15 dostajesz w pakiecie z 3-4-5. Większość trójkątów prostokątnych NIE jest trójkami, dlatego wyniki niewymierne są normą.
Czy twierdzenie działa w każdym trójkącie?
Nie, tylko w trójkątach prostokątnych. Dla każdego innego trójkąta ogólną zależnością jest twierdzenie cosinusów, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), które sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa dokładnie wtedy, gdy C wynosi 90°, a jego cosinus jest zerem.
Dlaczego ta strona zostawia pierwiastki zamiast ułamków dziesiętnych?
Bo pierwiastek to dokładny wynik, a ułamek dziesiętny to jego zaokrąglenie. √13 do kwadratu to równo 13, a 3.61 do kwadratu to 13.0321. W zadaniu wieloetapowym ta różnica narasta, a większość kluczy odpowiedzi i tak wymaga dokładnej postaci.
Jak sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny?
Sprawdź twierdzenie na trzech bokach, które masz: jeśli a² + b² jest dokładnie równe c², gdzie c to najdłuższy bok, trójkąt ma kąt prosty. Jeśli lewa strona jest większa, kąt jest ostry, a jeśli mniejsza, rozwarty. To twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i naprawdę przydatny test.
Czy kalkulator obsługuje ułamki i ułamki dziesiętne?
Tak i jedne, i drugie zostają dokładne. Przyprostokątne 3/2 i 2 dają przeciwprostokątną równą dokładnie 5/2, a ułamek dziesiętny jest odczytywany jako dokładny ułamek, który oznacza, a nie jako przybliżenie zmiennoprzecinkowe.
