R 语言逻辑回归：glm() 与 family = binomial

当结果是“是/否”时

线性回归预测的是一个数字。但很多值得建模的问题都是二元的：客户会不会流失，病人能不能康复，邮件会不会被点击。用直线去拟合 0/1 的结果会立刻出问题：这条直线会若无其事地预测出 −0.3 或 1.4 这样的概率，这毫无意义。

逻辑回归解决这个问题的方法，是通过对数优势（logit）变换来为结果的概率建模：log(p / (1 − p)) = intercept + slope × x。对数优势的取值覆盖整条数轴，所以线性方程在这个尺度上很自然；再映射回去时，每个预测值都会沿着熟悉的 S 形曲线被压缩到 (0, 1) 之间。这个技巧的代价是：系数处在对数优势尺度上，而解读逻辑回归的全部功夫，就在于把它们转换回人能理解的东西。

拟合：glm() 与 family = binomial

glm()（广义线性模型）是 lm() 的大哥；family = binomial 选择的就是逻辑回归。在 mtcars 中，am 记录了变速箱类型（1 = 手动，0 = 自动）。省油的车是否更倾向于手动挡？

fit <- glm(am ~ mpg, data = mtcars, family = binomial)
summary(fit)

在阅读输出之前有两点要注意。第一，family = binomial 不能省略：省略它，glm() 会悄悄地拟合普通最小二乘模型。第二，结果变量必须是二元的：0/1、逻辑值，或者只有两个水平的因子（R 建模的是第二个水平出现的概率）。

现在逐段看 summary：

• Coefficients：mpg 的 Estimate 约为 0.31，而且它是对数优势尺度上的斜率：mpg 每增加 1，“是手动挡”的对数优势就增加 0.31。正数表示“提高概率”，负数表示“降低概率”；除了正负号之外，没有人的直觉能在这个尺度上起作用，这正是下一节存在的原因。
• z value 和 Pr(>|z|)：和回归中 t 检验的逻辑相同（Estimate ÷ Std. Error，然后针对“它会不会是零？”给出 p 值），只是使用了正态近似，所以是 z 而不是 t。这里 p ≈ 0.011：mpg 与变速箱类型之间的关联不太可能是噪声。
• Null deviance 与 Residual deviance：偏差（deviance）是 glm 世界里衡量拟合差劲程度的指标（越小越好）。Null deviance（31 个自由度下为 43.2）对应只有截距的模型；residual deviance（30 个自由度下为 29.7）对应你的模型。花掉一个预测变量的自由度，换来约 13.6 的下降，这就相当于 glm 版的“R 方提高了”。
• AIC：在拟合优度和复杂度之间取得平衡的模型比较分数，越低越好。单独看没有意义，在同一份数据上比较候选模型时才有用。

从对数优势到优势比：exp(coef())

取指数会把系数从加法性质的对数优势尺度，转到乘法性质的优势尺度上：

fit <- glm(am ~ mpg, data = mtcars, family = binomial)

print(exp(coef(fit)))
print(exp(confint(fit)))

exp(0.307) ≈ 1.36，下面是值得记住的规范句式：“mpg 每增加 1，手动变速箱的优势大约乘以 1.36。” 优势比大于 1 提高优势，小于 1 降低优势，正好等于 1 表示没有效应。这就是为什么对于优势比，置信区间的判断标准是“区间是否排除了 1？”（而不是零；零是对数优势尺度上的分界线）。

注意措辞：优势不是概率。优势 = p / (1 − p)，所以概率 0.75 对应优势 3。把优势乘以 1.36，并不等于把概率乘以 1.36；当结果很常见时，两者差距很大。对于罕见的结果，优势比为 2 的表现接近“风险大约翻倍”；对于发生率在 50% 的结果，则绝对不是这样。除非结果很罕见，否则永远不要用风险比的措辞（“可能性是 1.36 倍”）来报告优势比。

预测概率：type = "response" 陷阱

现实中最常见的逻辑回归 bug：

fit <- glm(am ~ mpg, data = mtcars, family = binomial)
new_cars <- data.frame(mpg = c(15, 20, 25, 30))

print(predict(fit, newdata = new_cars))                      # log-odds!
print(predict(fit, newdata = new_cars, type = "response"))   # probabilities

第一个调用返回的是默认的 type = "link"：对数优势尺度上的预测值，包括负值在内。第二个调用返回的才是真正的概率。如果你得到的“概率”出现了负数或大于 1 的值，原因就在这里。运行这段代码：15 mpg 的车几乎不可能是手动挡，30 mpg 的车很可能是手动挡，S 形曲线在中间弯过。

分类：设定阈值与混淆表

选定一个截断值（默认通常选 0.5），概率就变成了预测类别；而实事求是的成绩单，是一张预测值对实际值的表：

fit <- glm(am ~ mpg, data = mtcars, family = binomial)

probs <- predict(fit, type = "response")   # fitted probabilities, one per car
predicted <- probs > 0.5

print(table(actual = mtcars$am, predicted = predicted))

对角线上的格子是判断正确的；另外两个格子是两种不同的错误（把自动挡预测为手动挡，以及反过来）。只看整体准确率可能会严重美化模型：如果 95% 的客户不会流失，那么“预测没有人流失”能得到 95% 的分数，却一个流失的客户也抓不到。所以一定要同时看两种错误。0.5 只是惯例，不是定律：当两种错误的代价不同时，要相应地调整阈值。

还有一个必须坦白的地方：这张表是在拟合模型所用的同一份数据上给模型打分，这会美化结果。真正的评估要留出模型从未见过的数据。

多个预测变量

和 lm() 完全一样：用 + 添加项，每种解释都要加上“保持其他变量不变”这个限定：

fit2 <- glm(am ~ mpg + qsec, data = mtcars, family = binomial)
summary(fit2)
print(exp(coef(fit2)))

现在，每个取指数后的系数都表示在其他预测变量相同的车之间，该预测变量每增加一个单位时优势的乘数。这套方法可以扩展，线性回归中的那些注意事项也一样适用：相关的预测变量会彼此重新分配系数。

注意事项

• 完全分离。 如果某个预测变量能完美地划分结果（mpg 高于某个值的车全是手动挡，低于它的全是自动挡），最大似然估计的系数就会趋于无穷大。R 会发出警告：glm.fit: fitted probabilities numerically 0 or 1 occurred，并报告巨大的系数和荒谬的标准误。不要把这些数字拿去用；简化模型、收集更多数据，或者使用惩罚方法（brglm2 或 logistf 包）。
• 足够的事件数。 真正的约束是较少出现的那种结果的数量，而不是总行数。一条老的经验法则要求每个预测变量对应大约 10 至 15 个事件；这里 32 辆车的示例是为了讲解操作方法，不能作为可发表研究的样本量模板。
• 当结果很常见时，优势比不等于风险比：前面已经讲过，再重复一遍，因为就算你没注意到，审稿人也会发现。

要点回顾

• 二元结果 → glm(y ~ x, data = df, family = binomial)；千万不要忘了 family。
• 原始系数是对数优势；exp(coef(fit)) 给出优势比，其区间的零效应值是 1。
• 规范句式：“x 每增加一个单位，结果的优势乘以 exp(b)。”
• 要得到概率，用 predict(..., type = "response")；默认返回的是对数优势，这是头号困惑来源。
• 用阈值做分类，用混淆表做评判；只看准确率可能会骗人。
• 留意分离警告，数一数事件数，不要把优势比包装成风险比。

下一篇：你目前见过的每一个区间背后的机制，用 t.test()、confint() 和 prop.test() 计算置信区间。