المربّعات الكاملة
المربّع الكامل ليس عددًا يحمل خاصيّة غامضة عليك البحث عنها، بل كميّة يمكن رصفها في هيئة مربّع حقيقي - وكل ما عدا ذلك ينبع من هنا.
آخر تحديث
تبدو عبارة "مربّع كامل" وكأنها لافتة ألصقها أحدهم بقائمة أعداد صار عليك حفظها. ليست كذلك. الاسم وصفٌ لشكل، وما إن ترى الشكل حتى تكفّ القائمة عن الحاجة إلى الحفظ أصلًا.
حرّك المؤشر، وراقب ما يُضاف في كل مرة.
حرّك المؤشر خطوة واحدة. الشكل L المظلّل هو ما أُضيف؛ عُدّه لتحصل على الفرق بين مربّعَين متتاليَين.
الاسم حرفيّ
6^2 = 36 لا تعني أن العدد 6 "خضع لعملية التربيع"، بل تعني: خُذ 36 مربّعًا صغيرًا وستستطيع رصفها في هيئة مربّع ضلعه 6. خُذ 35 فلن تستطيع؛ سيبقى دائمًا فراغ أو زيادة. هذا هو التعريف كله، ولهذا كانت الكلمة "مربّع" لا شيئًا مجرّدًا.
اقرأ الصورة نفسها بالمقلوب فتحصل على الجذور التربيعية. فـ sqrt(36) = 6 هي السؤال: "إذا كانت 36 مربّعًا تُشكّل مربّعًا، فكم طول ضلعه؟" ويكون للعدد جذر تربيعي صحيح تحديدًا حين يكون مربّعًا كاملًا، ولهذا تُدرَّس الفكرتان معًا دائمًا.
القائمة الجديرة بالمعرفة
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
عشرون مدخلًا تغطّي عمليًّا كل سؤال مدرسي، لأن المسائل تُبنى من الإجابة إلى الوراء - من إجابة يمكن التحقّق منها.
الفروق هي الأعداد الفردية
هذا هو الغرض الحقيقي من المؤشر. ادفعه من 5 إلى 6 وعُدّ حرف L المظلّل الذي يظهر: خمسة مربّعات على الضلع الجديد، وخمسة في الأعلى، وواحد في الزاوية. أحد عشر.
وعمومًا، الانتقال من n^2 إلى (n+1)^2 يضيف 2n+1 مربّعًا، وهو فردي دائمًا. لذلك تسير الفروق بين المربّعات المتتالية 3، 5، 7، 9، 11، 13…، وجمع الأعداد الفردية بالترتيب يعطي المربّعات بالترتيب:
1 = 1، 1 + 3 = 4، 1 + 3 + 5 = 9، 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
وهذه أيضًا طريقة سريعة فعلًا لتمديد الجدول ذهنيًّا. إذا كنت تعرف أن 14^2 = 196 وأردت 15^2، أضِف 2*14 + 1 = 29 فتحصل على 225.
التعرّف على أحدها بلا آلة حاسبة
مِصفاتان تقطعان بك معظم الطريق.
انظر إلى الرقم الأخير. ربّع أي عدد فسينتهي بـ 0 أو 1 أو 4 أو 5 أو 6 أو 9، ولن ينتهي أبدًا بـ 2 أو 3 أو 7 أو 8. إذن 4398 ليس مربّعًا كاملًا، ولم تضطر إلى أي حساب. وليست هذه مصادفة: الرقم الأخير لحاصل الضرب يعتمد على الأرقام الأخيرة للعوامل فقط، وتربيع الأرقام من 0 إلى 9 لا ينتج سوى تلك النهايات الستّ.
ثم احصره. العدد 200 يقع بين 14^2 = 196 و 15^2 = 225، فلم يبقَ عدد صحيح يمكن أن يكون 200 مربّعًا له. وأي عدد يقع تمامًا بين مربّعَين متتاليَين ليس مربّعًا.
لماذا تظهر باستمرار
المربّعات الكاملة هي سبب تحلّل بعض العبارات التربيعية بنظافة دون غيرها. فـ x^2 - 49 ينفصل بوصفه فرق مربّعين لأن 49 مربّع كامل، بينما x^2 - 50 لا ينفصل. وهي أيضًا ما يجعل الجذر يُبسَّط: يصير sqrt(75) هو 5sqrt(3) تحديدًا لأن 25 مربّع كامل مختبئ داخل 75.
جرّب واحدًا
وواحد يسير في الاتجاه المعاكس: معادلة لا عملية بحث. لاحظ أن لها إجابتين، وهو أكثر ما يُخطئ فيه الناس مع الجذور:
كلٌّ من 7 و-7 يعطي 49 عند التربيع، فكلاهما حل. أما الرمز sqrt(49) فيدلّ على الموجب وحده، وذلك اصطلاح يخصّ الرمز لا حقيقة تخصّ المعادلة.
أسئلة متكررة
- ما هو المربّع الكامل؟
- عدد صحيح تحصل عليه بضرب عدد صحيح في نفسه. العدد 9 مربّع كامل لأن 3 في 3 يساوي 9، أما 10 فليس كذلك لأنه ما من عدد صحيح مضروب في نفسه يعطي 10. والاسم حرفيّ: هذا العدد بالضبط من المربّعات الصغيرة يمكن ترتيبه في هيئة مربّع.
- ما المربّعات الكاملة من 1 إلى 100؟
- 1 و4 و9 و16 و25 و36 و49 و64 و81 و100، أي مربّعات الأعداد من 1 إلى 10. وبعد المئة تأتي 121 و144 و169 و196 و225 و256 و289 و324 و361 و400، وهذا يبلغ بك مربّع العشرين ويغطّي تقريبًا كل ما تطلبه المسائل المدرسية.
- كيف أعرف أن عددًا ما مربّع كامل؟
- مِصفاتان سريعتان ثم تحقّق واحد. لا ينتهي المربّع الكامل أبدًا بـ 2 أو 3 أو 7 أو 8، فتُستبعد هذه فورًا. فإن نجا، ابحث عن أقرب مربّع تعرفه: العدد 200 يقع بين 196 و225، فهو ليس مربّعًا. ولا تحتاج إلى أخذ الجذر إلا بعد اجتياز المِصفاتين.
- لماذا تكون الفروق بين المربّعات الكاملة أعدادًا فردية؟
- لأن الانتقال من مربّع ضلعه n إلى مربّع ضلعه n+1 يعني إضافة شريط على الجانب وآخر في الأعلى ومربّع واحد في الزاوية: n + n + 1، وهو فردي دائمًا. لذلك تسير الفروق 3، 5، 7، 9…، وجمع الأعداد الفردية بالترتيب يعطي المربّعات بالترتيب.
- هل الصفر مربّع كامل؟
- نعم. صفر في صفر يساوي صفرًا، وهذا ينطبق على التعريف تمامًا. تبدأ بعض القوائم المدرسية من 1 لأن تصوّر مربّع بلا ضلع صعب، لكن لا شيء في التعريف يستبعده، واعتبار الصفر مربّعًا يُبقي الجبر اللاحق أكثر انتظامًا.
الآن جرّبها بنفسك، فعلاً
قراءة حلّ شخص آخر ليست كالقدرة على الحل بنفسك. دورة الرياضيات في Coddy تضعك على لوح يتحقق من كل خطوة تقوم بها، فتعرف حقًا أين أنت.
تريد تجربتها على أرقامك؟
Equation Solver افتح الحاسبة