تبسيط 12/16
plain
12/16العدد 12 هو 2² · 3 والعدد 16 هو 2⁴. المشترك 2²، فالقاسم المشترك الأكبر 4: اقسم الحدّين فتحصل على 3/4. القسمة على 2 كانت ستعطي 6/8، وهي صحيحة لكن غير منتهية، لأن 6 و8 ما زالا يشتركان في 2.
حاسبة تبسيط الكسور
بسّط أي كسر إلى أبسط صورة، والعامل المشترك يُوجَد لا يُفترض.
آخر تحديث
تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
تبسيط الكسر عملية قسمة واحدة، تُجرى على الحدّين
لا تتغيّر قيمة الكسر إذا ضُرب حدّاه أو قُسما على العدد نفسه: 12/16 و6/8 و3/4 كمية واحدة مكتوبة بثلاث صور. التبسيط يعني قسمة البسط والمقام على كل ما يشتركان فيه، حتى لا يبقى بينهما مشترك. ذلك العدد هو القاسم المشترك الأكبر، وهو الشيء الوحيد الذي عليك إيجاده.
معظم الحاسبات تكتب الكسر المختصر وتتوقف، فتخفي النصف المثير للاهتمام. هنا يُحلّل الحدّان أولاً إلى عوامل أولية: 12 هو 2² · 3 و16 هو 2⁴، والمشترك بينهما 2²، فالعامل إذن 4. لهذا 4 وليس 2 ولا 8 - وبعد أن ترى ذلك مرتين أو ثلاثاً لن تحتاج الحاسبة، وهذا هو المقصود.
كل شيء دقيق. 1/3 تُكتب 0.333… مع تعليم الجزء الدوري لا 0.3333333333، والسدس كنسبة مئوية هو 16⅔% لا 16.67%، وإشارة العدد الكسري تخصّ الكمية كلها، فـ -2 3/4 يساوي -11/4 ولا يساوي -5/4 أبداً.
ما ينبغي ملاحظته
- أبسط صورة تعني أن الحدّين لا يشتركان في أي عامل أكبر من 1. هذا هو شرط الانتهاء، وليس «الأعداد تبدو صغيرة».
- العامل الذي تقسم عليه هو القاسم المشترك الأكبر. القسمة على عامل مشترك أصغر تنجح أيضاً لكنها تحتاج أكثر من دورة: 12/16 على 2 تعطي 6/8، وفيها 2 أخرى باقية.
- تبسيط الكسر وإيجاد القاسم المشترك الأكبر مسألة واحدة. من يعرف أحدهما يعرف الآخر - وحاسبتا هذا الموقع تسيران في الطريق نفسه عن قصد.
- الكسر الذي حدّاه أوليان فيما بينهما منتهٍ. الكسر 7/9 لا يُبسَّط، وأن يُقال لك ذلك جواب لا فشل.
- التبسيط لا يغيّر العدد العشري ولا النسبة المئوية، لأنه لا يغيّر القيمة. وهذا تحقّق مجاني: إذا تغيّر العدد العشري فقد قسمت حدّاً واحداً فقط.
كيف تبسّط كسراً
ابدأ بالعدد الكسري
إذا كان أمامه عدد صحيح فأدخله: اضرب الصحيح في المقام وأضف البسط. يصبح 2 6/8 هو (2 · 8 + 6)/8 = 22/8. والإشارة، إن وُجدت، تخصّ الكمية كلها.
حلّل الحدّين إلى عوامل أولية
22 هو 2 · 11 و8 هو 2³. كتابتهما هي ما يجعل العوامل المشتركة مرئية بدلاً من أن تُخمَّن.
اضرب العوامل الأولية المشتركة
خذ كل عامل أولي يملكه الاثنان، بعدد المرات التي يملكها فيها كلاهما. هنا 2 واحدة فقط، فالقاسم المشترك الأكبر هو 2.
اقسم الحدّين عليه
22 ÷ 2 = 11 و8 ÷ 2 = 4، فالكسر هو 11/4. تحقّق من الانتهاء: 11 و4 لا يشتركان في شيء، فهذه أبسط صورة.
اكتبه بالصورة التي يطلبها السؤال
11/4 أكبر من الواحد، فيمكن كتابته أيضاً عدداً كسرياً 2 3/4: القيمة نفسها، وهي عادةً الصورة المتوقعة إذا بدأ السؤال بعدد كسري.
الكسور في أبسط صورة
الكميات الثماني نفسها بكل أثوابها: الكسر كما هو، العامل الخارج، الصورة المختصرة، العدد العشري الدقيق، والنسبة المئوية الدقيقة.
| الكسر | ق.م.أ | أبسط صورة | عشري | نسبة مئوية |
|---|---|---|---|---|
| 12/16 | 4 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 8/12 | 4 | 2/3 | 0.666… | 66⅔% |
| 84/126 | 42 | 2/3 | 0.666… | 66⅔% |
| 15/25 | 5 | 3/5 | 0.6 | 60% |
| 45/60 | 15 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 18/6 | 6 | 3 | 3 | 300% |
| 7/9 | 1 | 7/9 | 0.777… | 77⁷⁄₉% |
| 2 6/8 | 2 | 2 3/4 | 2.75 | 275% |
أمثلة محلولة
كسر منتهٍ أصلاً: 7/9
plain
7/9العدد 7 أولي و9 هو 3²، فلا يشتركان في شيء أكبر من 1 والكسر لا يُبسَّط. تقول الصفحة ذلك بدلاً من التمثيل بأنها تعمل: «في أبسط صورة أصلاً» جواب للسؤال المطروح.
مثال كبير: 84/126
plain
84/126العدد 84 هو 2² · 3 · 7 و126 هو 2 · 3² · 7. المشترك: 2 واحدة و3 واحدة و7 واحدة - فالعامل 42 وينزل الكسر مباشرة إلى 2/3. رؤية 42 بالعين صعبة، أما قراءتها من التحليلين فليست كذلك.
عدد كسري: 2 6/8
plain
2 6/8أدخله أولاً: 2 · 8 + 6 = 22، أي 22/8. ثم اختصر على 2 لتصل إلى 11/4 واكتبه ثانية 2 3/4. لم يكن العدد الصحيح بحاجة إلى لمس - القابل للاختصار هو الجزء الكسري وحده.
كسر يعطي عدداً صحيحاً: 18/6
plain
18/6القاسم المشترك الأكبر 6، وقسمة الحدّين تعطي 3/1، أي 3 فقط. وخط الكسر فوق لا شيء يُقرأ كخطأ، فيُكتب الجواب 3 مجرداً.
أخطاء شائعة
- قسمة حدّ واحد فقط. الكسر 12/16 ليس 3/16: ما تفعله في الأعلى افعله في الأسفل، وإلا فقد غيّرت القيمة.
- التوقف مبكراً. الكسر 6/8 تبسيط صحيح لـ 12/16 ومع ذلك ليس الجواب: معظم التصحيح يطلب أبسط صورة.
- الطرح بدلاً من القسمة. لا يصبح 12/16 هو 8/12 «لأني أنقصت 4 من الاثنين». الكسور نسب: الضرب والقسمة وحدهما يتركانها كما هي.
- الاختصار عبر عملية جمع. في (4 + 6)/2 لا يمكن اختصار 4 مع 2: العدد 2 يقسم البسط كله، فالجمع أولاً.
- وضع إشارة العدد الكسري على الجزء الكسري. المقصود بـ -2 3/4 هو -(2 + 3/4) = -11/4. قراءته -2 + 3/4 تعطي -5/4، وهو عدد آخر تماماً.
- التقريب في الطريق. إذا أردت العدد العشري أو النسبة المئوية فاحصل أولاً على الكسر الدقيق: 1/3 مكتوباً 0.33 لم يعد ثلثاً.
أسئلة شائعة عن تبسيط الكسور
كيف أبسّط كسراً؟
اقسم البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر. في 12/16 هذا العامل هو 4 فيصبح الكسر 3/4. وإذا لم ترَ العامل فحلّل العددين إلى عوامل أولية واضرب المشتركة بينهما: هذا الضرب هو القاسم المشترك الأكبر نفسه.
ماذا تعني «أبسط صورة»؟
تعني أن البسط والمقام لا يشتركان في أي عامل أكبر من 1. الكسر 3/4 في أبسط صورة، أما 6/8 فلا، لأن الحدّين ما زالا زوجيين. وعبارة «الكسر المختصر» تعني الشيء نفسه تماماً.
كيف أعرف أن كسراً لا يُبسَّط؟
عندما يكون القاسم المشترك الأكبر للحدّين هو 1؛ يُقال حينها إنهما أوليان فيما بينهما. تحقّق سريع: إذا كان البسط عدداً أولياً ولا يقسم المقام فقد انتهيت. الكسور 7/9 و5/12 و13/20 منتهية كما هي.
هل يعمل هذا مع الأعداد الكسرية والكسور غير الحقيقية؟
نعم. يُحوَّل العدد الكسري أولاً إلى كسر واحد (يصبح 2 6/8 هو 22/8)، ثم يُختصر، ثم يُكتب عدداً كسرياً مرة أخرى إن كان أكبر من الواحد. والكسور غير الحقيقية تُعالج بالطريقة نفسها وتُعطى الصورتان معاً.
لماذا يظهر الجواب عشرياً دورياً لا مقرَّباً؟
لأنهما عددان مختلفان. الثلث هو 0.333… بلا نهاية، و0.333 ليس ثلثاً: إنه أصغر بثلاثة من ألف من الألف. تعليم الجزء الدوري هو الطريقة الصادقة الوحيدة لكتابة القيمة، ولهذا لا تقرّب الصفحة.
هل تبسيط الكسر هو نفسه إيجاد القاسم المشترك الأكبر؟
عملياً نعم: العمل كله إيجاد القاسم المشترك الأكبر ثم قسمة واحدة به. لهذا تعرض هذه الصفحة التحليلين، ولهذا تسير حاسبة القاسم المشترك الأكبر هنا في الطريق نفسه: مهارة واحدة باسمين.
هل يجب تبسيط الأجوبة دائماً؟
في الغالب نعم. الكسر غير المبسّط ليس خطأً في القيمة، لكن معظم معايير التصحيح تمنح الدرجة لأبسط صورة، ومقارنة كسرين أسهل بكثير حين يكون كلاهما مختصراً. الاستثناء سؤال يطلب مقاماً محدداً.
