الكسور المتكافئة
كسران لا يشتركان في رقم واحد قد يكونان المقدار نفسه. يبدو ذلك حيلةً حتى تراه مرة واحدة على شكل طول، وبعدها لا يفاجئ أبدًا.
آخر تحديث
اسأل أحدهم إن كان 2/3 و8/12 العدد نفسه، وستحصل عادةً على تردّد. لا شيء متشابه: لا البسط، ولا المقام، ولا حجم الأرقام. ومع ذلك هما المقدار نفسه بالضبط، دون أي تقريب.
السبب أسهل في المشاهدة منه في القول، فها هو على شكل طول.
الخط المتقطّع لا يتحرّك أبدًا. تقطيع الطول نفسه إلى قطع أكثر يغيّر الرقمين ولا يغيّر شيئًا من المقدار الملوّن.
ما لا يتغيّر هو الطول الملوّن
الشريط الأعلى مقطّع إلى 3 قطع، اثنتان منها ملوّنتان. والأسفل هو الشريط نفسه، مقطّعًا إلى 6، بأربع قطع ملوّنة. ارفع المضاعف فيُقطّع الشريط الأسفل إلى 9، ثم 12، ثم 15 قطعة — والخط المتقطّع لا يتحرّك أبدًا.
هذا الخط هو الفكرة كلها. الكسر طول، والعددان ليسا إلا وصفًا لطريقة تقطيعه. المقام يقول إلى كم قطعة قُطّع الكل؛ والبسط يقول كم قطعة أخذت. قطّع كل قطعة إلى نصفين فيصبح لديك ضِعف عدد القطع، كل واحدة بنصف الحجم، وقد أخذت ضِعف العدد. تغييران يلغي أحدهما الآخر.
إذن 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12، والقائمة لا تنتهي: لكل كسر صور متكافئة لا حدّ لعددها.
كيف تصنع واحدًا: اضرب البسط والمقام في العدد نفسه
لكتابة كسر بطريقة أخرى، اضرب الجزأين في العدد نفسه:
2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12
العدد اختيارك، وفي المسائل الحقيقية يُختار لسبب: عادةً لأنك تحتاج مقامًا معيّنًا. إذا طلبت مسألة أثلاثًا مكتوبة على 12 فالمضاعف هو 4، لأن 3*4 = 12.
القاعدة الوحيدة المهمة: الجزأان معًا، أو لا شيء. ضرب البسط وحده يعطي 8/3، أي أربعة أضعاف الحجم. حرّك المنزلق الأعلى في الشكل وراقب الخط المتقطّع يقفز — هذا ما يفعله تغيير عدد واحد بمفرده.
والقسمة تعمل بالطريقة نفسها بالاتجاه المعاكس. 8/12 مقسومًا بسطه ومقامه على 4 هو 2/3، ومرة أخرى لم يتحرّك شيء.
بالاتجاه المعاكس: الاختصار
النزول في القائمة بدل الصعود يُسمّى اختصارًا، وهو الصورة المطلوبة في كل إجابة تقريبًا. اقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر:
| الكسر | القاسم المشترك | أبسط صورة |
|---|---|---|
| 8/12 | 4 | 2/3 |
| 15/25 | 5 | 3/5 |
| 6/9 | 3 | 2/3 |
| 14/21 | 7 | 2/3 |
| 9/12 | 3 | 3/4 |
يكون الكسر في أبسط صورة عندما يكون العدد الصحيح الوحيد الذي يقسم الجزأين هو
- لاحظ أن ثلاثة كسور مختلفة الشكل في الجدول تنتهي إلى 2/3 — وهذا هو المقصود بالضبط: كانت المقدار نفسه من البداية، مكتوبةً بتقطيعات مختلفة.
إذا لم يكن القاسم المشترك واضحًا، يمكنك استخراجه على مراحل. 24/36 عدد زوجي، فاقسم على 2 لتحصل على 12/18؛ ثم مرة أخرى 6/9؛ ثم على 3 لتحصل على 2/3. الوصول في ثلاث خطوات سهلة ليس أسوأ من الوصول في خطوة واحدة ذكية.
لماذا نحتاجها أصلًا
الكسور المتكافئة ليست موضوعًا مستقلًا. هي موجودة لأن جمع الكسور مستحيل بدونها.
1/2 + 1/3 لا يمكن عدّه، لأن النصف والثلث قطعتان مختلفتا الحجم. أعد كتابة الكسرين على 6 — 1/2 = 3/6 و1/3 = 2/6 — والآن هما قطع بحجم واحد، فتُجمعان ببساطة: 3/6 + 2/6 = 5/6.
كل خطوة توحيد مقامات ستقوم بها في حياتك هي كسران متكافئان مكتوبان. لهذا تأتي هذه الفكرة أولًا.
جرّب واحدة
إذا حصلت على 9/12 فقد قسمت مرة واحدة وتوقّفت: 9 و12 ما زالا يشتركان في العامل 3. واصل حتى يصبح العدد الوحيد الذي يقسم الاثنين هو 1.
أسئلة متكررة
- ما هي الكسور المتكافئة؟
- كسران متكافئان إذا وصفا المقدار نفسه، وإن اختلفت أرقامهما. 2/3 و8/12 متكافئان: قطّع شريطًا إلى 3 قطع ولوّن 2، أو قطّع الشريط نفسه إلى 12 قطعة ولوّن 8، وسيصل الجزء الملوّن إلى المكان نفسه بالضبط.
- كيف أجد كسرًا متكافئًا؟
- اضرب البسط والمقام في العدد نفسه. يصبح 2/3 هو 4/6 (في 2)، و6/9 (في 3)، و8/12 (في 4)، وهكذا بلا نهاية. ضرب الجزأين في العدد نفسه يعني تقطيع كل قطعة إلى ذلك العدد من القطع الأصغر: يتغيّر عدد القطع ولا يتغيّر ما لديك.
- لماذا لا يمكنني ضرب البسط وحده؟
- لأن البسط يعدّ القطع والمقام يقول حجم القطعة. تغيير البسط وحده يعني أخذ قطع أكثر من الحجم نفسه، وهذا فعلًا أكثر. يجب تغيير حجم القطعة في الوقت نفسه، وضرب المقام في العدد نفسه هو ما يفعل ذلك.
- كيف أختصر كسرًا إلى أبسط صورة؟
- اقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر. في 8/12 هذا القاسم هو 4، فيصبح 8/12 هو 2/3. يكون الكسر في أبسط صورة عندما يكون العدد الوحيد الذي يقسم الجزأين هو 1، وهذه هي الصورة المطلوبة في كل إجابة تقريبًا.
- فيمَ تُستخدم الكسور المتكافئة؟
- في الجمع والطرح. القطع المختلفة الحجم لا يمكن عدّها معًا، فلا يتقدّم 1/2 + 1/3 حتى يُعاد كتابة الكسرين بالمقام نفسه: 3/6 + 2/6 = 5/6. كل عملية إعادة كتابة كهذه هي كسر متكافئ، ولهذا يقوم حساب الكسور كله على هذه الفكرة.
تريد تجربتها على أرقامك؟
حاسبة الكسور افتح الحاسبة