بسّط 12 : 8
plain
12 : 8القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 و8 هو 4، فاقسم الحدّين عليه لتحصل على 3 : 2. وعلى شكل كسر هي 3/2، وبالصورة العشرية 1.5، وبحساب النصيب من الكل يأخذ الحد الأول 3 من كل 5، أي 60%. قسمة واحدة وأربع قراءات.
حاسبة النسب والتناسب
بسّط نسبة، أو حلّ تناسبًا، أو قارن بين نسبتين — مع كل خطوة.
آخر تحديث
تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
النسبة تصمد أمام التكبير والتصغير - وهذا هو الموضوع كلّه
النسبة تقارن كميتين بالقسمة: 12 : 8 تقول إن الأولى تساوي مرة ونصفاً من الثانية. اضرب أو اقسم الحدّين كليهما على العدد نفسه، فلن تتغيّر المقارنة: 12 : 8 و6 : 4 و3 : 2 هي النسبة نفسها بثياب مختلفة. والتبسيط لا يعني سوى قسمة الحدّين على قاسمهما المشترك الأكبر حتى لا يبقى بينهما شيء مشترك، تماماً كما تُختصر الكسور.
التناسب هو الادعاء بأن نسبتين متساويتان - 3 : 4 = 9 : x - وحقيقة واحدة تفتح كل مسألة من هذا النوع: في التناسب الصحيح يتساوى الضربان التبادليان. اضرب على طول القطرين؛ الناتجان متساويان، ولذلك فإن أي مجهول في أي من المواضع الأربعة يبعد عنك ضرباً واحداً وقسمة واحدة. هذا هو الضرب التبادلي، وهذه الصفحة تكتبه بالكامل بدل أن تهبط مباشرة على x = 12.
الأعداد العشرية والكسور مقبولة، وتُزال أولاً بدقة تامة: 2.5 : 1.5 تصبح 25 : 15 ثم 5 : 3، والمجهول الذي يساوي 35/3 يُكتب 35/3 - لا 11.67 أبداً، لأن إجابة مقرّبة عن سؤال دقيق هي إجابة أخرى.
ما ينبغي ملاحظته
- تبسيط النسبة هو اختصار الكسر نفسه. 12 : 8 و12/8 تتقلّصان بالقاسم المشترك الأكبر نفسه إلى 3 : 2 و3/2.
- الترتيب مهم. 3 : 2 و2 : 3 نسبتان مختلفتان: الأولى تقول الأكبر إلى الأصغر، والثانية العكس.
- النسبة في أبسط صورة يمكن مع ذلك ردّها إلى الشكل 1 : n. فـ 3 : 2 هي 1 : 2/3، وهذا مفيد لمقارنة نسب كثيرة بنظرة واحدة، وإن لم يكن n عدداً صحيحاً في الغالب.
- الضربان التبادليان يحسمان كل شيء. a : b = c : d تتحقّق تماماً عندما a·d = b·c - هذا السطر الواحد هو اختبار التكافؤ وهو أيضاً طريقة إيجاد المجهول.
- الجزء إلى الجزء ليس الجزء إلى الكل. 3 : 2 تقسم الكل إلى 5 أنصبة، فالحد الأول يساوي 3/5 = 60% من الكل، لا 3/2 منه.
كيف تبسّط نسبة
أزل الأعداد العشرية أو الكسور
اضرب الحدّين في العدد نفسه حتى يصبحا صحيحين: 2.5 : 1.5 تصبح 25 : 15 (بالضرب في 10). ضرب الحدّين معاً لا يغيّر النسبة أبداً.
جد القاسم المشترك الأكبر
أكبر عدد يقسم الحدّين كليهما. وللعددين 25 و15 هو 5.
اقسم الحدّين عليه
25 ÷ 5 = 5 و15 ÷ 5 = 3، فتكون النسبة 5 : 3 في أبسط صورة. وإذا كان القاسم المشترك الأكبر يساوي 1، فقد كانت مبسّطة من قبل.
لإيجاد مجهول، استخدم الضرب التبادلي
اكتب التناسب وضع x في موضع المجهول: 3 : 4 = 9 : x تعني 3/4 = 9/x، واضرب على طول القطرين لتحصل على 3x = 36، ثم اقسم: x = 12.
النسب بنظرة واحدة
المقارنة نفسها في أزيائها المعتادة: أبسط صورة، وكسر، والشكل 1 : n، ونصيب الحد الأول من الكل.
| النسبة | أبسط صورة | على شكل كسر | النصيب من الكل |
|---|---|---|---|
| 12 : 8 | 3 : 2 | 3/2 | 60% |
| 2 : 4 | 1 : 2 | 1/2 | 33⅓% |
| 25 : 15 | 5 : 3 | 5/3 | 62.5% |
| 6 : 9 | 2 : 3 | 2/3 | 40% |
| 10 : 4 | 5 : 2 | 5/2 | 71³⁄₇% |
| 2.5 : 1.5 | 5 : 3 | 5/3 | 62.5% |
| 1/2 : 3/4 | 2 : 3 | 2/3 | 40% |
| 7 : 7 | 1 : 1 | 1 | 50% |
أمثلة محلولة
إزالة الأعداد العشرية: 2.5 : 1.5
plain
2.5 : 1.5اضرب الحدّين في 10 لتحصل على 25 : 15 - وهذا مسموح، لأن ضرب الحدّين معاً هو بالضبط ما لا تلتفت إليه النسبة - ثم اقسم على القاسم المشترك الأكبر 5 لتصل إلى 5 : 3. خطوتان، كلتاهما معروضة، ولا فاصلة عائمة في أي مكان.
حل التناسب 3 : 4 = 9 : x
plain
3 : 4 = 9 : ?بالضرب التبادلي: 3 · x = 4 · 9، أي 3x = 36 ومنها x = 12. والتحقّق مضمّن في الطريقة نفسها، فـ 9 : 12 تُختصر إلى 3 : 4، وهي النسبة التي بدأت بها. اترك أي حقل من الأربعة فارغاً، وستجده الخطوتان نفسهما.
هل 1 : 2 و3 : 6 نسبة واحدة؟
plain
1 : 2 = 3 : 6اضرب القطرين تبادلياً: 1 · 6 = 6 و2 · 3 = 6. الناتجان متساويان، فالجواب نعم: النسبتان هما المقارنة نفسها بمقياسين مختلفين. ولو اختلف الناتجان لكان الحكم لا، ولأظهرت الصورتان المختصرتان مقدار الفرق.
أخطاء شائعة
- ضرب أحد الحدّين وحده. 12 : 8 تساوي 3 : 2 لأن الحدّين كليهما قُسما على 4 - أما تنصيف طرف واحد فهو يغيّر المقارنة.
- قراءة 3 : 2 على أنها «الحد الأول يساوي 3/2 من الكل». هو 3/2 من الحد الثاني؛ أما من الكل فهو 3/5، لأن الكل يساوي 3 + 2 = 5 أنصبة.
- عكس الترتيب. عصير بنسبة 1 : 4 مركّز إلى ماء ليس 4 : 1 - فالكلمات هي التي تحدّد أي عدد يأتي أولاً.
- جمع النسب حدّاً بحدّ. 1 : 2 زائد 1 : 3 لا يساوي 2 : 5 - فالنسب المبنية على كلٍّ مختلف لا تُجمع؛ حوّلها أولاً إلى كميات فعلية.
- التوقّف قبل أبسط صورة. 6 : 4 إجابة صحيحة عن سؤال آخر؛ والتصحيح في الغالب يطلب 3 : 2.
- تقريب قيمة المجهول. إذا أعطى الضرب التبادلي x = 35/3 فالإجابة هي 35/3 - وكتابة 11.67 تحوّل تناسباً دقيقاً إلى تناسب تقريبي.
أسئلة شائعة عن النسب
كيف أبسّط نسبة؟
اقسم الحدّين على قاسمهما المشترك الأكبر. النسبة 12 : 8 يشترك حدّاها في العامل 4، فتُختصر إلى 3 : 2. وإذا كان الحدّان عشريين أو كسرين، فاضربهما أولاً في العدد نفسه حتى يصبحا صحيحين: 2.5 : 1.5 تصبح 25 : 15 ثم 5 : 3.
كيف أجد المجهول في تناسب؟
بالضرب التبادلي. في التناسب الصحيح a : b = c : d يتساوى ناتجا القطرين: a·d = b·c. ضع x في الموضع الفارغ، واضرب القطرين، ثم اقسم. وفي 3 : 4 = 9 : x يكون 3x = 36، أي x = 12. وهذه الصفحة تقبل الحقل الفارغ في أي موضع من المواضع الأربعة.
كيف أعرف أن نسبتين متكافئتان؟
اضرب تبادلياً وقارن. النسبتان 1 : 2 و3 : 6 تعطيان 1·6 = 6 و2·3 = 6، وهما متساويان، فالنسبة واحدة. ويمكن أيضاً اختصار النسبتين إلى أبسط صورة ومقارنتهما؛ لكن الضرب التبادلي ينجز ذلك في سطر واحد ودون أي قسمة.
كيف أحوّل نسبة إلى كسر أو إلى نسبة مئوية؟
هما تحويلان مختلفان، والخلط بينهما هو الخطأ الكلاسيكي. جزء إلى جزء: 3 : 2 على شكل كسر هي 3/2، أي الحد الأول لكل وحدة من الثاني. جزء إلى الكل: الحد الأول هو 3 من كل 3 + 2 = 5، أي 3/5 أو 60%. وهذه الصفحة تعرض القراءتين لكل نسبة مبسّطة.
ماذا تعني النسبة 1 : n ولماذا لا يكون n عدداً صحيحاً؟
هي النسبة نفسها بعد ردّها بحيث يصبح الحد الأول 1 بالضبط، وهذا مفيد لمقارنة نسب كثيرة بنظرة واحدة. فـ 3 : 2 تصبح 1 : 2/3، ولا يكون n صحيحاً إلا إذا كان الحد الثاني يقبل القسمة على الأول دون باقٍ. وكون n كسراً ليس خطأً، بل هو سعر الصرف الصادق.
هل يمكن أن تحتوي النسبة على أكثر من حدّين أو على حدود سالبة؟
النسب الثلاثية مثل 2 : 3 : 5 موجودة وتُبسّط بالطريقة نفسها (اقسم الحدود الثلاثة على العامل المشترك)، لكن هذه الحاسبة تعمل بالنسب ذات الحدّين، وهي التي يستخدمها التناسب. أما الحدود السالبة فتُرفض في نسب الكميات، مع أن التناسب الذي فيه حقل فارغ يقبل السالب، لأنه هناك مجرّد معادلة.
ما الفرق بين النسبة والمعدّل؟
النسبة تقارن كميات بالوحدة نفسها: الطحين بالسكر، والأولاد بالبنات. أما المعدّل فيقارن وحدات مختلفة: كيلومترات في الساعة، أو سعر الكيلو، ويُكتب عادة عدداً واحداً بعد القسمة. والحساب متطابق؛ الوحدات والصياغة فقط هما ما يختلف.
