R 计算平均值、中位数和标准差

平均值和中位数

整个统计学中最常用的两个汇总指标，各自只需调用一个函数：

mpg <- mtcars$mpg

print(mean(mpg))
print(median(mpg))

mean() 把所有值加起来再除以个数。median() 把值排序后取中间那个（个数为偶数时取中间两个的平均值）。对于 mtcars 中的 32 辆汽车，平均油耗约为 20.1 mpg，中位数是 19.2，两者很接近，说明数据没有严重偏斜。如果两者相差很大，这本身也是一种信息，我们会在最后讲到。

有一件事几乎让每个人都意外：只要向量中有一个 NA，两个函数都会返回 NA：

x <- c(4, 8, NA, 6)

print(mean(x))
print(mean(x, na.rm = TRUE))

这是有意为之：R 拒绝悄悄假装缺失值不存在。na.rm = TRUE 的意思是“用你手头有的值来计算”。本文几乎所有汇总函数都接受这个参数。关于 NA 如何传播的完整说明，请看缺失值。

标准差和方差

sd() 衡量离散程度：大致是一个典型值离平均值有多远，单位和数据相同。var() 是它的平方：

mpg <- mtcars$mpg

print(sd(mpg))
print(var(mpg))
print(sd(mpg)^2)

标准差约为 6 mpg，意味着汽车的油耗通常落在 20.1 这个平均值上下 6 mpg 左右的范围内。因为 sd() 的单位和数据本身相同，所以报告时用它；var() 主要出现在其他公式内部。

下面这个细节对课程作业很重要：sd() 和 var() 计算的是样本统计量，它们把离差平方和除以 n − 1，而不是 n：

x <- c(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9)
n <- length(x)

sample_var <- sum((x - mean(x))^2) / (n - 1)
population_var <- sum((x - mean(x))^2) / n

print(sample_var)      # what var(x) gives you
print(var(x))
print(population_var)  # divide by n instead

为什么是 n − 1？因为平均值是用同一组数据估计出来的，围绕这个估计平均值的离差会系统性地偏小一点；除以 n − 1 就是在修正这一点。你的数据几乎总是来自某个更大整体的样本，所以你需要的就是 n − 1 版本。如果你手上确实是整个总体（班里的每个学生，目录里的每件商品），就乘一下：var(x) * (n - 1) / n。

平均值的标准误

标准差和标准误经常被混淆，所以要分清楚：sd 描述数据，SE 描述你对平均值的估计。 R 没有内置的 se()，但公式只有一行：

mpg <- mtcars$mpg

se <- sd(mpg) / sqrt(length(mpg))
print(se)

样本越大，标准误越小：数据量增加到四倍，SE 就减半，因为更大的样本能更精确地确定平均值。而 sd 不会随样本量缩小：无论你测量多少辆车，它们本身的差异就是那么大。SE 是置信区间的基础，它真正的用武之地就在那里。

summary()：一次调用看全貌

summary() 一次给出五数概括外加平均值，而且对整个数据框都适用：

print(summary(mtcars$mpg))

print(summary(mtcars[, c("mpg", "wt", "hp")]))

对数据框调用时，它会汇总每一列：数值列给出最小值、四分位数、平均值和最大值，因子列给出每个水平的计数。拿到任何刚加载的数据集，第一件事就该运行它：不可能出现的值（负数的年龄、最大值为 9999）会立刻显露出来。

分位数、极差和 IQR

quantile() 把中位数推广到任意分割点：

mpg <- mtcars$mpg

print(quantile(mpg))
print(quantile(mpg, probs = c(0.1, 0.5, 0.9)))

print(range(mpg))
print(IQR(mpg))
print(max(mpg) - min(mpg))

不带参数时，它返回最小值、四分位数和最大值。传入 probs = 可以指定分割点：上面的第 10 和第 90 百分位数框出了大部分数据所在的范围。IQR()（第 25 和第 75 百分位数之间的距离）是一种离散程度指标，和 sd() 不同，它不会被异常值拉偏。range() 以一对值的形式返回最小值和最大值。

众数：R 的 mode() 做不到

这个坑每个人都会踩一次。R 有一个叫 mode() 的函数，但它和统计毫无关系，报告的是对象的存储类型：

x <- c(3, 7, 7, 2, 7, 5, 3)

print(mode(x))   # "numeric" - not what you wanted

counts <- table(x)
print(counts)
print(names(which.max(counts)))

要记住的写法是：table(x) 统计每个值出现的次数，which.max() 找出最大的计数，names() 取出那个值本身。注意它返回的是字符串（table 的名称总是字符串）；如果需要拿它计算，用 as.numeric() 包起来。如果有两个值并列，which.max() 会悄悄只返回第一个，所以可能出现并列时要自己看一下这个 table。

平均值还是中位数：该报告哪个

平均值用到了每一个值，这既是优点也是缺点：一个极端值就能把它拉偏。中位数只关心中间的值，所以异常值几乎影响不到它：

salaries <- c(42000, 45000, 47000, 48000, 51000, 54000, 58000)
print(mean(salaries))
print(median(salaries))

# The CEO joins the dataset:
salaries <- c(salaries, 900000)
print(mean(salaries))
print(median(salaries))

加入一个值，平均值就从约 49,300 涨到了 155,000 以上，这个数字和数据中的任何一个人都对不上，而中位数只从 48,000 变成了 49,500。这就是为什么收入、房价和住院天数都用中位数报告：带长尾的偏斜数据会让平均值产生误导。对于大致对称的数据，两者一致，用平均值就很好（而且在统计上更有效率）。画一个直方图就能知道你属于哪种情况，而比较平均值和中位数本身就是一行代码的偏斜检查。

要点总结

• mean(x) 和 median(x)：有缺失值时加上 na.rm = TRUE。
• sd(x) 和 var(x) 计算的是样本统计量（分母为 n − 1），这正是你需要的。
• 标准误是 sd(x) / sqrt(length(x))：它衡量你对平均值了解得有多准，而不是数据有多分散。
• 对新数据框运行 summary() 是 R 中最快的合理性检查。
• 众数是 names(which.max(table(x)))；R 的 mode() 讲的是存储类型。
• 数据偏斜或有异常值：报告中位数。数据对称：用平均值就行。

下一篇：衡量两个变量如何一起变化，即用 cor() 和 cor.test() 计算相关性。