أسطوانة نصف قطرها 3 وارتفاعها 5
plain
r = 3, h = 5V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π، نحو 141.37. ربّع نصف القطر قبل الضرب في الارتفاع؛ والعكس يعطي 225π، أي خمسة أمثال المطلوب.
حاسبة الحجم
ستة مجسّمات، ولكل منها قانونه مكتوباً قبل استخدامه.
آخر تحديث
تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
كل قانون حجم هو مساحة في ارتفاع
المنشور - متوازي المستطيلات، الأسطوانة، وكل ما له المقطع نفسه من أسفله إلى أعلاه - حجمه مساحة القاعدة في الارتفاع. وهذه الفكرة الواحدة تغطي اثنين من مجسّمات هذه الصفحة الستة: فمتوازي المستطيلات طول × عرض × ارتفاع لأن مساحة قاعدته طول × عرض، والأسطوانة πr²h لأن قاعدتها دائرة مساحتها πr². وتعلّم النمط أفضل من حفظ القوانين منفصلة.
أما ما يضيق - المخروط والهرم - فيسع ثُلث المنشور الذي يحيط به بالضبط. القاعدة نفسها والارتفاع نفسه وثلث الحجم. وهذا المعامل 1/3 ليس اعتباطياً وهو أكثر ما يُنسى في هذا الموضوع: مخروط بحجم أسطوانة يسع ثلثها، وهو أسهل تذكّراً بعد أن تصبّ أحدهما في الآخر.
والكرة هي الشاذّة بـ 4/3πr³، والاحتفاظ بها دقيقة لسبب كل شيء آخر هنا: π أصمّ، فـ 36π جواب و113.1 تقريب له. تحفظ هذه الصفحة الرمز، وتذكر العدد العشري بجانبه، وتعطيك المساحة السطحية والراسم في كل موضع يكونان فيه دقيقين.
ما ينبغي ملاحظته
- لكل ما هو على شكل منشور: الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع. وإدراك ذلك يحوّل أربعة قوانين إلى فكرة واحدة زائد قانون المساحة الصحيح.
- المخروط أو الهرم ثُلث المنشور ذي القاعدة والارتفاع نفسيهما. ونسيان 1/3 هو الخطأ الكلاسيكي ويجعل الجواب ثلاثة أمثال المطلوب بالضبط.
- يجب أن تكون كل القياسات بالوحدة نفسها قبل البدء، ويخرج الحجم بتلك الوحدة مكعَّبة. وخلط السنتيمترات بالأمتار خطأ بمقدار مليون ضعف.
- مضاعفة بُعد واحد تضاعف الحجم؛ ومضاعفة الأبعاد الثلاثة تضربه في ثمانية. ولهذا يكبر الحجم أسرع بكثير من الطول.
- π تنتمي إلى الجواب لا إلى الحل. فـ 45π دقيق، وضربه في النهاية ليصبح 141.37 لا يكلّف شيئاً والتحقّق منه سهل.
- راسم المخروط ليس ارتفاعه. فالراسم وتر نصف القطر والارتفاع، ولهذا يخرج جذراً - وهو ما تحتاجه المساحة الجانبية لا الحجم.
كيف تجد الحجم
حدّد المجسّم واكتب قانونه
افعل ذلك قبل أن تلمس أي عدد. المكعّب s³، ومتوازي المستطيلات الطول×العرض×الارتفاع، والأسطوانة πr²h، والكرة 4/3πr³، والمخروط 1/3πr²h، والهرم المربّع القاعدة 1/3s²h.
تحقّق من توافق الوحدات
حوّل كل شيء إلى الوحدة نفسها أولاً. هذه هي الخطوة التي تُتلف الأجوبة بصمت، لأن الحساب بعدها يبدو سليماً تماماً.
عوّض بالقياسات
اكتب القانون وأعدادك داخله قبل أن تحسب شيئاً. وفي سؤال يُصحَّح، غالباً ما يستحق هذا السطر المعوَّض درجة بذاته.
نفّذ القوى قبل الضرب
في أسطوانة نصف قطرها 3 وارتفاعها 5: ربّع 3 أولاً لتحصل على 9، ثم 9 · 5 = 45، أي 45π. والضرب قبل التربيع يعطي عدداً مختلفاً وخاطئاً.
أعطِ الجواب بوحدات مكعَّبة
نصف قطر بالسنتيمتر يعطي حجماً بالسنتيمتر المكعّب. واترك π في موضعها إلا إذا طُلب عدد عشري.
القوانين الستة مع قيمة محسوبة
كل قانون وما يعطيه في مثال صغير. لاحظ الـ 1/3 في المجسّمين الذين يضيقان.
| المجسّم | القانون | مثال | الحجم الدقيق | عشري |
|---|---|---|---|---|
| مكعّب | s³ | s = 4 | 64 | 64 |
| متوازي مستطيلات | الطول · العرض · الارتفاع | 2, 3, 4 | 24 | 24 |
| أسطوانة | πr²h | r = 3, h = 5 | 45π | 141.3717 |
| كرة | 4/3 πr³ | r = 3 | 36π | 113.0973 |
| مخروط | 1/3 πr²h | r = 3, h = 4 | 12π | 37.6991 |
| هرم قاعدته مربّعة | 1/3 s²h | s = 6, h = 4 | 48 | 48 |
| كرة | 4/3 πr³ | r = 2 | 32π/3 | 33.5103 |
| أسطوانة | πr²h | r = 1/2, h = 4 | π | 3.1416 |
أمثلة محلولة
كرة نصف قطرها 3
plain
r = 3V = 4/3 πr³ = 4/3 · π · 27 = 36π، نحو 113.1. ويتقاصر 27 مع 4/3 بأناقة هنا، ولهذا يستخدم كل كتاب نصف القطر 3 مثالاً. ومساحتها السطحية أيضاً 4πr² = 36π - مصادفة خاصة بـ r = 3.
مخروط نصف قطره 3 وارتفاعه 4
plain
r = 3, h = 4V = 1/3 πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π، نحو 37.7. وقارنه بالأسطوانة ذات القاعدة والارتفاع نفسيهما التي تسع 36π: المخروط ثُلثها بالضبط. وراسمه √(3² + 4²) = 5، وهو ما لا يحتاجه الحجم وتحتاجه المساحة الجانبية.
مكعّب طول ضلعه 4
plain
s = 4V = s³ = 4³ = 64، ولا π في أي موضع. ومساحته السطحية 6s² = 96، لأن للمكعّب ستة وجوه مربّعة متطابقة. والجوابان عددان صحيحان، ولهذا هو المثال النافع لاختبار طريقتك.
حين يحفظ الجواب كسراً: كرة نصف قطرها 2
plain
r = 2V = 4/3 · π · 8 = 32π/3، نحو 33.51. والعدد 3 لا يقسم 32، فالجواب الدقيق يحفظ الكسر - وكتابة 33.5 تفقده، وفي أي سؤال يتابع بهذه القيمة يسافر الخطأ معها.
أخطاء شائعة
- نسيان 1/3 في المخروط أو الهرم. يخرج الجواب ثلاثة أمثال المطلوب بالضبط، وهو أسهل خطأ يُلمَح متى عرفتَ أن تبحث عنه.
- خلط الوحدات. حوّل أولاً: نصف قطر بالسنتيمتر مع ارتفاع بالمتر يخرج عدداً لا يعني شيئاً.
- الضرب قبل التربيع. في πr²h المربَّع هو نصف القطر لا الضرب - فـ π · (3 · 5)² مقدار مختلف تماماً.
- استخدام القطر بدل نصف القطر. هذا يضاعف r، فيضرب حجم الأسطوانة في أربعة وحجم الكرة في ثمانية.
- الخلط بين الحجم والمساحة السطحية. الأول حيّز داخلي بوحدات مكعَّبة، والثانية غلاف بوحدات مربّعة.
- استخدام الراسم في حجم المخروط. الحجم يحتاج الارتفاع العمودي؛ والراسم للمساحة الجانبية.
أسئلة شائعة عن الحجم
ما قانون حجم الأسطوانة؟
V = πr²h - مساحة القاعدة الدائرية في الارتفاع. ولنصف قطر 3 وارتفاع 5 يكون ذلك π · 9 · 5 = 45π، نحو 141.37. ربّع نصف القطر قبل الضرب في الارتفاع.
ما حجم الكرة؟
V = 4/3 πr³. فكرة نصف قطرها 3 تسع 4/3 · π · 27 = 36π، نحو 113.1. وهو القانون الوحيد هنا الذي لا يمكن قراءته كمساحة قاعدة في ارتفاع، فلا بدّ من حفظه.
لماذا يوجد 1/3 في قانوني المخروط والهرم؟
لأن المخروط أو الهرم يسع ثُلث المنشور ذي القاعدة نفسها والارتفاع نفسه بالضبط. اصبب مخروطاً ممتلئاً في أسطوانة بالحجم نفسه فيملأ ثلثها - والمعامل حقيقة عن الضيق التدريجي لا حيلة.
بأي وحدات يخرج الحجم؟
بوحدة قياساتك مكعَّبة. فالسنتيمترات تعطي سنتيمترات مكعّبة والأمتار أمتاراً مكعّبة. ويجب تحويل كل القياسات إلى الوحدة نفسها قبل الحساب، وإلا فلا معنى للجواب.
كيف أجد حجم صندوق مستطيل؟
اضرب الأبعاد الثلاثة: V = الطول · العرض · الارتفاع. وهذه مساحة قاعدة في ارتفاع كأي منشور، لأن مساحة قاعدة الصندوق طول · عرض. وصندوق 2 في 3 في 4 يسع 24 وحدة مكعّبة.
ما الفرق بين الحجم والمساحة السطحية؟
الحجم هو الحيّز الداخلي ويُقاس بوحدات مكعَّبة؛ والمساحة السطحية هي مجموع مساحة الخارج وتُقاس بوحدات مربّعة. وتعرض هذه الصفحة الاثنتين في كل موضع تكون فيه المساحة السطحية دقيقة - المكعّب ومتوازي المستطيلات والأسطوانة والكرة.
ما راسم المخروط؟
المسافة من القمة نازلاً على الجانب المائل إلى الحافة: √(r² + h²)، بنظرية فيثاغورس على نصف القطر والارتفاع. وهو أطول من الارتفاع، وهو ما يحتاجه قانون المساحة الجانبية، ولا دور له في الحجم.
لماذا نحفظ π رمزاً؟
لأن 45π دقيق و141.37 تقريب. وأسئلة الامتحان تطلب الجواب بدلالة π كثيراً لأنه يمكن التحقّق منه بلا آلة حاسبة، والتقريب المبكر في مسألة متعددة الخطوات يفقد الدقة التي تحتاجها الخطوات التالية.
