Прямая регрессии через ваши точки, точно, с r и каждым шагом решения.
Обновлено
Курс математики Coddy учит самому методу: вы прорабатываете каждый шаг на интерактивной доске и узнаёте, где именно ход пошёл не так.
Реальные данные никогда не ложатся на одну прямую, поэтому любая проведённая через них прямая промахивается мимо большинства точек. Каждый промах называется остатком: фактическое y минус y, которое предсказывает прямая. Линейная регрессия возводит каждый остаток в квадрат, складывает квадраты и выбирает ту прямую, при которой эта сумма минимальна. Это прямая регрессии по методу наименьших квадратов, её же называют прямой наилучшего приближения, и для любого набора точек, у которого не все x одинаковы, она ровно одна.
Чтобы её найти, нужно пять чисел: количество точек n и суммы x, y, xy и x². Угловой коэффициент равен m = (nΣxy минус ΣxΣy), делённое на (nΣx² минус (Σx)²), а свободный член b = (Σy минус mΣx), делённое на n. Эта страница строит таблицу этих сумм, подставляет ваши числа в обе формулы и показывает каждую строку решения, потому что именно таблицу проверяет учитель.
Угловой коэффициент и свободный член хранятся точными дробями. На данных из целых чисел, десятичных дробей и обыкновенных дробей они всегда рациональны, поэтому коэффициент 162/35 печатается как 162/35, а не как 4,6286, что лишь его округление. Коэффициент корреляции r представляет собой квадратный корень, поэтому он показан как радикал с десятичным значением рядом. Кнопка «Копировать» даёт прямую в десятичной записи, готовую для электронной таблицы.
Запишите каждую точку строкой из четырёх столбцов: x, y, xy и x². Сложите каждый столбец и посчитайте точки. Для x = 1, 2, 3, 4, 5 и y = 2, 4, 5, 4, 5 получается n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 и Σx² = 55.
m = (nΣxy минус ΣxΣy) / (nΣx² минус (Σx)²). Здесь это (5 × 66 минус 15 × 20) / (5 × 55 минус 15²) = 30 / 50 = 0,6. Оставьте его дробью, если не выходит короткая десятичная.
b = (Σy минус mΣx) / n. Здесь (20 минус 0,6 × 15) / 5 = 11/5 = 2,2. Берите точный угловой коэффициент из предыдущего шага, а не округлённый.
y = 0,6x + 2,2. Проверьте, что она проходит через точку средних (3, 4): 0,6 × 3 + 2,2 = 4. Если нет, одна из сумм неверна.
Вычислите r или посмотрите на остатки. Здесь r = √15/5, около 0,7746, а остатки равны -0,8; 0,6; 1; -0,6 и -0,2, и их квадраты в сумме дают 2,4.
Каждая строка содержит один набор данных, введённый в калькулятор выше. Угловой коэффициент и свободный член точные; r показан радикалом с десятичным значением.
| Значения x | Значения y | Прямая регрессии | r | r² |
|---|---|---|---|---|
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2, 4, 5, 4, 5 | y = 0.6x + 2.2 | √15/5 ≈ 0.7746 | 0.6 |
| 0, 1, 2, 3 | 7, 5, 3, 1 | y = -2x + 7 | -1 | 1 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 3, 7, 8, 12, 15 | y = 1.45x + 0.3 | 29√215/430 ≈ 0.9889 | 841/860 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 52, 58, 61, 67, 70, 76 | y = (162/35)x + 47.8 | 9√15/35 ≈ 0.9959 | 243/245 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 3, 1, 4, 1, 5 | y = 0.4x + 1.6 | √2/4 ≈ 0.3536 | 0.125 |
| 1, 3 | 2, 8 | y = 3x - 1 | 1 | 1 |
| -2, -1, 0, 1, 2 | 4, 1, 0, 1, 4 | y = 2 | 0 | 0 |
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5Суммы: Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 и Σx² = 55 при n = 5. Угловой коэффициент равен 30/50 = 0,6, свободный член 11/5 = 2,2, значит прямая y = 0,6x + 2,2. Остатки равны -0,8; 0,6; 1; -0,6 и -0,2, в сумме 0, а их квадраты в сумме дают 2,4. Коэффициент корреляции r = √15/5, около 0,7746: сильная положительная связь.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76Средние равны 3,5 часа и 64 балла. Угловой коэффициент 162/35, около 4,63 балла за час, а свободный член 64 минус (162/35) × 3,5 = 47,8, так что y = (162/35)x + 47,8 при r ≈ 0,9959. Для 4,5 часа прямая предсказывает 2402/35, около 68,63. Для 12 часов она предсказывает около 103,34 в тесте, где максимум 100 баллов: это экстраполяция, которую данные не подтверждают.
x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1Каждый шаг x на 1 уменьшает y на 2, поэтому точки лежат ровно на y = -2x + 7. Калькулятор находит эту прямую, каждый остаток равен 0, сумма квадратов остатков равна 0, и r = -1: полная отрицательная корреляция.
x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15Прямая y = 1,45x + 0,3 при r ≈ 0,9889 проходит через точку средних (6, 9). При x = 7, внутри данных, она предсказывает 10,45, и этой интерполяции можно доверять примерно настолько, насколько хорошо приближение. При x = 60 она предсказывает 87,3, на пятьдесят единиц дальше последней точки, где ничто в данных не говорит, что тренд сохраняется.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25Прямая регрессии y = 5x - 10/3 при r ≈ 0,9599, что звучит отлично. Остатки равны 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3 и 10/3: положительные на обоих концах и отрицательные в середине. Такая U-образная картина значит, что точки лежат на кривой, и квадратичная регрессия точно находит её как y = x².
Составьте таблицу с x, y, xy и x² для каждой точки и сложите столбцы. Угловой коэффициент m = (nΣxy минус ΣxΣy) / (nΣx² минус (Σx)²), свободный член b = (Σy минус mΣx) / n. Для x = 1 до 5 и y = 2, 4, 5, 4, 5 это даёт m = 30/50 = 0,6 и b = 11/5 = 2,2, то есть y = 0,6x + 2,2. Эта страница печатает ту же таблицу и заполняет обе формулы, чтобы вы могли сверить каждую строку.
Прямая, при которой сумма квадратов остатков минимальна, где остаток точки равен её фактическому y минус y, предсказанному прямой. Она единственна, если не все значения x равны. Для пяти точек выше ни одна другая прямая не опускает сумму квадратов ниже 2,4.
Угловой коэффициент показывает, на сколько в среднем меняется y при увеличении x на 1, в единицах y на единицу x. Свободный член равен предсказанному y при x = 0. Он имеет смысл, только если x = 0 лежит внутри данных или рядом с ними; у регрессии веса по росту свободный член при росте 0 не описывает ни одного реального человека.
Да. В статистике прямая наилучшего приближения и есть прямая регрессии по методу наименьших квадратов, её и вычисляет этот калькулятор. Линия тренда, проведённая на бумаге на глаз, лишь её оценка, и она должна проходить через точку средних, как всегда проходит вычисленная прямая.
Зависит от области. r² равен доле разброса y, которую объясняет прямая, так что 0,9 означает 90%. Измерения из контролируемого физического эксперимента часто доходят до 0,99; данные о людях часто останавливаются на значениях от 0,3 до 0,5 и всё равно полезны. Высокий r² не доказывает, что прямая является правильной формой, поэтому проверяйте и остатки.
Две точки задают прямую, поэтому калькулятор принимает две, но прямая через две точки всегда совпадает с ними идеально и ничего не говорит о данных. С трёх и более точек остатки, r и r² начинают нести информацию, а чем больше точек, тем надёжнее угловой коэффициент.
Внутри диапазона ваших x можно: это интерполяция, и она настолько хороша, насколько хорошо приближение. За пределами диапазона это экстраполяция, и ничто в данных не говорит, что тренд продолжается. Пример с баллами за тест на этой странице предсказывает около 103 баллов за 12 часов подготовки в тесте из 100.
Потому что угловой коэффициент и свободный член прямой наименьших квадратов на рациональных данных рациональны, и дробь является точным значением. 162/35 и есть угловой коэффициент; 4,6286 лишь его округление, и каждый прогноз по округлению несёт ошибку. Кнопка «Копировать» даёт десятичные значения, когда они нужны.
