العربية
حل أي معادلة تربيعية بكل الخطوات مكتوبة وبقيم دقيقة.
آخر تحديث
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
المعادلة التربيعية هي أي معادلة يمكن كتابتها بالشكل ax² + bx + c = 0 حيث a لا يساوي صفرًا. والصيغة x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a تحل كل واحدة منها دون استثناء، وهذا أمر غير معتاد ويستحق التقدير. التحليل إلى عوامل ينجح فقط إذا كانت الأعداد ودودة؛ وإكمال المربع ينجح دائمًا لكنه يحتاج تمرينًا؛ والصيغة تنجح دائمًا ولا تحتاج إلا العناية.
الجزء الذي يقوم بالعمل الحقيقي هو ما تحت الجذر. b² - 4ac يُسمّى المميّز، وإشارته تحدّد شكل الجواب قبل حساب أي شيء آخر: موجب يعني جذرين، صفر يعني جذرًا مكرّرًا، سالب يعني ألا حل حقيقي. النظر إلى المميّز أولًا يخبرك بنوع الجواب المتوقّع، وهذا أسرع طريق لاكتشاف خطأ حسابي لاحقًا.
الصيغة ليست حركة واحدة، وهذا أشيع سوء فهم عنها. إنها إجراء قصير: عوّض، احسب المميّز، خُذ الجذر، افصل الـ ±، ثم بسّط كل فرع. هذه الحاسبة تمشي في الخمس كلها لترى أيها كنت ستخطئ فيه.
اكتب a وb وc في الخانات. الأعداد الصحيحة والعشرية والكسور مثل 1/2 كلها تعمل. الحد الغائب يعني معاملًا صفريًا: في x² - 4 = 0 يكون b صفرًا.
اكتب شيئًا مثل 2x^2 - 5x + 2 = 0 في خانة المعادلة واضغط اقرأها. الحدود على الطرفين تُجمَع تلقائيًا إلى اليسار، فـ 3x^2 = 2x + 1 يعمل أيضًا.
الخطوة الرابعة تعطيك b² - 4ac. لاحظ إشارته وتوقّع شكل الجواب — جذران، أو واحد، أو لا شيء — قبل أن تنزل أكثر.
إذا اختلف جوابك، فالسؤال المفيد ليس أي رقم صحيح بل في أي خطوة تفرّق الطريقان. اعثر على ذلك السطر ويشرح الخطأ نفسه.
القانون ليس بديهية. إنه ما تحصل عليه حين تُكمل المربع مرة واحدة على المعادلة العامة، حتى لا يضطر أحد إلى إعادة ذلك بأعداده الخاصة. أن تمرّ عليه مرة واحدة هو الفرق بين حفظ القانون ومعرفته.
a x^2 + b x + c = 0
لا يمكن أن يكون a صفرًا: بلا حدّ في x² لا يبقى شيء تربيعي يُحلّ، كما أن 2a في المقام سيصير صفرًا أيضًا.
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
إكمال المربع يحتاج إلى x² بلا معامل، فلا بدّ من إخراج a من الأمام. وهذه أيضًا الخطوة التي تضع a في المقام، حيث يبقى حتى النهاية.
x^2 + (b/a) x = -c/a
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
نصف b/a هو b/2a، ومربّعه b²/4a². على هذه الحركة يقوم الاشتقاق كله: هي بالضبط ما كان ينقص الطرف الأيسر ليصبح مربعًا كاملًا.
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
وهنا يظهر المميّز b² - 4ac من تلقاء نفسه، قبل أن يمنحه أحد اسمًا.
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
بالإشارتين معًا، لأن كلتيهما تعطيان المربع نفسه. يخرج 2a من √(4a²) على صورة |2a|، والإشارة ± في المقدمة تستوعب الإشارة في الحالتين.
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)
لم تستخدم هذه الأسطر السبعة أي a أو b أو c بعينها، ولهذا تصلح النتيجة لكل معادلة تربيعية. وللسبب نفسه يحدّد المميّز شكل الإجابة: فهو العدد تحت الجذر، وإن كان سالبًا فلا مكان تذهب إليه الخطوة السادسة.
قيمة b² - 4ac تحدّد كل شيء عن شكل الجواب قبل أخذ أي جذر.
| المميّز | الجذور الحقيقية | الرسم | مثال |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | جذران حقيقيان مختلفان | يقطع محور x مرتين | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | جذر مكرّر واحد | يلامس محور x مرة | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | لا حل حقيقي | لا يصل إلى محور x | x² + 2x + 5 = 0 |
| مربع كامل | جذران نسبيان | يقطع عند كسرين أو عددين صحيحين | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| موجب وليس مربعًا كاملًا | جذران غير نسبيين | يقطع عند جذرين | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
a = 1, b = -5, c = 6المميّز هو (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. جذره التربيعي يساوي 1 بالضبط، فالجذران (5 + 1)/2 = 3 و(5 - 1)/2 = 2. ولأن المميّز مربع كامل فالجذران نسبيان، والمعادلة تُحلَّل أيضًا إلى (x - 3)(x - 2) = 0. هذه هي الحالة التي كان التحليل فيها أسرع.
a = 2, b = -5, c = 2المميّز هو 25 - 16 = 9، فـ √9 = 3 والجذران (5 + 3)/4 = 2 و(5 - 3)/4 = 1/2. لاحظ أن الجذر الثاني يبقى 1/2 ولا يُعرض أبدًا كـ 0.5: الكسر هو القيمة الدقيقة، والعدد العشري تقريب لها حدث أن جاء قصيرًا.
a = 1, b = -4, c = 1المميّز هو 16 - 4 = 12، وهو ليس مربعًا كاملًا. √12 يُبسَّط إلى 2√3، فالجذران (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. هنا تبدأ معظم الحاسبات بطباعة 3.7320508 وتتوقّف عن كونها مفيدة: الجواب هو 2 + √3، وأي عدد عشري تقريب له.
a = 1, b = 2, c = 5المميّز هو 4 - 20 = -16. لا عدد حقيقي مربّعه سالب، فالمعادلة بلا حل حقيقي والحل يتوقّف هناك. القطع المكافئ يبقى كله فوق محور x. وإن كان منهجك قد وصل إلى الأعداد المركّبة فالجذران -1 ± 2i، لكن هل يُحتسب ذلك جوابًا يعتمد على نظام الأعداد الذي تعلّمت العمل فيه.
