جمع الكسور
جمع الكسور هو العملية الوحيدة التي فيها خطوة إضافية، وتلك الخطوة ليست اعتباطية: القطع المختلفة الحجم لا يمكن عدّها معًا. وبعد أن ترى الأشرطة تُقطَّع من جديد مرة واحدة، تصبح القاعدة بديهية لا محفوظة.
آخر تحديث
لجمع الكسور سمعة، وهي مستحقّة بمعنى ضيّق: إنه الوحيد من العمليات الأربع الذي فيه خطوة إضافية. الضرب والقسمة يمرّان مباشرةً. أما الجمع فيتوقّف ويطلب منك إعادة كتابة الكسرين أولًا.
هذه الخطوة الإضافية ليست عُرفًا اخترعه أحد. هي مفروضة، والأشرطة أدناه هي السبب.
الشريطان العلويان مقطّعان بطريقتين مختلفتين، فلا يمكن عدّ قطعهما معًا. الشريط الثالث يعيد تقطيع الاثنين إلى قطع بحجم واحد - وبعدها يكفي الجمع.
القطع المختلفة الحجم لا تُعدّ معًا
الشريطان العلويان هما الكسران. عند القيم الابتدائية أحدهما مقطّع إلى أنصاف والآخر إلى أثلاث — تقطيعان مختلفان، فقطعهما مختلفة الحجم. لا توجد طريقة صادقة لقول كم قطعة لديك في المجموع، لأن النصف والثلث ليسا الشيء نفسه. و«قطعة زائد قطعة تساوي قطعتين» يعطي 2/5، وهو أصغر حتى من النصف الذي بدأت به.
الشريط الثالث يحلّ ذلك. يُعاد تقطيع الكسرين إلى أسداس: يصبح النصف 3 منها، والثلث 2، وهي الآن قطع بحجم واحد يمكن ضمّها ببساطة.
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
لاحظ ما فعله المقام خلال الجمع: لا شيء. إنه ليس مقدارًا يُجمع، بل بطاقة تقول أيّ نوع من القطع يُعَدّ. ثلاثة أسداس زائد سُدسين تساوي خمسة أسداس، للسبب نفسه الذي يجعل ثلاث تفاحات زائد تفاحتين خمس تفاحات.
ولهذا أيضًا فإن جمع المقامات خطأ. 1/4 + 1/4 هو 2/4 أي نصف — وجمع المقامات يعطي 2/8 أي ربعًا، وهو المقدار الذي كان لديك قبل أن تجمع أي شيء.
إن كانت المقامات متوافقة أصلًا فلا عمل هناك
اجعل المقامين متساويين في الشكل فيُقطَّع الشريط الثالث كالشريطين الآخرين، لأن العمل قد أُنجز:
2/7 + 3/7 = 5/7
اجمع البسطين، أبقِ المقام، اختصر إن أمكن. هذه هي القاعدة كلها، وبقيّة الصفحة موجودة لإيصالك إلى هذا الوضع.
إيجاد المقام المشترك
تحتاج عددًا يقسمه المقامان كلاهما. طريقتان للحصول عليه:
المقام المشترك الأصغر هو الأصغر الممكن — المضاعف المشترك الأصغر للمقامين. يُبقي الحساب صغيرًا.
ضرب المقامين يعمل دائمًا، ولا يتطلّب تفكيرًا، ويعطي أعدادًا أكبر تُختصر في النهاية.
| المجموع | المقام المشترك الأصغر | ضرب المقامين |
|---|---|---|
| 1/2 + 1/3 | 6 | 6 |
| 1/4 + 1/6 | 12 | 24 |
| 3/8 + 1/6 | 24 | 48 |
| 2/5 + 1/10 | 10 | 50 |
العمودان يصلان إلى الجواب نفسه. الأيمن يحمل أعدادًا أكبر في الطريق فقط، فيأتي 1/4 + 1/6 هناك على صورة 10/24 ويحتاج اختصارًا إلى 5/12، بينما يهبط المسار الأيسر على 5/12 مباشرةً.
راقب القراءة في الشكل وأنت تحرّك المقامين: عندما يقسم أحدهما الآخر أصلًا يكون المقام المشترك هو الأكبر ببساطة. 2/5 + 1/10 يحتاج 10 لا 50، لأن الأخماس مصنوعة أصلًا من أعشار.
إعادة كتابة كل كسر
بعد تحديد المقام، يُعاد كتابة كل كسر بضرب بسطه ومقامه في ما يوصله إلى هناك — كسر متكافئ، لا أكثر:
3/8 = (3*3)/(8*3) = 9/24
1/6 = (1*4)/(6*4) = 4/24
9/24 + 4/24 = 13/24
المضاعف مختلف لكل كسر، وهذا طبيعي: 8 يحتاج 3 ليصل إلى 24، و6 يحتاج 4. أما ما يجب أن يكون متساويًا في الاثنين فهو العدد الذي تنتهي عليه.
الطرح هو الصفحة نفسها
كل ما سبق يصحّ، مع تغيير إشارة واحدة في النهاية:
5/6 - 1/4 = 10/12 - 3/12 = 7/12
مقام مشترك، ثم اطرح البسطين. وإن جاء الجواب سالبًا فهو جواب حقيقي لا خطأ: 1/4 - 5/6 يساوي -7/12.
جرّب واحدة
إذا حصلت على 4/14 فقد جمعت المقامين. وإذا حصلت على 26/48 فقد ضربت المقامين بدل أخذ مضاعفهما المشترك الأصغر: المقدار صحيح، فاختصره وستهبط على 13/24 على أي حال.
أسئلة متكررة
- كيف نجمع الكسور؟
- إن كانت المقامات متوافقة أصلًا فاجمع البسطين واترك المقام كما هو: 2/7 + 3/7 = 5/7. وإن لم تتوافق فأعد كتابة الكسرين على مقام مشترك أولًا، ثم اجمع. يصبح 1/2 + 1/3 هو 3/6 + 2/6 = 5/6.
- لماذا يجب أن تكون المقامات متساوية؟
- لأن المقام يقول حجم القطعة، والقطع المختلفة الحجم لا يمكن عدّها معًا. نصفان وثلاثة أثلاث ليست خمسًا من أي شيء. إعادة كتابة الكسرين على مقام واحد تُقطّعهما إلى قطع بحجم واحد، وحينها يعمل العدّ.
- لماذا لا نجمع المقامات؟
- لأن المقام ليس مقدارًا، بل بطاقة تقول أيّ نوع من القطع تعدّ. 1/4 + 1/4 = 2/4 أي نصف؛ وجمع المقامات يعطي 2/8 أي ربعًا، وهو ما كان لديك قبل الجمع. البطاقة تبقى؛ والعدد وحده يزيد.
- كيف أجد المقام المشترك الأصغر؟
- هو المضاعف المشترك الأصغر للمقامين: أصغر عدد يقسمه كلاهما. في 4 و6 هو 12. وضرب المقامين يعمل دائمًا أيضًا (24 هنا) ويعطي الجواب الصحيح بأعداد أكبر تُختصر في النهاية، فهو حلّ مقبول إن لم يكن المضاعف الأصغر واضحًا.
- هل طرح الكسور مثله؟
- مطابق تمامًا حتى الخطوة الأخيرة. أوجد مقامًا مشتركًا ثم اطرح البسطين بدل جمعهما: 5/6 - 1/4 يصبح 10/12 - 3/12 = 7/12. كل ما هو صعب في جمع الكسور صعب في طرحها بالطريقة نفسها بالضبط.
تريد تجربتها على أرقامك؟
حاسبة الكسور افتح الحاسبة