ما هي قواعد الأسس؟

خمس تحمل كل شيء تقريبًا: عند ضرب قوى لها الأساس نفسه تُجمع الأسس، وعند القسمة تُطرح، وعند رفع قوة إلى قوة تُضرب، وأي عدد مرفوع للأس صفر يساوي واحدًا، والأس السالب يعني واحدًا على القوة الموجبة. والخمس جميعًا نتيجة كتابة القوى ضربًا متكرّرًا.

لماذا يساوي أي عدد مرفوع للأس صفر واحدًا؟

بسبب قاعدة القسمة. أي عدد مقسومًا على نفسه يساوي واحدًا، وقاعدة القسمة تقول إن القسمة نفسها هي الأساس مرفوعًا للأس ناقص نفسه، أي صفر. والعبارتان تصفان القسمة ذاتها، فلا بد أن يكون a أس صفر مساويًا واحدًا. إنه أمر مفروض لا مقرّر، والاستثناء الوحيد هو صفر أس صفر الذي يُترك غير معرّف.

ماذا يعني الأس السالب؟

يعني المقلوب، لا عددًا سالبًا. فـ 2 أس -3 يساوي 1/8 وهو موجب. ومع نزول الأس تستمرّ في القسمة على الأساس: 8 ثم 4 ثم 2 ثم 1، وإذا تجاوزت الواحد جاءت 1/2 و1/4 و1/8. الأس السالب يخبرك كم مرة تقسم بدل أن تضرب.

متى يمكنني جمع الأسس ومتى لا يمكن؟

فقط حين يكون الأساسان متطابقين وتكون بصدد الضرب. فـ 2 تكعيب في 2 أس 4 يساوي 2 أس 7، أما 2 تكعيب في 3 أس 4 فلا يُدمج أبدًا؛ فهما يَعُدّان شيئين مختلفين. وجمع الأسس عند جمع الحدود هو أشيع خطأ هنا: س تربيع زائد س تكعيب لا يساوي س أس خمسة.

هل (a + b) تربيع يساوي a تربيع زائد b تربيع؟

لا، وهذا الخطأ يستحق أن يُسمّى. التربيع يتوزّع على الضرب لا على الجمع. فـ (ab) تربيع يساوي فعلًا a تربيع في b تربيع، أما (a + b) تربيع فيتمدّد إلى a تربيع زائد 2ab زائد b تربيع. والحد الأوسط الغائب هو تحديدًا ما يُظهره نموذج المساحة.

قواعد الأسس

خمس قواعد ينسخها الجميع على بطاقة، ثم يطبّق نصفهم نصفها في غير موضعه. وإذا كُتبت ضربًا متكرّرًا لم تعد أيٌّ منها بحاجة إلى حفظ.

بقلم Nethanel Bar, Co-founder & CEO

آخر تحديث 25 أغسطس 2026

ينسخ الجميع قواعد الأسس على بطاقة، وبعد فصل دراسي واحد يكون نصفها مُطبَّقًا على الشيء الخطأ. وليس هذا خللًا في الذاكرة. فالقاعدة التي حفظتها فحسب لا تمنحك وسيلة لمعرفة ما إذا كانت تنطبق، فتُستعمل في كل موضع يبدو أنها تناسبه ظاهريًّا.

العلاج أن تكفّ عن معاملتها بوصفها قواعد. اختر واحدة في الأسفل واقرأ السطر الأوسط.

الأساس a2

الأس m2

الأس n3

الضرب

القاعدةa^(2) · a^(3) = a^(2 + 3) = a^(5)

مكتوبة بالتفصيل(a · a) · (a · a · a) = a · a · a · a · a

بأعداد حقيقية2^(2) · 2^(3) = 4 · 8 = 32

السطر الأوسط هو البرهان. تصبح كل قاعدة من هذه القواعد بديهية بمجرد كتابة القوى كضرب متكرّر، ما يعني أنك لست بحاجة إلى الاعتماد على ذاكرتك.

كل قاعدة حجّة في العدّ

a^3 اختصار. وما تقوله فعلًا هو a · a · a، أي ثلاث نسخ من a مضروبة معًا. وما إن يُكتب طرفا القاعدة بهذه الطريقة حتى تكفّ عن كونها ادّعاءً وتصير عدًّا.

الضرب: نسختان إلى جانب ثلاث نسخ تعطي خمس نسخ.

a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5

لم تجمع الأسّين لأن قاعدة قالت لك ذلك، بل جمعتهما لأنك كنت تَعُدّ كم حرف a انتهى به الأمر في السطر.

القسمة: خمس نسخ فوق نسختين، وتُختصر اثنتان.

a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3

قوة القوة: ثلاث نسخ من "نسختين" تعطي ست نسخ.

(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6

ثلاث قواعد وحجّة واحدة. وسبب الخلط بين "اجمع" و"اضرب" هو حفظ الأفعال بدل العدّ.

الأس صفر والأسس السالبة مفروضة لا مختارة

يبدو هذان الاثنان اصطلاحين اختارهما أحدهم، وليسا كذلك.

خذ a3/a3. أي شيء مقسومًا على نفسه يساوي واحدًا. لكن قاعدة القسمة تقول إنه a^(3-3) = a^0. والعبارتان تصفان القسمة نفسها، فتكون a^0 = 1 هي القيمة الوحيدة التي تُبقي القواعد متّسقة.

واصِل النزول. كل درجة إلى الأسفل تقسم على a مرة أخرى:

القوة	القيمة عندما a = 2
2³	8
2²	4
2¹	2
2⁰	1
2⁻¹	1/2
2⁻²	1/4

لا شيء يغيّر اتجاهه عند الصفر؛ التنصيف يمضي كما هو. وهذا كل ما يعنيه الأس السالب: a^-n = 1/a^n. وهو على وجه الخصوص ليس عددًا سالبًا؛ فـ 2^-3 هو 1/8 وهو موجب.

y = 2 أس x. يمرّ المنحنى بالنقطة (0, 1)، وهي الأس صفر، ولا يلمس المحور أبدًا على اليسار: الأسس السالبة تصغر ولا تصير سالبة.

ثلاثة أخطاء تستحق التسمية

الأساسات المختلفة لا تندمج. 2^3 · 3^4 يبقى كما هو. فالقواعد تتعلّق بعدّ نسخ الشيء نفسه، وهنا يُعدّ شيئان مختلفان.

جمع الحدود ليس ضربها. x^2 + x^3 ليس x^5. اكتبه مفصّلًا: نسختان زائد ثلاث نسخ ليست خمس نسخ، بل مجموع كمّيتين مختلفتين. لا شيء يُختصر ولا شيء يندمج.

القوى تتوزّع على الضرب لا على الجمع. (ab)^2 = a2b2 صحيحة، فنسختان من ab هما a مرتين و b مرتين. أما (a+b)^2 فليست a^2 + b^2، بل تتمدّد إلى a^2 + 2ab + b^2، والحدّ الأوسط هو تحديدًا ما تتنبّأ به خاصية التوزيع.

جرّب واحدًا

إذا امتدّت يدك إلى الآلة الحاسبة فأعِد المحاولة بالاختصار: أربع نسخ من 3 فوق نسختين من 3 تُبقي نسختين، ونسختان من 3 تساويان 9. وهذه هي الصيغة التي تظلّ صالحة حين يصير الأساس x بدل 3.

إلى أين يمضي هذا

قواعد الأسس هي ما يجعل الحساب بالصيغة العلمية يعمل، وما يحوّل الجذر إلى أس كسري، وما يتيح للّوغاريتم أن يقلب الضرب جمعًا. والثلاثة جميعًا هي القواعد الخمس نفسها مقروءة في اتجاه آخر - وهذا سبب وجيه لأن تحملها بالحجّة لا بالحفظ.

أسئلة متكررة

ما هي قواعد الأسس؟: خمس تحمل كل شيء تقريبًا: عند ضرب قوى لها الأساس نفسه تُجمع الأسس، وعند القسمة تُطرح، وعند رفع قوة إلى قوة تُضرب، وأي عدد مرفوع للأس صفر يساوي واحدًا، والأس السالب يعني واحدًا على القوة الموجبة. والخمس جميعًا نتيجة كتابة القوى ضربًا متكرّرًا.
لماذا يساوي أي عدد مرفوع للأس صفر واحدًا؟: بسبب قاعدة القسمة. أي عدد مقسومًا على نفسه يساوي واحدًا، وقاعدة القسمة تقول إن القسمة نفسها هي الأساس مرفوعًا للأس ناقص نفسه، أي صفر. والعبارتان تصفان القسمة ذاتها، فلا بد أن يكون a أس صفر مساويًا واحدًا. إنه أمر مفروض لا مقرّر، والاستثناء الوحيد هو صفر أس صفر الذي يُترك غير معرّف.
ماذا يعني الأس السالب؟: يعني المقلوب، لا عددًا سالبًا. فـ 2 أس -3 يساوي 1/8 وهو موجب. ومع نزول الأس تستمرّ في القسمة على الأساس: 8 ثم 4 ثم 2 ثم 1، وإذا تجاوزت الواحد جاءت 1/2 و1/4 و1/8. الأس السالب يخبرك كم مرة تقسم بدل أن تضرب.
متى يمكنني جمع الأسس ومتى لا يمكن؟: فقط حين يكون الأساسان متطابقين وتكون بصدد الضرب. فـ 2 تكعيب في 2 أس 4 يساوي 2 أس 7، أما 2 تكعيب في 3 أس 4 فلا يُدمج أبدًا؛ فهما يَعُدّان شيئين مختلفين. وجمع الأسس عند جمع الحدود هو أشيع خطأ هنا: س تربيع زائد س تكعيب لا يساوي س أس خمسة.
هل (a + b) تربيع يساوي a تربيع زائد b تربيع؟: لا، وهذا الخطأ يستحق أن يُسمّى. التربيع يتوزّع على الضرب لا على الجمع. فـ (ab) تربيع يساوي فعلًا a تربيع في b تربيع، أما (a + b) تربيع فيتمدّد إلى a تربيع زائد 2ab زائد b تربيع. والحد الأوسط الغائب هو تحديدًا ما يُظهره نموذج المساحة.