درجة اختبار 85، بمتوسط 70 وانحراف معياري 6
plain
x = 85, μ = 70, σ = 685 ناقص 70 يساوي 15، و15 على 6 يساوي 5/2، إذن z = 2.5. المساحة إلى يسار 2.5 هي 0.9938، فالدرجة تقع عند المئين 99.4 تقريبًا: أقل من طالب واحد من كل مئة حصل على درجة أعلى.
حاسبة الدرجة المعيارية z
كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط، بدقة، مع المئين الذي تقع عنده.
آخر تحديث
تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
الدرجة المعيارية z مسافة مقيسة بالانحرافات المعيارية
خذ أي قيمة من توزيع، واطرح منها المتوسط، واقسم على الانحراف المعياري. الناتج هو عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها القيمة عن المركز، وفي أي اتجاه. z تساوي 2 تعني انحرافين معياريين فوق المتوسط؛ وz تساوي سالب 0.5 تعني نصف انحراف معياري تحته. هذه هي الصيغة كلها، ويستحق الأمر أن تحسبها يدويًا مرة واحدة لأن كل فكرة لاحقة في الإحصاء، من فترات الثقة إلى اختبارات الفرضيات، هي درجة z في ثوب آخر.
سبب أهمية درجات z أنها تضع كل التوزيعات الطبيعية على مسطرة واحدة. درجة 85 في اختبار متوسطه 70 وانحرافه المعياري 6 هي z = 2.5؛ وطول 190 سم في مجتمع متوسطه 175 وانحرافه المعياري 6 هو أيضًا z = 2.5. كلاهما يقع عند المئين نفسه، نحو 99.4، وجدول واحد يخدمهما معًا. هذه الصفحة تقرأ ذلك الجدول لك، فترسم المنحنى مع تظليل المساحة الواقعة تحت قيمتك، وتذكر أيضًا النسبة فوقها والنسبة الواقعة ضمن تلك المسافة من المتوسط.
الحساب هنا يبقى بالضبط. z تساوي 15 على 6 هي 5/2، والصفحة تطبع 5/2 وبجانبها 2.5، بدل عدد عشري يجب تقريبه عندما تكون الأرقام أقل ملاءمة. أما المئين، بوصفه مساحة تحت منحنى، فهو بالضرورة عدد عشري، ويُوسم على أنه كذلك.
ما يجب أن تعرفه عن الدرجة المعيارية z
- الإشارة تخبرك بالجهة. السالبة تحت المتوسط، والموجبة فوقه؛ وz تساوي 0 هي المتوسط نفسه.
- كل شيء تقريبًا يقع ضمن ثلاثة. نحو 68% من المجتمع الطبيعي ضمن انحراف معياري واحد، و95% ضمن اثنين، و99.7% ضمن ثلاثة. z تساوي 4 نادرة حقًا.
- المئين هو المساحة إلى اليسار. z تساوي 1.28 تقع عند المئين 90 تقريبًا، و1.645 عند 95، و2.33 عند 99.
- الصيغة نفسها تعمل بالعكس. القيمة عند z معينة هي المتوسط زائد z مضروبة في الانحراف المعياري، وهكذا تُحدد الحدود الفاصلة: أعلى 5% في اختبار تبدأ من المتوسط زائد 1.645 سيغما.
- الدرجة المعيارية z تفترض أن التوزيع طبيعي تقريبًا. الدرجة نفسها قابلة للحساب دائمًا؛ أما المئين فلا يعني شيئًا إلا عندما يصح شكل الجرس.
كيف تجد الدرجة المعيارية z يدويًا
اطرح المتوسط من قيمتك
احتفظ بالإشارة. القيمة تحت المتوسط تعطي فرقًا سالبًا، وتلك الإشارة تنتقل إلى الجواب.
اقسم على الانحراف المعياري
استخدم الانحراف المعياري للمجتمع إن كان لديك، وانحراف العينة إن لم يكن هناك غيره. احتفظ بالناتج بالضبط إذا لم تكن القسمة تامة.
اقرأ المئين من المنحنى الطبيعي
المساحة إلى يسار z هي نسبة المجتمع الواقعة تحت قيمتك. الجداول تسردها؛ وهذه الصفحة تحسبها مباشرة.
للعكس، اضرب ثم اجمع
القيمة تساوي المتوسط زائد z مضروبة في الانحراف المعياري. هكذا يُحوَّل حد المئين الفاصل مرة أخرى إلى درجة.
درجات z الشائعة ومئيناتها
المساحة إلى يسار z على المنحنى الطبيعي المعياري.
| z | المئين | النسبة فوقها | أين تُستخدم |
|---|---|---|---|
| −2 | 2.3% | 97.7% | انحرافان معياريان تحت المتوسط |
| −1 | 15.9% | 84.1% | انحراف واحد تحته |
| 0 | 50% | 50% | المتوسط |
| 1 | 84.1% | 15.9% | انحراف واحد فوقه |
| 1.28 | 90% | 10% | حد أعلى 10% |
| 1.645 | 95% | 5% | اختبار 5% بطرف واحد |
| 1.96 | 97.5% | 2.5% | اختبار 5% بطرفين |
| 2.33 | 99% | 1% | حد أعلى 1% |
أمثلة محلولة
قراءة 48، بمتوسط 50 وانحراف معياري 2.5
plain
x = 48, μ = 50, σ = 2.548 ناقص 50 يساوي سالب 2، وسالب 2 على 2.5 يساوي سالب 4/5، إذن z = −0.8. نحو 21% من القراءات أدنى منها. درجة z السالبة ليست درجة سيئة؛ هي فقط تحت الوسط.
ما الدرجة الفاصلة لأعلى 5%، بمتوسط 1000 وانحراف معياري 150؟
plain
z = 1.645, μ = 1000, σ = 150السؤال العكسي. أعلى 5% تبدأ عند z = 1.645، و1000 زائد 1.645 مضروبة في 150 تساوي نحو 1247. حوّل الصفحة إلى «إيجاد القيمة عند درجة z» لترى التعويض.
أخطاء شائعة مع الدرجة المعيارية z
- القسمة على التباين بدل الانحراف المعياري. التباين هو المربع؛ وسيكون الجواب مضروبًا خطأً بعامل قدره سيغما.
- إسقاط الإشارة. z تساوي −1.5 وz تساوي 1.5 تقعان عند المئين 7 والمئين 93، لا في المكان نفسه.
- قراءة الجهة الخطأ من الجدول. بعض الجداول تعطي المساحة إلى اليسار، وبعضها المساحة بين المتوسط وz، وبعضها الطرف الأيمن. اعرف أي جدول بين يديك.
- تقريب z قبل البحث عنها في الجدول. تقريب z من 1.96 إلى 2.0 ينقل المئين من 97.5 إلى 97.7؛ وعلى حد فاصل، هؤلاء أناس حقيقيون.
- استخدام درجة z على توزيع بعيد كل البعد عن الطبيعي. الرقم يُحسب على أي حال؛ أما المئين فخيال.
أسئلة شائعة عن الدرجة المعيارية z
ما صيغة الدرجة المعيارية z؟
z تساوي x ناقص المتوسط، والكل مقسوم على الانحراف المعياري. بالرموز، z = (x − μ) / σ. الناتج هو عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها القيمة x عن المتوسط، موجبًا فوقه وسالبًا تحته.
كيف أحوّل درجة z إلى مئين؟
المئين هو المساحة تحت المنحنى الطبيعي المعياري إلى يسار z. z تساوي 0 هي المئين 50، وz تساوي 1 نحو المئين 84، وz تساوي 2 نحو المئين 97.7. اكتب القيمة في الأعلى وستظلل الصفحة تلك المساحة على المنحنى وتطبعها.
ما الدرجة المعيارية z الجيدة؟
هذا يعتمد كليًا على ما يُقاس. في اختبار، z موجبة عالية أمر جيد. أما لقراءة ضغط دم أو زمن توصيل، فـ z القريبة من الصفر جيدة، والكبيرة في أي اتجاه تحذير. الدرجة المعيارية z تقول كم القيمة غير معتادة، لا هل غير المعتاد مرحَّب به.
هل يمكن أن تكون الدرجة المعيارية z سالبة؟
نعم. درجة z السالبة تعني أن القيمة تحت المتوسط. z تساوي −1 هي انحراف معياري واحد تحته، ونحو 16% من المجتمع الطبيعي يقع أدنى من ذلك.
كيف أجد القيمة الخام من درجة z؟
أعد ترتيب الصيغة: x = μ + zσ. اضرب درجة z في الانحراف المعياري وأضف المتوسط. حوّل الصفحة إلى الوضع العكسي وستعرض التعويض خطوة بخطوة.
ما الفرق بين درجة z وإحصائية t؟
درجة z تستخدم انحرافًا معياريًا معروفًا للمجتمع والمنحنى الطبيعي. وإحصائية t تستخدم انحرافًا معياريًا من العينة ومنحنى t، الذي تسمح أطرافه الأسمن بعدم اليقين الإضافي الناتج عن تقدير سيغما من البيانات نفسها. مع العينات الكبيرة يتفقان؛ ومع الصغيرة تكون t الخيار الأمين.
لماذا تحتفظ هذه الصفحة بدرجة z ككسر؟
لأنه بالضبط، وz المقربة تعني مئينًا مقربًا. z تساوي 5/2 هي 2.5 في الحالتين، لكن z تساوي 7/3 ليست 2.33، والصفحة تفضّل طباعة 7/3 وبجانبها 2.3333 على التظاهر بأن العدد العشري هو الجواب.
