유한소수: 0.375
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0.375소수점 아래 세 자리이므로 375/1000으로 시작합니다. 375와 1000의 최대공약수는 125이고, 둘 다 그것으로 나누면 3/8입니다. 두 줄이면 끝이고, 실수가 숨을 수 있는 곳은 두 번째 줄뿐입니다. 최대공약수를 잘못 잡으면 15/40이 남는데, 맞기는 하지만 기약이 아니라 보통 감점됩니다.
소수를 분수로 변환
어떤 소수든 기약분수로 정확하게. 순환소수도 됩니다.
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모든 소수는 이미 분수입니다
소수는 특정한 방식으로 쓴 분수입니다. 0.375는 천분의 삼백칠십오, 즉 375/1000이고 약분하면 3/8입니다. 유한소수의 방법은 이게 전부입니다. 숫자를 알맞은 10의 거듭제곱 위에 쓰고, 분자와 분모를 최대공약수로 나누면 끝입니다.
순환소수에는 조금 더 영리한 수가 필요하고, 바로 그 부분을 거의 어떤 계산기도 보여 주지 않습니다. 0.1666…은 10의 거듭제곱 위에 쓸 수 없습니다. 숫자가 끝나지 않기 때문입니다. 대신 끝없는 꼬리가 겹치도록 자리를 옮긴 사본 두 개를 만들어 빼면, 꼬리가 정확히 상쇄되고 나눌 수 있는 평범한 정수가 남습니다.
여기서는 모든 것이 정확합니다. 부동소수점으로 계산하지 않으므로 0.1은 진짜 10분의 1이지, 컴퓨터가 보통 그렇게 부르는 0.1000000000000000055가 아닙니다. 1/7 같은 분수도 거기에 반올림되는 무언가가 아니라 1/7로 돌아옵니다.
눈여겨볼 점
- 소수점 아래 자릿수가 곧 0의 개수입니다. 세 자리는 천분의 몇이므로 첫 분수는 1000 위에 놓입니다 — 약분하기 전에는 언제나 그렇습니다.
- 약분은 찾기가 아니라 한 번의 나눗셈입니다. 분자와 분모를 최대공약수로 한 번 나누면 기약이 됩니다. 2로 계속 나눠도 도착하지만 더 느립니다.
- 순환소수는 절대 10의 거듭제곱 위에 오지 않습니다. 9가 늘어선 수(때로는 0도) 위에 옵니다. 0.(3)은 3/9, 0.(45)는 45/99이고, 이는 모습을 바꾼 뺄셈입니다.
- 백분율도 정확하게 남습니다. 1/6은 16.67%가 아니라 16⅔%입니다. 정확한 분수를 반올림한 백분율로 바꾸는 것은 뒷걸음질입니다.
- 0.999…는 정말로 1입니다. 방법에 넣어 보세요. 식은 9x = 9가 되어 x = 1입니다. 근사도, 표기의 장난도 아닙니다.
소수를 분수로 바꾸는 법
소수점 아래 자릿수를 세세요
소수점 뒤 숫자를 정수로 쓰고, 1 뒤에 그만큼 0이 붙은 수 위에 놓습니다. 0.375는 세 자리이므로 375/1000으로 시작합니다.
최대공약수를 찾으세요
분자와 분모를 모두 나누는 가장 큰 수를 구합니다. 375와 1000이라면 125입니다.
둘 다 그 수로 나누세요
375 ÷ 125 = 3, 1000 ÷ 125 = 8이므로 0.375 = 3/8입니다. 최대공약수가 1이면 그 분수는 이미 기약이었습니다.
순환소수라면 옮겨서 빼세요
10의 거듭제곱을 곱해 순환 부분을 소수점 왼쪽으로 보내고 원래 수(필요하면 옮긴 것)를 빼면 끝없는 꼬리가 상쇄됩니다. 0.1(6)이라고 입력하면 이 페이지가 모든 줄을 적어 줍니다.
자주 쓰는 소수와 분수
외워 둘 만한 변환입니다. 나머지는 위 계산기가 정확히 처리합니다.
| 소수 | 분수 | 백분율 |
|---|---|---|
| 0.1 | 1/10 | 10% |
| 0.125 | 1/8 | 12.5% |
| 0.2 | 1/5 | 20% |
| 0.25 | 1/4 | 25% |
| 0.333…(0.(3)) | 1/3 | 33⅓% |
| 0.375 | 3/8 | 37.5% |
| 0.5 | 1/2 | 50% |
| 0.625 | 5/8 | 62.5% |
| 0.666…(0.(6)) | 2/3 | 66⅔% |
| 0.75 | 3/4 | 75% |
| 0.875 | 7/8 | 87.5% |
| 0.1666…(0.1(6)) | 1/6 | 16⅔% |
예제 풀이
순순환소수: 0.(3)
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0.(3)x = 0.333…이라고 둡니다. 10을 곱하면 10x = 3.333…입니다. 두 꼬리가 똑같으므로 빼면 정확히 9x = 3이 남고 — 어디에도 근사는 없습니다 — x = 3/9 = 1/3입니다. 분모의 9는 우연이 아닙니다. 순환하는 숫자가 하나면 언제나 9분의 몇이 됩니다.
혼순환소수: 0.1(6)
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0.1(6)여기서는 1은 순환하지 않고 6만 순환하므로 두 번 옮겨야 합니다. 100x = 16.666…, 10x = 1.666…이고 빼면 90x = 15, 즉 x = 15/90 = 1/6입니다. 90은 9(순환 자리 하나) 곱하기 10(고정 자리 하나)이고, 이런 종류의 분모는 전부 여기서 나옵니다.
1보다 큰 경우: 2.5
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2.5방법은 그대로입니다. 25/10을 5로 약분하면 5/2입니다. 분자가 분모보다 크므로 가분수이고, 계산기는 대분수 2½도 함께 보여 줍니다. 어느 형태로 답해야 하는지는 문제에 달렸습니다. 가분수는 계산하기 쉽고 대분수는 크기를 그리기 쉽습니다.
자주 하는 실수
- 소수점 앞자리를 세기. 10의 거듭제곱을 정하는 것은 소수점 아래 자릿수뿐입니다. 2.5는 한 자리이므로 25/10이지 25/100이 아닙니다.
- 기약이 되기 전에 멈추기. 375/1000은 다른 질문에 대한 맞는 답입니다. 대부분의 채점 기준은 3/8을 원합니다.
- 순환소수를 10의 거듭제곱 위에 놓기. 0.(3)은 3/10도 33/100도 아니고 3/9입니다. 끝없는 숫자에는 뺄셈 방법이 필요합니다.
- 먼저 반올림하기. 0.333(세 자리)을 변환하면 333/1000이고 이는 1/3이 아닙니다. 순환한다면 괄호나 점으로 그렇게 표시하세요.
- 부호를 잊기. -0.75는 -3/4이고, 마이너스는 분수 전체에 붙지 분자와 분모에 따로 붙지 않습니다.
- 0.999…를 「거의 1」로 읽기. 정확히 1이고, 위의 식이 두 줄로 증명합니다.
자주 묻는 질문
소수를 분수로 어떻게 바꾸나요?
소수점 뒤 숫자를 1 뒤에 소수 자릿수만큼 0이 붙은 수 위에 쓰고, 분자와 분모를 최대공약수로 나누면 됩니다. 0.375는 375/1000이 되고 둘 다 125로 나누면 3/8입니다. 순환소수에는 다른 방법이 필요합니다 — 다음 답을 보세요.
순환소수는 어떻게 변환하나요?
그것을 x라 두고 10의 거듭제곱을 곱해 순환 부분을 소수점 왼쪽으로 보낸 뒤, 거기서 원래 수를 뺍니다. 끝없는 꼬리가 똑같으므로 정확히 상쇄되고 정수가 남습니다. 0.(3)이라면 10x = 3.333…에서 x = 0.333…을 빼 9x = 3, x = 1/3입니다. 여기에 0.(3) 또는 0.333...으로 입력하면 모든 줄이 적힙니다.
0.375는 분수로 얼마인가요?
3/8입니다. 375/1000에서 시작하고, 375와 1000의 최대공약수가 125이므로 8분의 3이 남습니다. 백분율로는 정확히 37.5%입니다.
0.999...는 정말 1과 같나요?
네, 정확히 같고 같은 방법으로 증명됩니다. x = 0.999…라 두면 10x = 9.999…이고, 빼면 9x = 9, 즉 x = 1입니다. 반올림도 표기의 특이함도 아닙니다. 0.999…와 1은 같은 수를 쓰는 두 가지 방법입니다.
왜 소수가 아니라 분수로 주나요?
분수가 정확한 값이고, 입력한 소수는 그것을 쓰는 한 가지 방식일 뿐이기 때문입니다. 기약분수를 요구하는 문제에서 소수는 오답 처리됩니다. 이 페이지의 목적은 문제가 요구하는 형태를 그대로 건네는 것입니다.
음수와 1보다 큰 수도 되나요?
둘 다 됩니다. -0.75는 -3/4을 주고, 2.5는 5/2와 함께 대분수 2½을 나란히 보여 줍니다. 방법은 똑같고 답을 보여 주는 방식만 달라집니다.
순환소수는 어떻게 입력하나요?
두 가지 방법이 있고 둘 다 됩니다. 순환하는 숫자를 괄호에 넣거나 — 0.(3), 0.1(6), 0.(142857) — 이 방법은 애매함이 없습니다. 아니면 점으로 끝내면 — 0.333..., 0.1666... — 입력한 숫자에서 순환 부분을 알아냅니다.
