دائرة الوحدة
دائرة الوحدة هي الدائرة التي نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل. النقطة عند أي زاوية عليها هي (cos, sin)، لذا يضم جدول واحد كل القيم الخاصة للجيب وجيب التمام والظل.
آخر تحديث
يعطي هذا الجدول قيم الجيب وجيب التمام عند الزوايا الخاصة الست عشرة كلها، بالدرجات والراديان. يمكنك تحويله ليعرض الظل أيضًا، أو إلى دائرة فارغة تطبعها وتملؤها.
جدول دائرة الوحدة
قيم دائرة الوحدة
كل قيمة في الجدول، مجموعة في جدول واحد. الظل هو الجيب مقسومًا على جيب التمام، لذا لا قيمة له حيث يكون جيب التمام صفرًا.
| الدرجات | الراديان | cos | sin | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | غير معرّف |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | غير معرّف |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
لماذا النقطة هي (cos, sin)
اسحب النقطة حول الدائرة وراقب الضلعين المتقطعين.
اسحب النقطة. الضلع الأخضر هو جيب التمام والأحمر هو الجيب، ولهذا فإن النقطة هي (cos, sin).
نصف قطر الدائرة 1، وهذا هو السر كله. ارسم خطًا من المركز إلى الدائرة بزاوية ما، ثم أنزل من تلك النقطة خطًا عموديًا إلى المحور x. يصبح لديك مثلث قائم وتره هو نصف القطر، فالوتر يساوي 1.
في هذا المثلث، جيب التمام هو المجاور على الوتر. المجاور هو الضلع الأفقي، والوتر يساوي 1، فجيب التمام هو الضلع الأفقي. وبالحجة نفسها يكون الجيب هو الضلع الرأسي. لذلك النقطة هي (cos(x), sin(x)): المسافة الأفقية أولًا ثم الرأسية، x قبل y.
الأعداد الثلاثة التي تحتاجها فعلًا
يحتوي الربع الأول على كل القيم التي تستخدمها الدائرة:
| الزاوية | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | √3/2 | 1/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | 1/2 | √3/2 |
ثلاث قيم مختلفة: 1/2 و√2/2 و√3/2. لاحظ أن 30° و60° هما الزوج نفسه بترتيب معكوس. مجموع الزاويتين 90°، فمثلثاهما مثلث واحد يُرى من الطرف الآخر.
الإشارات في كل ربع
كل زاوية خارج الربع الأول تستخدم أحد هذه الأعداد الثلاثة مع إشارة. لتجدها، خذ الزاوية المرجعية، وهي الزاوية بين الخط والمحور x: الزاوية 150° تنقص 30° عن 180°، فزاويتها المرجعية 30° وقيمها هي قيم 30° بإشارات جديدة.
تأتي الإشارات من موقع النقطة. جيب التمام هو المسافة الأفقية، فهو سالب في النصف الأيسر من الدائرة. والجيب هو المسافة الرأسية، فهو سالب في النصف السفلي. يبيّن الجدول إشارتي (cos, sin) في كل ربع:
| الربع | الزوايا | cos | sin | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0° إلى 90° | + | + | + |
| II | 90° إلى 180° | − | + | − |
| III | 180° إلى 270° | − | − | + |
| IV | 270° إلى 360° | + | − | − |
إذن 150° هي (−√3/2, 1/2)، و210°، التي زاويتها المرجعية 30° أيضًا، هي (−√3/2, −1/2).
دائرة الوحدة بالراديان
الدورة الكاملة 360°، وهي أيضًا 2π راديان، لأن محيط دائرة نصف قطرها 1 يساوي 2π: الراديان الواحد يقابل قوسًا طوله نصف قطر واحد. نصف الدورة 180° أو π.
ومن هنا تصبح الزوايا الخاصة كسورًا من نصف الدورة. 30° سدس 180°، فهي π/6؛ و45° ربعها، π/4؛ و60° ثلثها، π/3. يخبرك المقام بعدد المرات التي تدخل فيها تلك الزاوية في نصف الدورة، ويعدّها البسط: 150° خمسة أسداس نصف الدورة، 5π/6.
الظل على دائرة الوحدة
الظل هو النسبة sin(x)/cos(x)، وهي ميل الخط من المركز إلى النقطة. عند 45° يتساوى الجيب وجيب التمام، فالظل يساوي 1 تمامًا. عند 30° يساوي √3/3 وعند 60° يساوي √3.
عند 90° تكون النقطة في الأعلى تمامًا عند (0, 1)، فجيب التمام 0 والظل غير معرّف: لا يوجد عدد يساوي 1 مقسومًا على 0، والخط الرأسي ليس له ميل. ويحدث الشيء نفسه عند 270°. وفي كل مكان آخر يتبع الظل قاعدة الإشارات: موجب حيث يتفق الجيب وجيب التمام في الإشارة (الربعان I وIII)، وسالب حيث يختلفان. نسخة الظل من الجدول تطبع كل القيم.
اختبار دائرة الوحدة والتدريب
حوّل الدائرة القابلة للسحب أعلاه إلى اختبرني: تخفي القيم، فتقولها أنت ثم تتحقق. أو أجب عن هذا السؤال من الذاكرة:
للتدريب على الورق، اطبع الجدول الفارغ واملأ النقاط الست عشرة كلها. حين تستطيع ذلك في أقل من دقيقتين دون أن تنظر، فأنت تعرف دائرة الوحدة.
أسئلة متكررة
ما هي دائرة الوحدة؟
هي الدائرة التي نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل. ارسم خطًا من المركز بزاوية ما وحدد النقطة التي يقطع فيها الدائرة: إحداثيا تلك النقطة هما بالضبط (جيب تمام الزاوية، جيب الزاوية). وهكذا تحوّل الدائرة سؤالًا عن المثلثات إلى سؤال عن الإحداثيات، وهو أسهل بكثير في التصور.
ما قيم دائرة الوحدة؟
عند الزوايا الخاصة الست عشرة، كل إحداثي هو أحد الأعداد 0 أو 1/2 أو √2/2 أو √3/2 أو 1، مع إشارة. في الربع الأول: 30° هي (√3/2, 1/2)، و45° هي (√2/2, √2/2)، و60° هي (1/2, √3/2). وكل زاوية خاصة أخرى تكرر أحد هذه الأزواج بإشارات ربعها. يسرد الجدول في هذه الصفحة الزوايا الست عشرة كلها مع الظل.
هل توجد دائرة وحدة للطباعة أو دائرة وحدة فارغة؟
نعم. يمكن تنزيل الجدول في أعلى هذه الصفحة بصيغة PDF بحجم Letter أو بصيغة PNG، في ثلاث نسخ: مع الإحداثيات، ومع الإحداثيات والظل، وفارغة. تحتفظ النسخة الفارغة بالدائرة والمحورين والنقاط الست عشرة، فتملأ كل التسميات بنفسك.
لماذا النقطة على دائرة الوحدة هي (cos, sin) وليست (sin, cos)؟
لأن جيب التمام يقيس المسافة الأفقية، والإحداثي x هو الإحداثي الأفقي. أنزل خطًا عموديًا من النقطة إلى المحور x فتحصل على مثلث قائم وتره 1. الضلع الأفقي مجاور للزاوية، فهو cos على 1، أي cos نفسه. والضلع الرأسي مقابل لها، فهو sin.
كيف أحفظ دائرة الوحدة؟
احفظ ثلاثة أعداد وقاعدة واحدة. الأعداد هي 1/2 و√2/2 و√3/2، وهي قيم الربع الأول. والقاعدة هي الإشارة: جيب التمام سالب في النصف الأيسر من الدائرة، والجيب سالب في النصف السفلي. كل زاوية أخرى هي قيمة من الربع الأول بهذه الإشارات، تجدها من زاويتها المرجعية.
كيف أحوّل بين الدرجات والراديان؟
الدورة الكاملة 360 درجة وهي أيضًا 2π راديان، فنصف الدورة 180 درجة وπ راديان. اضرب الدرجات في π/180 لتحصل على الراديان، أو اضرب الراديان في 180/π لتحصل على الدرجات. إذن 30° هي π/6، و45° هي π/4، و60° هي π/3، و90° هي π/2.
لماذا الظل غير معرّف عند 90 درجة؟
الظل هو الجيب مقسومًا على جيب التمام. عند 90° تكون النقطة في الأعلى تمامًا عند (0, 1)، فجيب التمام 0، والقسمة على 0 ليس لها جواب. ويحدث الشيء نفسه عند 270°. ويمكنك أن ترى ذلك على الدائرة أيضًا: الظل هو ميل الخط من المركز، والخط الرأسي ليس له ميل.
هذا القانون وكل القوانين المرتبطة به، في ورقة واحدة قابلة للطباعة:
قوانين حساب المثلثات