دائرة الوحدة
دائرة واحدة نصف قطرها 1، وفيها كل قيم الجيب وجيب التمام والظل التي يُطلب منك حفظها. اسحب الزاوية وشاهد من أين تأتي الأرقام.
آخر تحديث
كل ما يجده الناس صعبًا في حساب المثلثات هو في حقيقته مشكلة ذاكرة: قيم كثيرة جدًا وإشارات كثيرة جدًا، ولا طريقة للتحقق مما إذا كان ما كتبته للتو معقولًا أصلًا. دائرة الوحدة تحلّ ذلك. هي صورة واحدة تضمّ كل قيمة تحتاجها، وتجعل الإشارة الخاطئة تبدو خاطئة من النظرة الأولى.
اسحب النقطة أدناه. راقب الضلعين المتقطعين وأنت تدور.
اسحب النقطة. الضلع الأخضر هو جيب التمام والأحمر هو الجيب، ولهذا فإن النقطة هي (cos, sin).
لماذا النقطة هي (cos, sin)
نصف قطر الدائرة يساوي 1، وهنا تكمن الحيلة كلها.
ارسم مستقيمًا من المركز إلى الدائرة بزاوية ما، ثم أنزل عمودًا من تلك النقطة إلى المحور x. أصبح لديك الآن مثلث قائم وتره هو نصف القطر، أي أن الوتر يساوي 1.
في هذا المثلث، جيب التمام يساوي المجاور على الوتر. والمجاور هو الضلع الأفقي والوتر يساوي 1، إذن جيب التمام هو الضلع الأفقي؛ فالقسمة على 1 لا تغيّر شيئًا. والحجّة نفسها تجعل الجيب هو الضلع الرأسي.
لذلك فإن إحداثيّي النقطة هما بالضبط (cos(x)، sin(x)) — المسافة الأفقية أولًا ثم الرأسية. ولهذا كُتب على الضلع الأخضر في الشكل جيب التمام وعلى الأحمر الجيب، ولهذا يبدأ الترتيب بجيب التمام: x قبل y، والأفقي قبل الرأسي.
الظل هو الثالث، وهو ليس طولًا في الصورة: إنه النسبة sin(x)/cos(x)، أي ميل المستقيم الذي رسمته.
الأرقام الثلاثة التي تحتاجها فعلًا
اضبط الشكل على 30 ثم 45 ثم 60 درجة وانظر إلى القيم:
| الزاوية | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | sqrt(3)/2 | 1/2 |
| 45° | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 |
| 60° | 1/2 | sqrt(3)/2 |
ثلاث قيم مختلفة — 1/2 وsqrt(2)/2 و sqrt(3)/2 — ولاحظ أن 30° و60° هما الزوج نفسه مع تبديل الموضعين. وهذه ليست مصادفة: مجموع الزاويتين 90°، فمثلثاهما هما المثلث نفسه منظورًا إليه من الطرف الآخر.
وكل ما في الأرباع الثلاثة الأخرى هو أحد تلك الأرقام الثلاثة أمامه إشارة. والذي يحدّد الإشارة هو الموضع، ويمكنك قراءته من الشكل مباشرة: جيب التمام هو المسافة الأفقية، فهو سالب في النصف الأيسر من الدائرة. والجيب هو المسافة الرأسية، فهو سالب في النصف الأسفل. لا شيء للحفظ — انظر فقط إلى الجهة التي يتّجه إليها الضلع.
الدرجات والراديان زاوية واحدة
انقل الشكل إلى الراديان ودر مرة أخرى. لا شيء في الصورة يتغيّر؛ ما يتغيّر هو التسمية فقط.
الدورة الكاملة 360°، وهي أيضًا 2pi راديان — لأن محيط دائرة نصف قطرها 1 هو 2pi، ومعنى «راديان واحد» هو «قوس بطول نصف قطر واحد». ونصف الدورة 180° أو pi. ومن هنا تصبح الزوايا الخاصة كسورًا واضحة من نصف الدورة: 30° هي سدس 180°، أي pi/6؛ و45° ربعها، pi/4؛ و60° ثلثها، pi/3.
الراديان يبدو أصعب وهو في الواقع أسهل، لأن المقام يخبرك كم مرة تدخل تلك الزاوية في نصف دورة.
حيث ينكسر الظل
اسحب إلى 90° فيقول مؤشّر الظل غير معرّف. هذا ليس نقصًا في الأداة — إنه حساب. عند 90° تكون النقطة في الأعلى تمامًا، عند (0, 1)، إذن cos(x) يساوي صفرًا، والظل هو sin(x)/cos(x). ولا يوجد عدد يساوي 1 مقسومًا على 0.
والأمر نفسه يحدث عند 270°. وفي كل موضع آخر يكون الظل عددًا عاديًا تمامًا، وعند 45° يساوي بالضبط 1 — وهذا منطقي، فالجيب وجيب التمام متساويان هناك، وأي شيء مقسوم على نفسه يساوي 1.
جرّب واحدة
أزح الشكل جانبًا لحظة وأجب من الذاكرة. وإن أخطأت فالدائرة أمامك مباشرة.
إن احتجت إلى النظر فتلك معلومة مفيدة: تعني أن الصورة لم تصبح تلقائية بعد، وحلّ نحو اثنتي عشرة مسألة كهذه هو تمامًا ما يغيّر ذلك.
أسئلة متكررة
- ما هي دائرة الوحدة؟
- هي الدائرة التي نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل. فائدتها تأتي من حقيقة واحدة: إذا رسمت مستقيمًا من المركز بزاوية معيّنة وعلّمت موضع تقاطعه مع الدائرة، فإن إحداثيّي تلك النقطة هما بالضبط (جيب تمام الزاوية، جيب الزاوية). أي أن الدائرة تحوّل سؤالًا عن المثلثات إلى سؤال عن الإحداثيات، وهذا أسهل بكثير في التصوّر.
- لماذا النقطة هي (cos, sin) وليست (sin, cos)؟
- لأن جيب التمام يقيس المسافة الأفقية، والإحداثي x هو الأفقي. أنزل عمودًا من النقطة إلى المحور x فتحصل على مثلث قائم وتره 1. الضلع الأفقي مجاور للزاوية، فهو جيب التمام مقسومًا على 1، أي جيب التمام نفسه. والضلع الرأسي مقابل، فهو الجيب. لذلك الإحداثي x هو جيب التمام والإحداثي y هو الجيب، بهذا الترتيب.
- هل يجب أن أحفظ دائرة الوحدة كلها؟
- لا، ومحاولة ذلك هي الخطأ المعتاد. القيم التي تحتاجها ثلاث فقط — 1/2 و√2/2 و√3/2 — وقاعدة واحدة للإشارات. وكل ما عدا ذلك هو تلك الأرقام الثلاثة أمامها إشارة زائد أو ناقص، والذي يحدّد الإشارة هو الربع الذي أنت فيه. تعلّم الربع الأول وقاعدة الإشارات فتصبح الزوايا الست عشرة كلها في يدك.
- كيف أحوّل بين الدرجات والراديان؟
- الدورة الكاملة 360 درجة وهي في الوقت نفسه 2π راديان، إذن نصف الدورة 180 درجة و π راديان. من هنا يأتي التحويل: اضرب الدرجات في π/180 لتحصل على الراديان، أو اضرب الراديان في 180/π لتحصل على الدرجات. عمليًا نادرًا ما تحسب ذلك: 30 و45 و60 و90 درجة هي π/6 وπ/4 وπ/3 وπ/2، وكل زاوية خاصة أخرى مضاعف لها.
- لماذا الظل غير معرّف عند 90 درجة؟
- لأن الظل هو الجيب مقسومًا على جيب التمام، وعند 90 درجة يكون جيب التمام صفرًا. والقسمة على صفر لا تعطي عددًا، فلا قيمة للظل هناك. في منحنى الظل يظهر ذلك كمُقارب رأسي: كلما اقتربت الزاوية من 90 درجة انطلقت القيمة بعيدًا دون أن تصل إلى أي مكان.
الآن جرّبها بنفسك، فعلاً
قراءة حلّ شخص آخر ليست كالقدرة على الحل بنفسك. دورة الرياضيات في Coddy تضعك على لوح يتحقق من كل خطوة تقوم بها، فتعرف حقًا أين أنت.
