تقاطع واحد: 2x + y = 5 و x - y = 1
plain
2x + y = 5; x - y = 1جمع المعادلتين يحذف y فورًا لأن +y و -y يتلاشيان: 3x = 6، فيكون x = 2، ثم y = 1 من أي منهما. ويُظهر الرسم المستقيمين متقاطعين في (2, 1): نقطة واحدة وجواب واحد.
حاسبة نظام المعادلات
الحذف خطوة بخطوة، مع رسم المستقيمين وتحديد نقطة تقاطعهما.
آخر تحديث
تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
النظام مستقيمان، وحلّه هو إيجاد موضع تقاطعهما
معادلتان بالمجهولين x و y هما مستقيمان في المستوي نفسه. والزوج (x, y) الذي يحقق المعادلتين هو نقطة تقع على المستقيمين معًا، أي نقطة التقاطع. هذه هي الفكرة كلها، وهي تفسّر كل الحالات دفعة واحدة: مستقيمان يتقاطعان مرة واحدة يعطيان حلًا واحدًا، ومستقيمان متوازيان لا يعطيان حلًا، ومستقيم مرسوم مرتين يعطي حلولًا لا نهائية.
والحذف والتعويض ليسا إلا طريقتين لإيجاد ذلك التقاطع من دون رسمه. وهذه الصفحة تقدّم النصفين: الرسم لترى معنى الجواب، والحذف مكتوبًا سطرًا سطرًا لترى كيف وُجد. ومعظم الحاسبات تعطي أحدهما فقط.
والحالتان الخاصتان تُسمّيان بدلًا من أن تُعرضا كفشل. فـ«لا حل» و«عدد لا نهائي من الحلول» جوابان حقيقيان لهما معنى حقيقي، والحلّال الذي يكتفي بالصمت أمامهما يعلّمك أن تخاف السؤال. وهنا يُحسب الشكل من المعاملات، فتستطيع الصفحة أن تقول في أي حالة أنت حتى حين لا يوجد زوج ليُطبع.
ما ينبغي ملاحظته في الخطوات
- الحذف يقوم على مساواة معاملي مجهول واحد، ثم جمع المعادلتين أو طرحهما لإزالته. والطريقة كلها هي هذه الفكرة مكرّرة.
- الجمع أو الطرح يعتمد على الإشارات: إذا تساوت الإشارتان فاطرح، وإذا اختلفتا فاجمع. وقلب هذا هو الخطأ الأكثر شيوعًا.
- بعد إيجاد مجهول واحد، عوّضه في أي من المعادلتين الأصليتين لإيجاد الآخر. في أي منهما - وإن أعطت الاثنتان نتيجتين مختلفتين فقد وقع خطأ قبل ذلك.
- المستقيمان المتوازيان يعنيان الميل نفسه ومقاطع مختلفة. وفي الجبر يظهر ذلك كسطر مستحيل مثل 0 = -2، وهو ليس رسالة خطأ بل هو الجواب.
- ثلاثة مجاهيل تعمل بالطريقة نفسها: احذف واحدًا لتصل إلى نظام 2x2 ثم أكمل. وهناك يتوقف الرسم عن الإفادة، لأن ثلاثة مجاهيل تعني مستويات لا مستقيمات.
كيف تستخدم الحاسبة
اكتب معادلة في كل سطر
كما على الورق:
2x + y = 5في السطر الأول وx - y = 1في الثاني. والمعاملات الكسرية أو العشرية مقبولة.اقرأ الجواب والشكل
الزوج في الأعلى. وتحته جملة تقول ما هو النظام هندسيًا: تقاطع واحد، أو توازٍ، أو المستقيم نفسه مرتين.
انظر إلى الرسم
يُرسم المستقيمان مع تحديد التقاطع. وإذا فاجأك الجواب، فالرسم عادةً يفسّره أسرع من الجبر.
تابع خطوات الحذف
الخطوات المرقّمة تُظهر أي مجهول حُذف وكيف وماذا بقي. وهذه هي الطريقة المطلوب منك إعادتها.
الحالات الثلاث
كل نظام 2x2 هو إحداها، ويمكنك معرفة أيها بالنظر إلى المستقيمين قبل أي عمل جبري.
| الحالة | المستقيمان | مثال |
|---|---|---|
| حل واحد | Cross once | 2x + y = 5, x - y = 1 → (2, 1) |
| لا حل | Parallel, different intercepts | x + y = 3, x + y = 5 |
| حلول لا نهائية | The same line twice | x + y = 3, 2x + 2y = 6 |
| معادلة واحدة فقط | A whole line of solutions | 2x + 3y = 7 |
| ثلاثة مجاهيل | Planes, not lines | x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2 |
أمثلة محلولة
مستقيمان متوازيان: x + y = 3 و x + y = 5
plain
x + y = 3; x + y = 5اطرح فتحصل على 0 = -2، ولا يُصلح ذلك أي زوج من الأعداد. وهذا ليس فشلًا للحلّال بل هو الجواب. فالمستقيمان لهما الميل نفسه ومقطعان مختلفان، فلا يلتقيان أبدًا ولا حل للنظام.
المستقيم نفسه مرتين: x + y = 3 و 2x + 2y = 6
plain
x + y = 3; 2x + 2y = 6المعادلة الثانية هي الأولى مضروبة في اثنين، فترسم المستقيم نفسه. وكل نقطة عليه تحقق المعادلتين، أي أن الحلول لا نهائية. وفي الرسم ترى مستقيمًا واحدًا فقط، لأنه لا يوجد إلا واحد.
ثلاثة مجاهيل: x + y + z = 6، x - y = 0، z = 2
plain
x + y + z = 6; x - y = 0; z = 2بتعويض z = 2 و x = y تتحول ثلاث معادلات إلى واحدة فينتج x = y = 2. ولا رسم هنا - ثلاثة مجاهيل مستويات لا مستقيمات - لكن الحذف هو الإجراء نفسه، مجهول واحد في كل مرة.
أخطاء شائعة
- الجمع في موضع الطرح. المعاملان المتساويان بالإشارة نفسها يُطرحان؛ ولا يتلاشى بالجمع إلا ما اختلفت إشارته.
- ضرب جزء من المعادلة فقط. إذا ضربت معادلة لمساواة معامل، فيجب ضرب كل الحدود بما فيها الطرف الأيمن.
- التعويض في المعادلة التي عدّلتها للتو. استخدم إحدى الأصليتين، وإلا فقد تفقد الشرط الثاني.
- إيجاد مجهول واحد والتوقف. لنظام 2x2 جوابان، وذكر x وحده نصف حل.
- قراءة 0 = -2 كخطأ حسابي بدلًا من «لا حل». وبالمثل 0 = 0 تعني حلولًا لا نهائية لا أن شيئًا أخفق.
- التحقق في معادلة واحدة. ضع الزوج في المعادلتين الأصليتين كلتيهما؛ فتحقيق إحداهما لا يُثبت شيئًا.
أسئلة شائعة
كيف أحل نظام معادلات؟
ساوِ معاملي مجهول واحد في المعادلتين، ثم اجمع أو اطرح لحذفه. حُلّ المعادلة الباقية، وعوّض القيمة في إحدى المعادلتين الأصليتين لإيجاد المجهول الآخر، ثم تحقق من الزوج في المعادلتين معًا.
ما الفرق بين الحذف والتعويض؟
الحذف يجمع المعادلتين لإزالة مجهول، والتعويض يرتب معادلة لمجهول ثم يضع ذلك المقدار في الأخرى. والجواب واحد في الحالتين دائمًا. الحذف أقصر عندما تكون المعاملات مريحة، والتعويض أسهل عندما يكون مجهول معزولًا في إحدى المعادلتين.
ماذا تعني «لا حل» في نظام؟
أن المستقيمين متوازيان: الميل نفسه والمقاطع مختلفة، فلا توجد نقطة عليهما معًا. وفي الجبر تظهر كعبارة مستحيلة مثل 0 = -2. وهو جواب كامل لا فشل.
ماذا تعني «حلول لا نهائية»؟
أن المعادلتين تصفان المستقيم نفسه؛ إحداهما مضاعف للأخرى. وكل نقطة على ذلك المستقيم تحقق المعادلتين، فيكون الحل هو المستقيم كله لا زوجًا واحدًا. وغالبًا يُطلب كتابته بدلالة متغير واحد.
هل يحل ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل؟
نعم، ويعرض الحذف بالطريقة نفسها: احذف مجهولًا لتصل إلى نظام 2x2، حُلّه ثم ارجع. ولا يُرسم الشكل إلا لمجهولين، لأن ثلاثة مجاهيل مستويات، ورسم مسطح سيضلّل أكثر مما يشرح.
لماذا يُرسم المستقيمان؟
لأن الرسم هو المعنى. الحذف إجراء موثوق لكنه يحجب ما يحدث؛ ومستقيمان يتقاطعان في نقطة يجعلان من البديهي لماذا يوجد جواب واحد بالضبط، ولماذا لا يوجد للمتوازيين أي جواب.
هل يقبل الكسور والأعداد العشرية؟
نعم، وبدقة تامة. فـ 0.5x + y = 3 تُقرأ نصفًا، وجواب نظام بمعاملات كسرية يخرج كسرًا مضبوطًا لا عددًا عشريًا مقرَّبًا.
