من نصف قطر 3
plain
r = 3C = 2π · 3 = 6π بالضبط، نحو 18.8496. والمساحة π · 3² = 9π، نحو 28.27. ولاحظ أن نصف القطر يُربَّع للمساحة ولا يُربَّع للمحيط - وهذا الفرق الوحيد هو معظم ما يختلّ في هذا الموضوع.
حاسبة محيط الدائرة
أي قياس واحد للدائرة يعطي البقية، وπ تبقى π.
آخر تحديث
تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
عدد واحد يحدّد الدائرة تحديداً كاملاً
للدائرة درجة حرية واحدة فقط، فأي قياس واحد يثبّت البقية جميعاً. من نصف القطر r: القطر 2r، والمحيط 2πr، والمساحة πr². وهذه القوانين الثلاثة هي الموضوع كله، والشيء الوحيد الذي ينبغي أن يبقى واضحاً أن المحيط يستخدم نصف القطر مرة واحدة والمساحة تستخدمه مرتين - مربّعاً لا مضاعفاً.
وπ هي ما يجعل الدائرة دائرة: نسبة أي محيط إلى قطره نفسه، وهي العدد نفسه لكل دائرة رُسمت يوماً. وهي أصمّ، فلا صورة عشرية دقيقة لها - ولهذا بالضبط تحفظها هذه الصفحة على صورة الحرف π. فالمحيط 6π جواب دقيق، و18.85 تقريب، وليسا قابلين للتبادل عندما يطلب سؤال أحدهما.
وهذه الدقة تعمل في الاتجاه المعاكس أيضاً. أعطِ محيطاً 10 فيكون نصف القطر 5/π - ما زال دقيقاً وما زال عدداً حقيقياً - وتخرج المساحة 25/π. وكل حاسبة منافسة تضرب في 3.14159 في الخطوة الأولى، فلا يمكنها أبداً أن تعيد الجواب الذي يريده سؤال مدرسي.
ما ينبغي ملاحظته
- القانونان C = 2πr وC = πd قانون واحد، لأن d = 2r. استخدم القياس المعطى لك بدل التحويل أولاً.
- المساحة تربّع نصف القطر والمحيط لا. ومضاعفة نصف القطر تضاعف المحيط وتضاعف المساحة أربع مرات.
- π نسبة لا طول: محيط مقسوم على قطر، وتخرج نفسها لكل دائرة. وعلى هذه الحقيقة يقوم الموضوع كله.
- الجواب 6π دقيق و18.85 ليس كذلك. احتفظ بـ π إلا إذا طلب السؤال عدداً عشرياً أو أعطاك قيمة لـ π تستخدمها.
- الرجوع من المحيط يقسم على 2π، وهذا يترك π في المقام. و5/π عدد عادي، نحو 1.59.
- الوحدات تتبع القياس: نصف قطر بالسنتيمتر يعطي محيطاً بالسنتيمتر ومساحة بالسنتيمتر المربّع.
كيف تجد المحيط
حدّد ما أُعطيتَ
نصف قطر أو قطر أو محيط. تختلط بسهولة في سؤال لفظي، ووضع القطر حيث يطلب القانون نصف القطر يضاعف الجواب.
إن كان قطراً فنصّفه
r = d/2. وفعل ذلك أولاً يعني أنك تحتاج قانوناً واحداً بدل تذكّر اثنين.
اضرب في 2π
C = 2πr. واترك π حرفاً في الوقت الحالي - فـ 2π · 3 يساوي 6π، وهذا جواب دقيق منتهٍ.
وبعد ذلك فقط اذهب إلى العشري
إن أراد السؤال عدداً فاضرب في 3.14159… في النهاية تماماً. فالتقريب المبكر يفقد دقة يحتاجها بقية الحل.
وللرجوع اقسم
من المحيط r = C/(2π). وتبقى π في المقام وهذا دقيق؛ والقسمة على 3.14 هنا هي الموضع الذي تُرمى فيه الدقة عادةً.
الدوائر بالأرقام
القياسات الأربعة نفسها لأنصاف أقطار شائعة. العمود الدقيق هو الجواب، والعشري تقريب له.
| نصف القطر | القطر | المحيط | المساحة | المحيط عشرياً |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2π | π | 6.2832 |
| 2 | 4 | 4π | 4π | 12.5664 |
| 3 | 6 | 6π | 9π | 18.8496 |
| 5 | 10 | 10π | 25π | 31.4159 |
| 7 | 14 | 14π | 49π | 43.9823 |
| 10 | 20 | 20π | 100π | 62.8319 |
| 1/2 | 1 | π | π/4 | 3.1416 |
| 2.5 | 5 | 5π | 6.25π | 15.708 |
أمثلة محلولة
من قطر 10
plain
d = 10نصّفه أولاً: r = 5. فيكون C = 2π · 5 = 10π وA = π · 5² = 25π. ولو استُخدم القطر مباشرة في C = 2πr لأعطى 20π - ضعف المطلوب بالضبط، وهو أشيع خطأ هنا.
رجوعاً من محيط 10
plain
C = 10r = 10/(2π) = 5/π، وهو دقيق ونحو 1.5915. والمساحة إذن π · (5/π)² = 25/π، نحو 7.96. وحفظ π في المقام هو ما يجعل هذا دقيقاً؛ ولو قسمت 10 على 6.28 أولاً لقرّبت قبل أن تبدأ المساحة.
نصف قطر كسري: 1/2
plain
r = 1/2C = 2π · 1/2 = π بالضبط - فدائرة نصف قطرها نصف محيطها π تماماً. ومساحتها π/4. والكسور تبقى كسوراً، فلا يُفقد شيء في الطريق.
لماذا 6π ليس 18.85
plain
r = 3العدد 6π عدد دقيق واحد. أما 18.8496 فعدد عشري يوافقه إلى المنزلة الرابعة ثم يفارقه إلى الأبد، لأن π أصمّ. وإن قال السؤال «أعطِ الجواب بدلالة π» فالجواب 6π و18.85 يُعدّ خطأً.
أخطاء شائعة
- وضع القطر في C = 2πr. هذا يضاعف الجواب؛ نصّفه إلى نصف قطر أو استخدم C = πd.
- تربيع نصف القطر للمحيط. فـ C = 2πr يستخدم r مرة واحدة، والمساحة وحدها تربّعه.
- تقريب π في البداية. اضرب في النهاية إن أردت عدداً عشرياً حتى تبقى الخطوات الوسيطة دقيقة.
- استخدام 22/7 كأنها π. تقريب خشن يخطئ بنحو جزء من ألف - جيد للحساب الذهني وخطأ للجواب الدقيق.
- نسيان أن وحدات المساحة مربّعة. فنصف قطر بالمتر يعطي محيطاً بالمتر ومساحة بالمتر المربّع.
- الخلط بين محيط الدائرة ومحيط شكل آخر. فالمحيط هنا هو الدوران حول الدائرة تحديداً؛ وللشكل ذي الأضلاع المستقيمة محيط بمعنى آخر.
أسئلة شائعة عن محيط الدائرة
ما قانون محيط الدائرة؟
C = 2πr من نصف القطر، أو المكافئ C = πd من القطر، لأن القطر نصفا قطر. ولنصف قطر 3 يكون ذلك 6π، نحو 18.85. استخدم القياس الذي في يدك فعلاً.
كيف أجد نصف القطر من المحيط؟
اقسم على 2π: r = C/(2π). فمحيط 10 يعطي r = 5/π، نحو 1.59. وحفظ π في المقام يجعل الجواب دقيقاً - والقسمة على 3.14 أولاً تقرّب قبل أن تنتهي.
ما الفرق بين المحيط والمساحة؟
المحيط هو المسافة حول الحافة ويستخدم نصف القطر مرة واحدة: 2πr. والمساحة هي الحيّز الداخلي وتستخدمه مرتين: πr². ولهذا مضاعفة نصف القطر تضاعف المحيط وتربّع المساحة أربع مرات.
ما معنى «بدلالة π»؟
إبقاء π رمزاً بدل ضربها: 6π لا 18.85. وهذا هو الجواب الدقيق، ومعظم أسئلة الامتحان تطلبه لأنه يمكن التحقّق منه بلا آلة حاسبة - ولأن 18.85 مجرّد تقريب.
هل 22/7 هي نفسها π؟
لا. فـ 22/7 هي 3.142857… وπ هي 3.141592…، فيختلفان من المنزلة العشرية الثالثة. تقريب مريح للحساب الذهني وجواب خاطئ حين تهمّ الدقة؛ وπ عدد أصمّ ولا قيمة كسرية دقيقة له إطلاقاً.
لماذا π واحدة لكل الدوائر؟
لأن كل الدوائر شكل واحد مكبَّر أو مصغَّر، والتكبير يضرب المحيط والقطر في المعامل نفسه - فلا تتغيّر نسبتهما أبداً. وتلك النسبة الثابتة هي π نفسها، ولهذا تظهر في كل قانون للدائرة.
كيف أجد القطر من المحيط؟
اقسم على π: d = C/π. خطوة واحدة لا خطوتان، لأن C = πd مباشرة. فمحيط 10 يعطي قطراً 10/π، نحو 3.18 - ونصف ذلك هو نصف القطر.
هل تقبل هذه الحاسبة المساحة كمُدخل؟
لا، عن قصد. فمن المساحة يكون r = √(A/π)، وهذا ليس كسراً ولا كسراً مضروباً في قوة لـ π - وقبوله يعني إما جواباً مقرَّباً أو دقة زائفة. والمساحة تُعرض دائماً؛ لكنها ليست مُدخلاً.
