טרינום עם מקדם מוביל 1: x² - 5x + 6
plain
x^2 - 5x + 6שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם -5: -2 ו־-3. לכן זה (x - 2)(x - 3). כשהמקדם המוביל הוא 1 זו כל השיטה, ושווה לפתור תריסר כאלה עד שהזוג קופץ לעין בלי חיפוש.
מחשבון פירוק לגורמים
כל פולינום מפורק לגורמים, עם שם התבנית שמאחורי כל שלב.
עדכון אחרון
רוצים לפתור את אלה בלי מחשבון?
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
פירוק לגורמים הוא זיהוי תבניות, ואת התבניות אפשר לספור
יש רק כשישה דברים שקורים כשמפרקים פולינום לגורמים: גורם משותף יוצא החוצה, הפרש של שני ריבועים מתפצל, ריבוע מושלם מתכווץ לסוגריים בריבוע, טרינום מתפרק לשני סוגריים, ארבעה איברים מתקבצים בזוגות, או סכום או הפרש של חזקות שלישיות נפתחים. כל מה שתתבקשו לפרק באלגברה של בית הספר הוא אחד מאלה, או אחד מאלה שמופעל פעמיים.
לכן הדבר המועיל שמחשבון יכול לספר לכם הוא לא התשובה, אלא באיזו תבנית הוא השתמש ולמה דווקא בה. כל שורה כאן נקראת בשמה. כשאותו תרגיל מופיע במבחן אתם לא מנסים לזכור מה הדף הזה אמר; אתם מחפשים את התבנית שהוא הצביע עליה.
הוא עובד במדויק, על מקדמים שלמים ושבורים כאחד, והוא מאמת את עצמו: השורה האחרונה כופלת את הגורמים בחזרה ומראה לכם את הפולינום שהתחלתם ממנו. הבדיקה הזו היא התשובה ל"איך אני יודע שזה נכון", ואפשר לעשות אותה ידנית על כל תשובה, מכל מקור, תמיד.
למה לשים לב בשלבים
- תמיד חפשו קודם גורם משותף. 3x² - 27 אינו הפרש ריבועים עד שה־3 יוצא החוצה, וחצי מתשובות ה"זה לא מתפרק" הן בעצם "לא הוצאתי את ה־3".
- שני איברים: חפשו ריבועים או חזקות שלישיות. שלושה איברים: חפשו טרינום או ריבוע מושלם. ארבעה איברים: נסו קיבוץ. מספר האיברים מצמצם את האפשרויות עוד לפני שמנסים משהו.
- הפרש ריבועים מתפצל; סכום ריבועים לא. x² - 9 מתפרק ו־x² + 9 לא, ושווה לשנן את חוסר הסימטריה הזה במקום לגלות אותו מחדש.
- בדקו את התשובה בכפל חזרה: השורה האחרונה כאן עושה בדיוק את זה. זה לוקח עשר שניות ותופס כל טעות סימן שאי פעם תעשו.
- "זה לא מתפרק" היא תשובה אמיתית. ל־x² + x + 1 אין גורמים רציונליים, ולדעת מתי לעצור זה חלק מהמיומנות.
איך משתמשים במחשבון הפירוק לגורמים
הקלידו את הפולינום
כתבו אותו כמו על נייר:
x^2 - 5x + 6,4x^2 - 12x + 9,x^3 - 8. השתמשו ב־^לחזקות. אות אחת, או שתיים (x^2 - y^2עובד).קראו את התשובה, ואז את התבנית
הצורה המפורקת נמצאת למעלה. השלבים הממוספרים מתחתיה נותנים שם לתבנית שכל אחד השתמש בה: זה החלק שעובר לשאלה הבאה.
הסתכלו על האפסים
כל סוגריים מהצורה (ax - b) נותנים אפס ב־b/a. בגלל זה פירוק לגורמים פותר משוואות: מכפלה היא אפס בדיוק כשאחד הגורמים שלה הוא אפס.
עשו את הבדיקה בעצמכם
השורה האחרונה כופלת את הגורמים בחזרה. כסו אותה, עשו את זה בראש, ואז השוו: ההרגל הזה שווה יותר מהתשובה.
התבניות, ואיך מזהים אותן
שש תבניות מכסות את הפירוק לגורמים של בית הספר. ספרו קודם את האיברים: זה מוחק את רוב הרשימה לפני שמנסים משהו.
| תבנית | נראית כמו | מתפרקת ל |
|---|---|---|
| גורם משותף | 6x² - 15x | 3x(2x - 5) |
| הפרש ריבועים | 9x² - 4 | (3x - 2)(3x + 2) |
| טרינום ריבוע מושלם | 4x² - 12x + 9 | (2x - 3)² |
| טרינום, מקדם מוביל 1 | x² - 5x + 6 | (x - 2)(x - 3) |
| טרינום, מקדם מוביל שונה מ־1 | 2x² + 7x + 3 | (2x + 1)(x + 3) |
| קיבוץ (ארבעה איברים) | x³ + 2x² + 3x + 6 | (x + 2)(x² + 3) |
| הפרש חזקות שלישיות | x³ - 8 | (x - 2)(x² + 2x + 4) |
| סכום חזקות שלישיות | x³ + 27 | (x + 3)(x² - 3x + 9) |
| סכום ריבועים | x² + 9 | לא מתפרק |
דוגמאות פתורות
ריבוע מושלם: 4x² - 12x + 9
plain
4x^2 - 12x + 94x² הוא (2x)², 9 הוא 3², והאיבר האמצעי הוא בדיוק -2 × 2x × 3. זה הופך אותו ל־(2x - 3)². אפשר גם לפרק אותו בכוח כטרינום ולקבל (2x-3)(2x-3); זיהוי הריבוע חוסך את העבודה, וזו הסיבה היחידה ששווה ללמוד תבניות.
הפרש ריבועים עם מקדמים: 9x² - 4
plain
9x^2 - 4המלכודת כאן היא לא לראות את זה, כי הריבועים לא ברורים: 9x² הוא (3x)² ו־4 הוא 2². אחר כך התבנית חלה כרגיל והוא מתפצל ל־(3x - 2)(3x + 2). שני איברים עם מינוס ביניהם תמיד שווים בדיקה לתבנית הזו.
קודם גורם משותף: 3x² - 27
plain
3x^2 - 27כפי שהוא כתוב, זה לא הפרש ריבועים: 3x² אינו ריבוע. הוציאו את ה־3 ו־3(x² - 9) כן, וזה נותן 3(x - 3)(x + 3). דילוג על הגורם המשותף הוא הדרך הנפוצה ביותר להסיק בטעות שמשהו לא מתפרק.
הפרש חזקות שלישיות: x³ - 8
plain
x^3 - 8x³ - 8 הוא x³ - 2³, ולכן הוא (x - 2)(x² + 2x + 4). הסוגריים הריבועיים אף פעם לא מתפרקים הלאה מעל הרציונליים, והדף אומר זאת במקום להשאיר אתכם לתהות. שימו לב לסימנים: הסוגריים הלינאריים מקבלים את הסימן של המקור, והריבועיים מחליפים סימנים.
טעויות נפוצות
- לא להוציא קודם את הגורם המשותף. כל תבנית אחרת קלה יותר לזיהוי כשהוא יוצא, וחלקן בלתי נראות עד אז.
- לנסות לפרק סכום ריבועים. ל־x² + 4 אין גורמים רציונליים; רק ההפרש מתפצל.
- לאבד סימן בזוג של הטרינום. שני המספרים מוכפלים לקבוע ומתחברים למקדם האמצעי: שני התנאים, בכל פעם, ובדיקה מהירה בראש לא עולה כלום.
- לעצור מוקדם מדי. x⁴ - 16 הופך ל־(x² - 4)(x² + 4), והסוגריים הראשונים עדיין מתפרקים ל־(x - 2)(x + 2).
- לשכוח שריבוע מושלם הוא סוגריים אחד בריבוע. לכתוב (2x - 3)(2x - 3) זה לא שגוי, אבל (2x - 3)² היא התשובה שמבקשים.
- לצמצם במקום לפרק. ב־(x² - 9)/(x + 3) אסור למחוק את x² ואת x; פרקו קודם את המונה, ואז הסוגריים המשותפים מצטמצמים.
שאלות נפוצות על פירוק לגורמים
איך מפרקים פולינום לגורמים?
הוציאו כל גורם משותף, ואז ספרו את האיברים. שני איברים: חפשו הפרש ריבועים או סכום או הפרש של חזקות שלישיות. שלושה: ריבוע מושלם או זוג של טרינום. ארבעה: קבצו אותם בזוגות. אחר כך בדקו אם סוגריים כלשהם עדיין מתפרקים. כל דרך שהדף מדפיס היא ההליך הזה שמופעל פעם או פעמיים.
איך מפרקים טרינום כמו x² - 5x + 6?
מצאו שני מספרים שמכפלתם היא האיבר החופשי וסכומם הוא המקדם האמצעי: כאן 6 ו־-5, ולכן -2 ו־-3. הגורמים הם (x - 2)(x - 3). כשהמקדם המוביל שונה מ־1, השתמשו באותו רעיון על a×c במקום c, וזה מה שהשלבים כאן קוראים לו שיטת ac.
מה אם הפולינום לא מתפרק?
אז הדף אומר זאת בפשטות, ובפולינום ריבועי או שלישי באות אחת זו הוכחה ולא משיכת כתפיים: אם אין שורש רציונלי אין גורם רציונלי. x² + x + 1 הוא דוגמה. משוואה ריבועית שלא מתפרקת עדיין אפשר לפתור בנוסחת השורשים, וזה דף אחר.
האם הוא מתמודד עם שתי אותיות?
כן, בצורות שבית הספר שואל עליהן: גורם משותף (6x²y + 9xy² הופך ל־3xy(2x + 3y)), הפרש ריבועים (x² - y²), וסכומים והפרשים של חזקות שלישיות (x³ + 8y³). אם חלק מצטמצם לאות אחת, הדרך המלאה של אות אחת ממשיכה משם.
למה התשובה מגיעה עם שורת בדיקה?
כי כפל הגורמים בחזרה הוא הדרך לאמת פירוק לגורמים, ולהציג אותו לא עולה כלום. זה גם מדגים את ההרגל ששווה לשמור עליו: כל תשובה, מכל מחשבון או מכל חבר, אפשר לבדוק בעשר שניות בדרך הזו.
האם פירוק לגורמים זהה לפתרון?
לא, אבל הוא רוב הדרך. פירוק לגורמים כותב ביטוי מחדש כמכפלה; פתרון משתמש במכפלה הזו כדי למצוא את האפסים, כי מכפלה היא אפס בדיוק כשאחד הגורמים שלה הוא אפס. שורת האפסים מתחת לתשובה היא השלב האחרון הזה, שנעשה בשבילכם.
אפשר לפרק עם שברים או מספרים עשרוניים במקדמים?
כן. x²/2 - 2 מתפרק ל־½(x - 2)(x + 2), ו־0.25x² - 1 נקרא כשבר המדויק ¼ ולא כמספר עשרוני מעוגל. שום דבר כאן לא מחושב בנקודה צפה, כך ששבר נשאר שבר כל הדרך עד התשובה.
