Набор из учебника
plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5Числитель формулы равен 30, скобки в знаменателе 50 и 30, поэтому r = 30 / √1500 = √15/5, около 0,7746. r² = 0,6 ровно. Оценка: сильная положительная, а прямая регрессии y = 0,6x + 2,2.
Калькулятор коэффициента корреляции
r Пирсона по вашим данным, точно в виде корня, с силой связи и решением.
Обновлено
Хотите решать это без калькулятора?
Курс математики Coddy учит самому методу: вы прорабатываете каждый шаг на интерактивной доске и узнаёте, где именно ход пошёл не так.
r измеряет, насколько близко точки следуют прямой
Коэффициент корреляции r представляет собой одно число от -1 до 1. Его знак показывает направление тренда: положительный, когда y обычно растёт вместе с x, отрицательный, когда обычно убывает. Его величина показывает, насколько плотно точки прижимаются к прямой: 1 или -1, когда все точки лежат на одной прямой, и 0, когда линейного тренда нет совсем. У него нет единиц измерения, поэтому он не меняется, если измерять x в сантиметрах вместо метров.
Это то самое вычисление, которое на курсе статистики просят показать. Составьте таблицу с x, y, xy, x² и y², сложите каждый столбец и подставьте суммы в r = (nΣxy минус ΣxΣy), делённое на квадратный корень из (nΣx² минус (Σx)²), умноженного на (nΣy² минус (Σy)²). Эта страница печатает таблицу и заполненную формулу под ответом, так что число приходит вместе с решением.
Ответ точный. Квадрат r на данных, которые можно ввести, всегда является дробью, поэтому сам r равен квадратному корню из дроби со знаком, и именно это печатает страница: √15/5 для набора из учебника вместо 0,77, что лишь две его цифры. Десятичное значение стоит рядом с радикалом, а оценка силы связи читает его по порогам, указанным ниже.
Как читать r
- Знак означает направление, а величина означает силу. r = -0,95 говорит о более сильной связи, чем r = 0,6; просто она идёт в другую сторону.
- Эта страница называет |r| от 0,7 и выше сильной связью, от 0,4 до 0,7 умеренной, от 0,1 до 0,4 слабой, а меньше 0,1 отсутствием линейной корреляции. Это распространённое соглашение, а не правило; в каждой области свои пороги.
- r² равен доле разброса y, которую объясняет прямая регрессии. r = √15/5 даёт r² = 0,6: прямая объясняет 60% разброса.
- r измеряет только линейные связи. У точек, лежащих ровно на y = x² при x от -2 до 2, r = 0.
- Один выброс может полностью изменить r. Добавьте к набору из учебника точку (10, 0), и r изменится примерно с 0,7746 на примерно -0,5529.
- r не меняется, если масштабировать любую из переменных или поменять x и y местами. Прямая регрессии при такой перестановке меняется, а r нет.
Как вычислить коэффициент корреляции вручную
Составьте таблицу сумм
Для каждой точки запишите x, y, xy, x² и y², затем сложите каждый столбец и посчитайте точки. Для x = 1, 2, 3, 4, 5 и y = 2, 4, 5, 4, 5 получается n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 и Σy² = 86.
Вычислите числитель
nΣxy минус ΣxΣy = 5 × 66 минус 15 × 20 = 30. Его знак совпадает со знаком r.
Вычислите две скобки в знаменателе
nΣx² минус (Σx)² = 275 минус 225 = 50, и nΣy² минус (Σy)² = 430 минус 400 = 30. Обе всегда положительны, если только не все x или не все y одинаковы.
Разделите и упростите
r = 30 / √(50 × 30) = 30 / √1500 = 30 / (10√15) = √15/5. В десятичном виде это около 0,7746: сильная положительная корреляция.
Как читать r с одного взгляда
Оценки те же, что печатает этот калькулятор. r² равен r, умноженному на себя, поэтому знак исчезает.
| r | Оценка | r² | Как выглядит диаграмма рассеяния |
|---|---|---|---|
| 1 | полная положительная | 1 | Все точки на одной возрастающей прямой |
| 0.9 | сильная положительная | 0.81 | Узкая полоса, идущая вверх вправо |
| 0.7 | сильная положительная | 0.49 | Чёткая полоса вверх с некоторым разбросом |
| 0.5 | умеренная положительная | 0.25 | Тренд вверх с большим разбросом |
| 0.2 | слабая положительная | 0.04 | Наклон, который без числа вы бы не заметили |
| 0.05 | нет линейной корреляции | 0.0025 | Бесформенное облако или кривая |
| -0.8 | сильная отрицательная | 0.64 | Чёткая полоса, идущая вниз вправо |
| -1 | полная отрицательная | 1 | Все точки на одной убывающей прямой |
Разобранные примеры
Сильная отрицательная корреляция
plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 10, 8, 9, 5, 4, 2Числитель равен -168, скобки 105 и 296, поэтому r = -168 / √31080 = -2√7770/185, около -0,9529. r² = 168/185, около 0,9081. Когда x растёт, y уверенно убывает; единственная точка, нарушающая картину, (3, 9), почти не ослабляет связь.
Слабая корреляция
plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 3, 1, 4, 1, 5r = √2/4, около 0,3536, и r² = 0,125, так что прямая объясняет восьмую часть разброса y. Оценка: слабая положительная. Наклон вверх есть, но на диаграмме рассеяния в основном был бы виден шум.
Точная зависимость при r = 0
plain
x: -2, -1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4Все точки лежат на y = x², и всё же r = 0 ровно. Числитель формулы равен 5 × 0 минус 0 × 10 = 0: убывающая левая половина гасит возрастающую правую. r измеряет только линейные связи, поэтому сначала всегда смотрят на диаграмму рассеяния.
Что делает один выброс
plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 10; y: 2, 4, 5, 4, 5, 0Это набор из учебника с одной добавленной точкой (10, 0). r падает примерно с 0,7746 до -52√8845/8845, около -0,5529: одна точка лежит достаточно далеко, чтобы сменить знак. Так же это работает и в обратную сторону: у x = 1 до 5 и y = 3, 1, 4, 1, 5 r ≈ 0,3536, а добавление (12, 12) поднимает его примерно до 0,9084.
Частые ошибки
- Возводить в квадрат сумму вместо того, чтобы суммировать квадраты. Σx² для x = 1 до 5 равно 55; (Σx)² равно 225. Если их перепутать, можно получить r больше 1, что невозможно.
- Читать r = 0 как отсутствие связи. Это означает отсутствие линейной связи; точки при этом могут лежать ровно на кривой.
- Считать сильный r доказательством причины. Две величины могут расти вместе, потому что обе зависят от третьей, или случайно.
- Сравнивать значения r по знаку. -0,9 сильнее, чем 0,6. Сравнивайте величины, а знак читайте отдельно как направление.
- Называть r, не взглянув на график. Один выброс может сменить знак, а кривая может прятаться за высоким значением.
- Округлять r и потом возводить в квадрат. r ≈ 0,77 даёт 0,5929, а r² для набора из учебника ровно 0,6. Возводите в квадрат точное значение.
Вопросы о коэффициенте корреляции
Как вычислить коэффициент корреляции?
Составьте таблицу с x, y, xy, x² и y² для каждой точки и сложите каждый столбец. Тогда r = (nΣxy минус ΣxΣy) / √((nΣx² минус (Σx)²)(nΣy² минус (Σy)²)). Для x = 1 до 5 и y = 2, 4, 5, 4, 5 это 30 / √(50 × 30) = √15/5, около 0,7746. Вставьте свои столбцы выше, и страница заполнит формулу так же.
Какой коэффициент корреляции считается сильным?
Этот калькулятор называет |r| от 0,7 и выше сильной связью, от 0,4 до 0,7 умеренной, от 0,1 до 0,4 слабой, а меньше 0,1 отсутствием линейной корреляции. Это распространённые учебные пороги, а не универсальные: в физической лаборатории 0,9 может разочаровать, а в социальных науках 0,4 может быть заметным результатом.
Чем r отличается от r в квадрате?
У r есть знак, у r² его нет. r сообщает направление и силу; r² сообщает долю разброса y, которую объясняет прямая регрессии. r = 0,7746 даёт r² = 0,6: прямая объясняет 60% разброса и оставляет 40% на рассеяние.
Может ли коэффициент корреляции быть больше 1?
Нет. r всегда лежит между -1 и 1 и достигает любого из концов, только когда все точки лежат на одной прямой. Ответ больше 1 означает, что какая-то сумма неверна, чаще всего Σx², посчитанная как (Σx)².
Значит ли высокая корреляция, что одно вызывает другое?
Нет. Это значит, что в этих данных две величины меняются вместе. Обе может двигать третий фактор, как жара повышает и продажи мороженого, и число несчастных случаев на воде, или причина может действовать в обратную сторону. Чтобы показать причину, нужен эксперимент или рассуждение о механизме.
Это корреляция Пирсона или Спирмена?
Это r Пирсона, обычный коэффициент корреляции, который измеряет, насколько хорошо прямая описывает сами значения. Коэффициент Спирмена применяет ту же формулу к рангам значений, поэтому он измеряет любую монотонно растущую или убывающую связь и меньше чувствителен к выбросам.
Почему r показан как квадратный корень?
Потому что это его точное значение. r² на данных, которые можно ввести, всегда является дробью, поэтому r равен квадратному корню из этой дроби со знаком: √15/5 для набора из учебника. Десятичное 0,7746 печатается рядом как приближение, и именно его читает оценка силы связи.
Сколько точек нужно?
Здесь хотя бы три. При двух точках r всегда равен 1 или -1, потому что прямая проходит через любые две точки, так что число ничего не говорит о данных. Даже на нескольких точках r может сильно колебаться, поэтому r по пяти точкам считайте грубой оценкой.
