“95% 置信”到底是什么意思
置信区间把一个点估计（“样本均值是 5.61”）变成一个如实反映不确定性的范围（“真实均值很可能在 5.29 到 5.93 之间”）。但“95% 置信”是统计学中最常被误读的说法之一，所以我们先把它讲清楚。
这个 95% 描述的是方法，而不是区间本身。想象一下把你的研究重复一遍又一遍：每次抽取新样本，每次得到新区间。这些区间会来回跳动，其中大约 95% 会包含真实值，5% 会错过。你手上那一个区间，只是这个过程中的一次抽取。95% 的意思并不是：“真实均值有 95% 的概率落在这两个数之间。”真实均值是一个固定的（未知的）数，它不会在区间里进进出出；变化的是区间。
实际使用时，通俗的理解也没问题：区间就是与你的数据相符的那些取值范围。只是当有人追问时，你要清楚自己有资格做出哪种表述。
均值的置信区间：简单方法
每次 t.test() 都会附带一个置信区间；你可以只为了拿到它而运行这个检验：
均值为 5.61，95% 置信区间大约是 5.29 到 5.93。区间能做到单纯的均值做不到的事：它告诉你十个观测值实际能换来多少精度。
手动计算同一个置信区间
这个区间背后的公式值得亲手推一遍，因为它能帮你看懂今后遇到的每一个置信区间：估计值 ± 临界值 × 标准误。
和 t.test() 的输出对比一下：区间完全一样，一位不差。其中有三个组成部分：
- 标准误
sd(x)/sqrt(n)衡量样本均值的波动有多大（标准差和标准误的区别见描述性统计）。 qt(0.975, df)是 t 临界值：要达到 95% 的覆盖率，两侧尾部各留 2.5%，所以是 0.975。当 df = 9 时，它约为 2.26，比正态分布的 1.96 更大。这是小样本要付出的代价，因为标准差也是从同一份数据里估计出来的。- 误差范围是两者的乘积，也就是新闻标题里引用的那个“±”数字。
调整置信水平：90%、99% 与权衡
conf.level 控制覆盖率，也随之决定了宽度：
更高的置信度要用更宽的区间来换：99% 的区间必须宽到一百次里有九十九次是对的，所以会被拉长；90% 的区间更窄，但错过真实值的频率是 95% 区间的两倍。天下没有免费的午餐，只有一个可以调节的旋钮。95% 纯粹是一种惯例：没有特别理由时值得沿用的默认值，而不是自然法则。
比例的置信区间：prop.test()
假设在接受调查的 120 名用户中，有 47 人使用了一项新功能。真实使用率的合理范围是多少？
样本比例为 0.39，95% 置信区间大约是 0.30 到 0.49。所以只有附上这个 ±9 个百分点的范围，“使用率约为 40%”才是如实的说法。prop.test() 使用的近似方法比教科书上的 p ± 1.96 × sqrt(p(1−p)/n) 公式更好（它是带连续性校正的 Wilson 型区间），这在比例接近 0 或 1 时最为重要：教科书上的区间可能会超出 [0, 1] 的范围，而这个不会。计数非常小时，binom.test(47, 120)$conf.int 给出精确版本。
模型系数的置信区间：confint()
拟合好的模型通过一个泛型函数就能得到区间：
每一行给出线性回归中一个系数的区间：wt 斜率的 95% 区间大约是每 1000 磅 −6.5 到 −4.2 mpg。这比摘要中的 p 值信息量更大：它说明这个效应不仅不为零，而且至少约为 4 mpg，可能高达约 6.5 mpg。
对于逻辑回归 glm()，confint(fit) 的用法相同，但返回的是对数优势比的上下限；取指数就能得到优势比的区间：exp(confint(fit))。记住，此时“没有效应”的参照值从 0 变成了 1。
样本量：平方根定律
宽度随 sqrt(n) 缩小，由此可以得出一个好记的结论：数据变为四倍，区间宽度减半。用模拟数据来看看效果：同一个分布，一份样本的大小是另一份的 4 倍（设置种子让结果可复现，见随机数）：
两个宽度之比接近 2:1（由于抽样噪声，不会完全精确）。正是这个平方根让精度变得昂贵：前 100 个观测值带来的区间收窄，比之后 300 个加起来还多；而要把一个已经很窄的区间再缩小一半，总是要付出到目前为止全部投入的 4 倍。
置信区间与 p 值：同一个检验的两种视角
置信区间和假设检验是同一份信息的两种呈现方式。95% 置信区间所包含的，恰好是在 0.05 水平下的双侧检验无法拒绝的那些参数值。所以：
- 均值差的置信区间不包含 0 ⇔ t 检验给出 p < 0.05。
- 优势比的置信区间不包含 1 ⇔ 该系数的 p < 0.05。
有了区间，你通常就有了更好的概括：它既给出了同样的显著性结论，又给出了以实际单位表示的效应大小。“p = 0.03”只说明存在差异；“95% 置信区间：0.2 到 7.6”则说明差异存在，而且可能微不足道，也可能非常大，而这往往才是真正重要的发现。
要点回顾
- 95% 描述的是这个方法长期的命中率，而不是这一个区间包含真实值的概率。
- 均值：
t.test(x)$conf.int，或手动计算：均值 ±qt(0.975, n−1)× 标准误。 - 比例：
prop.test(x, n)$conf.int；模型系数：confint(fit)（对 glm 取指数得到优势比）。 - 置信度越高 = 区间越宽；95% 是惯例，不是定律。
- 宽度随 sqrt(n) 缩小：数据变为 4 倍，区间宽度减半。
- 置信区间包含所有在 0.05 水平下的检验不会拒绝的值；而且与 p 值不同，它能显示效应大小。
下一篇：这一切背后的模拟工具箱，用 rnorm、runif、sample 和 set.seed 生成随机数。
常见问题
在 R 中如何计算 95% 置信区间？
对于均值，最快的方法是 t.test(x)$conf.int。对于比例，用 prop.test(successes, trials)$conf.int。对于已拟合的 lm() 或 glm() 模型的系数，用 confint(fit)。三者默认都是 95%；用 conf.level = 0.90（或 0.99）修改。
95% 置信区间到底是什么意思？
它描述的是方法本身：如果把研究重复很多次，每次都构造一个区间，那么大约 95% 的区间会包含真实值。它并不是说“参数有 95% 的概率落在这个具体的区间里”：参数是一个固定的数，任何一个具体的区间要么包含了它，要么没有。
在 R 中如何手动计算置信区间？
均值 ± 临界值 × 标准误。对于均值：m <- mean(x); se <- sd(x)/sqrt(length(x)); m + c(-1, 1) * qt(0.975, df = length(x) - 1) * se。qt(0.975, df) 求的是 t 临界值，它在两侧尾部各留下 2.5%。
样本量如何影响置信区间？
区间宽度随 n 的平方根缩小：样本量变为四倍，区间宽度减半。正是这个平方根，让最后那一点精度变得昂贵：从 ±2 缩小到 ±1，需要四倍而不是两倍的数据。
