R 语言线性回归：lm()、summary() 与 predict()

基本思路：最小二乘直线

线性回归是在一堆点中拟合一条直线：y = intercept + slope × x。在所有可能的直线中，lm() 选出让残差平方和最小的那一条，残差就是某个点和直线之间的竖直距离。平方会让大的偏差占据不成比例的分量，这就是为什么一个离谱的离群值就能让整条拟合线倾斜。

相关性给你的是一个没有单位的数字，用来衡量“两者一起变化的紧密程度”；而回归给你的是一个方程：它有单位，有可以解释的斜率，还有用来做预测的整套机制。

fit <- lm(mpg ~ wt, data = mtcars)
print(coef(fit))

把这个公式读作“把 mpg 建模为 wt 的函数”。两个系数就是拟合出的直线：mpg ≈ 37.3 − 5.3 × weight。斜率有实际单位：车重每增加 1000 磅（wt 的单位是 1000 磅），每加仑大约少跑 5.3 英里。截距（重量为零时 37.3 mpg）只是直线与零点相交的位置；没有车是零重量的，所以不要过度解读它。

逐段解读 summary()

summary(fit) 的输出是每门统计课都会让你解读的内容。先运行它，然后一段一段地看：

fit <- lm(mpg ~ wt, data = mtcars)
summary(fit)

Call：回显你拟合的模型。现在看起来无关紧要，但当你同时摆弄六个模型对象时，它能救你一命。

Residuals：剩余部分（实际值 − 预测值）的五数概括。你希望中位数接近 0，并且 Min/Max 与 1Q/3Q 大致对称；明显的不对称说明直线模型漏掉了什么。

Coefficients：输出的核心，每一项占一行：

• Estimate：拟合值。wt 的是 −5.34：车重每增加 1000 磅，mpg 大约减少 5.3。一定要把斜率翻译成带单位的一句话，这句话就是模型全部的实际意义。
• Std. Error：在重复抽样中，这个估计值会有多大的波动。离零只有一两个标准误的估计值是不可靠的。
• t value：Estimate ÷ Std. Error，即系数离零有多少个标准误（这里是 −9.56）。
• Pr(>|t|)：针对“这个系数会不会其实是零？”的 p 值。wt 的 p 值约为 1.3e-10：如果重量和 mpg 真的没有线性关系，在 32 个样本中几乎不可能出现这么陡的斜率。p 值小说明这种关联存在的证据充分，但并不能证明模型是正确的，也不能衡量重要性（一个很小但估计得很精确的效应同样会得到很小的 p 值）。
• Signif. codes / 星号：p 值那一列的直观简写。方便，但不增加任何信息。

Residual standard error: 3.05 on 30 degrees of freedom：预测偏差的典型大小，单位与响应变量相同：预测值通常会偏差 3 mpg 左右。要结合 mpg 的取值范围（大约 10 至 34）来判断它。

Multiple R-squared: 0.75：重量解释了 mpg 大约 75% 的方差。Adjusted R-squared (0.74) 在重新计算时对每个预测变量加以惩罚，因为原始版本只会随着添加变量而增加，哪怕加的是随机噪声。比较预测变量数量不同的模型时，调整后的版本才是公平的。还要克制“好模型 = 高 R²”的条件反射：一个真正有用的效应可能出现在 R² 很低的模型里（结果本身噪声大，或者影响因素很多），而高 R² 也可能来自过拟合或泄露了信息的变量。

F-statistic: 91.4 ... p-value: 1.29e-10：对整个模型的检验，即这个模型是否胜过“对每个人都直接预测平均值”。只有一个预测变量时，它和斜率的 t 检验是重复的（注意 9.56² ≈ 91.4）；有多个预测变量时，它就成了检验“至少一个系数不为零”的联合检验。它背后的机制与 ANOVA 中的方差分解相同。

多元回归：保持其他变量不变

用 + 添加预测变量：

fit2 <- lm(mpg ~ wt + hp, data = mtcars)
summary(fit2)

解释方式有一个关键的变化。现在每个 Estimate 表示的是该预测变量在其他变量保持不变时的效应：wt 的系数（大约 −3.9，比 −5.3 小了）表示在马力相同的车之间比较时，额外重量带来的 mpg 损失。简单回归中的 −5.3 悄悄地把“更重的车往往马力也更大”这一事实也算了进去；多元回归则把它拆了出来。这也是添加变量时系数会变化的原因：如果新的预测变量与原有的变量相关，原有变量的“职责”就变了。R 方上升到 0.83 左右，此时与单变量模型做比较，公平的是调整后的版本。

预测：predict()

拟合好的模型就是一个函数，predict() 负责计算它的值。构造一个 newdata 数据框，让它的列名与预测变量完全一致：

fit <- lm(mpg ~ wt, data = mtcars)

new_cars <- data.frame(wt = c(2.5, 3.5))
print(predict(fit, newdata = new_cars))

print(predict(fit, newdata = new_cars, interval = "confidence"))
print(predict(fit, newdata = new_cars, interval = "prediction"))

两种区间回答的是不同的问题，把它们搞混是考试中的经典错误：

• interval = "confidence"：关于平均值的不确定性：“所有 2500 磅重的车，平均 mpg 在哪里？”区间较窄，并且会随数据增多而缩小。
• interval = "prediction"：该重量的单辆新车可能落入的范围。宽得多，因为单辆车自身就围绕直线存在散布，而这种散布无论有多少数据都无法平均掉。

当问题针对的是一个新观测值时，如果报告的是置信区间，就会严重夸大你的精度。

诊断与外推陷阱

summary() 告诉你模型估计出了什么，残差图则告诉你该不该相信它。在交互式会话中：

par(mfrow = c(2, 2))
plot(fit)   # four diagnostic plots

要看什么：Residuals vs Fitted 应该是一团没有形状的点云：出现曲线说明关系不是直线；出现漏斗形（散布随拟合值增大）说明方差不恒定，你的标准误就不准了。Q-Q 图中的点应该紧贴直线：厚尾说明离群值在扭曲拟合。Scale-Location 是再检查一次漏斗形。Residuals vs Leverage 标出强影响点，也就是单凭自己就能拉动系数的观测值（在 mtcars 中，Chrysler Imperial 这类特殊车型往往会出现在这里）。拟合之前先对原始数据画一张散点图，就能及早发现其中的大部分问题。

最后是任何诊断都发现不了的陷阱：外推。这个模型是从重量大约在 1500 至 5400 磅之间的车学来的。给 predict() 一个 8 的 wt，它会欣然返回一个负数的 mpg：数学可以把直线无限延伸下去，但证据在数据的边界就停止了。只在拟合时所用数据的范围之内（或附近）做预测。

要点回顾

• fit <- lm(y ~ x, data = df) 拟合最小二乘直线；coef(fit) 是方程，summary(fit) 是完整报告。
• 把 Estimate 读成带单位的句子；Pr(>|t|) 问的是“它会不会是零？”，而不是“它重不重要？”
• 残差标准误是以实际单位表示的典型偏差；调整后的 R 方是公平比较模型的指标。
• 在多元回归中，每个系数的含义都是“保持其他变量不变”；加入相关的预测变量后，系数会发生变化。
• predict(fit, newdata, interval = ...)："confidence" 针对平均值，"prediction" 针对单个新个体，后者的区间更宽。
• 用 plot(fit) 检查曲线、漏斗形和强影响点；永远不要相信数据范围之外的预测。

下一篇：当结果是“是/否”而不是数字时，用 glm() 做逻辑回归。