الكلاسيكي: ضلعان 3 و4
plain
a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25، و√25 = 5 بالضبط. هذا مثلث 3-4-5، أصغر مثلث بأضلاع صحيحة ثلاثة، ويستحق أن يُعرف بلمحة - وكذلك مضاعفاته 6-8-10 و9-12-15.
حاسبة نظرية فيثاغورس
ضلعان على مثلث مرسوم يعطيان الثالث بدقة، بالجذور أيضاً.
آخر تحديث
تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
مربّعا الضلعين القائمين يساويان مربّع الوتر
في المثلث القائم الزاوية، وفيه وحده، يكون a² + b² = c²، حيث c هو الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو دائماً أطول الأضلاع الثلاثة. والعبارة تتحدث عن المساحات: ابنِ مربّعاً على كل من الضلعين الأقصر، فيكون مجموع مساحتيهما مساوياً تماماً لمساحة المربّع المبني على أطولها. ولهذا يُربَّع كل شيء، ولهذا يحتاج الجواب جذراً في النهاية.
واتجاه الحساب يعتمد على أي ضلع هو المجهول، وهناك تسكن معظم الأخطاء. إن كنت تبحث عن الوتر فأنت تجمع المربّعين. وإن كنت تبحث عن ضلع قائم فأنت تطرح: a² = c² − b²، لأن مربّع الوتر هو المجموع الكلي ومربّع الضلع المعلوم جزء منه. والجمع في موضع الطرح يعطي جواباً أكبر من الوتر، وهذا مستحيل - وهو تحقّق مفيد.
الأجوبة هنا دقيقة. فوتر مثلث ضلعاه القائمان 2 و3 هو √13، وهذا ما تعرضه الصفحة - وبجانبه 3.6056 موسوماً بأنه التقريب الذي هو عليه. والجذر √20 لا يُترك كما هو بل يُبسَّط إلى 2√5، والمثلث الذي تخرج أضلاعه الثلاثة أعداداً صحيحة يُشار إليه بأنه ثلاثية فيثاغورس.
ما ينبغي ملاحظته
- النظرية لا تصحّ إلا في المثلث القائم. وفي غيره يكون a² + b² وc² عددين مختلفين فقط - وهناك قانون جيب التمام هو الصورة العامة.
- الوتر c هو أطول ضلع دائماً. فإن خرج جوابك للوتر أصغر من ضلع قائم فقد صار الجمع طرحاً في مكان ما.
- إيجاد ضلع قائم عملية طرح. والعلاقة a² = c² − b² تخرج من النظرية مباشرة، وهي الحالة التي يُخطئ فيها الناس أكثر بكثير من الوتر.
- معظم الأجوبة أصمّ. والمثلثات ذات الأضلاع الثلاثة الصحيحة - 3-4-5 و5-12-13 - هي الاستثناء، ولهذا تهمّ الصورة الجذرية.
- مساحة المثلث القائم هي ab/2: الضلعان القائمان مضروبان ثم منصّفان. والوتر لا يدخل، لأن الضلعين القائمين يتقابلان أصلاً بزاوية قائمة.
- كل مضاعف لثلاثية هو ثلاثية أيضاً. فـ 3-4-5 مضروبة في 3 تعطي 9-12-15، ولهذا تتكرر المثلثات نفسها في التمارين بلا انقطاع.
كيف تجد الضلع المجهول
حدّد الوتر
هو الضلع المقابل للزاوية القائمة وأطول الأضلاع الثلاثة. والخطأ هنا يفسد كل ما بعده، فسمِّه قبل أن تحسب شيئاً.
قرّر: جمع أم طرح
إن كان الوتر مجهولاً فاجمع مربّعي الضلعين القائمين. وإن كان ضلع قائم مجهولاً فاطرح مربّع الضلع المعلوم من مربّع الوتر.
ربّع الضلعين المعلومين
التربيع أولاً ثم الجمع أو الطرح. والتربيع بعد الجمع - (a + b)² - عدد آخر وأكبر بكثير.
خُذ الجذر التربيعي
هذا يفكّ التربيع ويعطي الضلع نفسه. وإن لم يخرج صحيحاً فبسّط الجذر بدل الهروب إلى العشري: فـ √20 هو 2√5.
تحقّق من المقدار
يجب أن يكون الوتر أطول من كل ضلع قائم وأقصر من مجموعهما. فإن خالف جوابك إحدى القاعدتين فقد تبادل الجمع والطرح.
المثلثات القائمة بنظرة
الثلاثيات التي تستحق الحفظ، وما يحدث حين لا يخرج الجواب صحيحاً. العمود الدقيق هو الجواب، والعشري تقريب له.
| a | b | c | دقيق | عشري |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
أمثلة محلولة
وتر أصمّ: ضلعان 2 و3
plain
a = 2, b = 34 + 9 = 13، فالوتر √13. هذا هو الجواب - و3.6056 تقريب له، وتربيع 3.6056 يعطي 12.9999… لا 13. ومعظم المثلثات القائمة كهذا؛ وذوات الأضلاع الصحيحة هي الاستثناء.
تبسيط الجذر: ضلعان 2 و4
plain
a = 2, b = 44 + 16 = 20، والجذر √20 لا يُترك كما هو: فـ 20 = 4 · 5، ويخرج 4 من الجذر على صورة 2 فيصبح 2√5. العدد نفسه، والصورة التي يتوقعها كل تصحيح.
إيجاد ضلع قائم: الوتر 5 والضلع الآخر 4
plain
b = 4, c = 5أعِد الترتيب أولاً: a² = c² − b² = 25 − 16 = 9، فـ a = 3. ولو جمعتَ لأعطى √41 ≈ 6.4، وهو أطول من الوتر - مستحيل، وهذا هو التحقّق الذي يمسك هذا الخطأ فوراً.
أضلاع كسرية: 3/2 و2
plain
a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4، والجذر التربيعي لـ 25/4 هو 5/2 بالضبط. والكسور تبقى كسوراً حتى النهاية، ولهذا الجواب 5/2 لا 2.5 - وإن كانا هنا العدد نفسه.
أخطاء شائعة
- الجمع حين يكون الضلع المجهول ضلعاً قائماً. مربّع الوتر هو المجموع الكلي، فإيجاد ضلع قائم يعني الطرح منه.
- تربيع المجموع بدل جمع المربّعين. فـ a² + b² ليس (a + b)²؛ والثاني أكبر بمقدار 2ab، ولا يكون ذلك صفراً في مثلث حقيقي أبداً.
- تسمية الضلع الخطأ وتراً. فالوتر هو المقابل للزاوية القائمة، لا الضلع المرسوم أخيراً ولا الذي على اليمين.
- نسيان الجذر التربيعي. فـ 3² + 4² = 25 هو مربّع الجواب لا الجواب: الوتر 5 لا 25.
- استخدام النظرية في مثلث بلا زاوية قائمة. فهي لا تصحّ إلا في القائم؛ وما عداه يحتاج قانون جيب التمام.
- تقريب الجذر مبكراً جداً. فمربّع √13 يساوي 13 بالضبط، أما مربّع 3.61 فهو 13.0321 - وفي مسألة متعددة الخطوات يكبر هذا الخطأ.
أسئلة شائعة عن نظرية فيثاغورس
ما نظرية فيثاغورس؟
في المثلث القائم يكون a² + b² = c²، حيث a وb الضلعان الأقصر (الضلعان القائمان) وc الوتر المقابل للزاوية القائمة. وبقراءة المساحات: المربّعان المبنيان على الضلعين القائمين لهما معاً مساحة المربّع المبني على الوتر بالضبط.
كيف أجد الوتر؟
ربّع الضلعين القائمين واجمعهما ثم خُذ الجذر: c = √(a² + b²). ولضلعين 3 و4 يكون ذلك √25 = 5. وإن لم يخرج الجذر صحيحاً فاحتفظ به جذراً مبسّطاً - فـ √20 يصبح 2√5.
وكيف أجد ضلعاً قائماً؟
بالطرح لا بالجمع: a² = c² − b²، أي a = √(c² − b²). فمع وتر 5 وضلع 4 يكون ذلك √(25 − 16) = 3. وهذه أكثر حالة يُخطأ فيها، والتحقّق أن الضلع القائم يجب أن يكون أقصر من الوتر دائماً.
ما ثلاثية فيثاغورس؟
ثلاثة أعداد صحيحة تحقّق النظرية: 3-4-5 و5-12-13 و8-15-17 و7-24-25. وكل مضاعف لثلاثية هو ثلاثية أيضاً، فتأتي 6-8-10 و9-12-15 مجاناً مع 3-4-5. ومعظم المثلثات القائمة ليست ثلاثيات، ولهذا الأجوبة الصمّاء هي القاعدة.
هل تعمل النظرية في أي مثلث؟
لا، في القائم وحده. وللبقية العبارة العامة هي قانون جيب التمام: c² = a² + b² − 2ab·cos(C)، وهو يتحوّل إلى نظرية فيثاغورس بالضبط حين تكون C زاوية 90° وجيب تمامها صفراً.
لماذا تحفظ هذه الصفحة الجذور بدل الأعداد العشرية؟
لأن الجذر هو الجواب الدقيق والعشري تقريب له. فمربّع √13 يساوي 13 تماماً، ومربّع 3.61 يساوي 13.0321. وفي مسألة متعددة الخطوات يتراكم هذا الفرق، ومعظم معايير التصحيح تريد الصورة الدقيقة أصلاً.
كيف أتحقّق أن المثلث قائم؟
جرّب النظرية على الأضلاع الثلاثة: فإن كان a² + b² مساوياً c² بالضبط، مع c أطول ضلع، فللمثلث زاوية قائمة. وإن كان الطرف الأيسر أكبر فالزاوية حادّة، وإن كان أصغر فمنفرجة - وهذا عكس النظرية وتحقّق نافع فعلاً.
هل تقبل الحاسبة الكسور والأعداد العشرية؟
نعم، وكلاهما يبقى دقيقاً. فضلعان 3/2 و2 يعطيان وتراً هو 5/2 بالضبط، والعدد العشري المكتوب يُقرأ ككسر دقيق يسمّيه، لا كتقريب بفاصلة عائمة.
