지수 법칙에는 무엇이 있나요?

다섯 가지가 거의 전부를 감당합니다. 밑이 같은 거듭제곱을 곱하면 지수를 더하고, 나누면 빼고, 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 곱하고, 무엇이든 0제곱은 1이며, 음의 지수는 양의 지수의 역수입니다. 다섯 모두 거듭제곱을 반복된 곱셈으로 풀어 쓴 결과입니다.

왜 0제곱은 1인가요?

나눗셈 규칙 때문입니다. 어떤 수든 자기 자신으로 나누면 1인데, 나눗셈 규칙은 그 같은 나눗셈이 밑의 '지수 빼기 자기 지수', 곧 0제곱이라고 말합니다. 두 진술이 같은 나눗셈을 가리키므로 a의 0제곱은 1일 수밖에 없습니다. 정해 준 것이 아니라 강제된 것이며, 유일한 예외는 정의하지 않는 0의 0제곱입니다.

음의 지수는 무슨 뜻인가요?

역수라는 뜻이지 음수라는 뜻이 아닙니다. 2의 -3제곱은 1/8이고, 이는 양수입니다. 지수가 내려갈수록 밑으로 계속 나눕니다. 8, 4, 2, 1로 오다가 1을 지나면 1/2, 1/4, 1/8이 됩니다. 음의 지수는 곱하는 대신 몇 번 나눌지를 알려 줍니다.

지수를 더해도 될 때와 안 될 때는?

밑이 완전히 같고 곱셈을 할 때만입니다. 2의 세제곱 곱하기 2의 네제곱은 2의 일곱제곱이지만, 2의 세제곱 곱하기 3의 네제곱은 전혀 합쳐지지 않습니다. 세는 대상이 다르기 때문입니다. 항을 더하면서 지수를 더하는 것이 여기서 가장 흔한 실수입니다. x의 제곱 더하기 x의 세제곱은 x의 다섯제곱이 아닙니다.

(a + b)의 제곱은 a의 제곱 더하기 b의 제곱인가요?

아닙니다. 이 실수는 이름을 붙여 둘 만합니다. 제곱은 곱에는 분배되지만 합에는 분배되지 않습니다. (ab)의 제곱은 정말로 a의 제곱 곱하기 b의 제곱이지만, (a + b)의 제곱은 a의 제곱 더하기 2ab 더하기 b의 제곱으로 전개됩니다. 빠진 가운데 항이 바로 넓이 그림이 보여 주는 것입니다.

지수 법칙

누구나 카드에 옮겨 적고, 그중 절반은 엉뚱한 곳에 쓰는 다섯 규칙. 반복된 곱셈으로 풀어 쓰면 어느 것도 외울 필요가 없습니다.

작성: Nethanel Bar, Co-founder & CEO

마지막 업데이트 2026년 8월 25일

누구나 지수 법칙을 카드에 옮겨 적고, 한 학기 뒤에는 그중 절반이 엉뚱한 대상에 쓰이고 있습니다. 이것은 기억력의 문제가 아닙니다. 외우기만 한 규칙은 그것이 적용되는지 아닌지를 판단할 방법을 주지 않으므로, 겉보기에 들어맞는 곳이면 어디든 쓰이게 됩니다.

해법은 이것들을 규칙으로 다루기를 그만두는 것입니다. 아래에서 하나를 고르고 가운데 줄을 읽어 보세요.

밑 a2

지수 m2

지수 n3

곱

규칙a^(2) · a^(3) = a^(2 + 3) = a^(5)

풀어 쓰면(a · a) · (a · a · a) = a · a · a · a · a

실제 수로2^(2) · 2^(3) = 4 · 8 = 32

가운데 줄이 곧 증명입니다. 거듭제곱을 반복된 곱셈으로 풀어 쓰면 이 규칙들은 모두 당연해집니다. 기억에 의존할 필요가 없다는 뜻입니다.

모든 규칙은 세는 이야기입니다

a^3은 줄임말입니다. 실제로 말하는 것은 a · a · a, 곧 a의 복사본 셋을 곱한 것입니다. 규칙의 양변을 이렇게 풀어 쓰는 순간, 규칙은 주장이 아니라 셈이 됩니다.

곱하기: 복사본 둘 옆에 복사본 셋이면 복사본 다섯.

a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5

규칙이 그러라고 해서 지수를 더한 것이 아닙니다. 그 줄에 a가 몇 개 남았는지 세었기 때문에 더한 것입니다.

나누기: 복사본 다섯 위에 복사본 둘, 둘이 약분됩니다.

a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3

거듭제곱의 거듭제곱: '복사본 둘'의 셋이면 복사본 여섯.

(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6

규칙 셋, 논증 하나. '더한다'와 '곱한다'를 헷갈리는 이유는 셈이 아니라 동사를 외웠기 때문입니다.

0과 음의 지수는 고른 것이 아니라 강제된 것입니다

이 둘은 누군가 정한 약속처럼 보이지만 그렇지 않습니다.

a3/a3을 보세요. 무엇이든 자기 자신으로 나누면 1입니다. 그런데 나눗셈 규칙은 그것이 a^(3-3) = a^0이라고 말합니다. 둘 다 같은 나눗셈을 가리키므로, 규칙들이 서로 어긋나지 않게 하는 값은 a^0 = 1뿐입니다.

계속 내려가 보세요. 한 칸 내려갈 때마다 a로 한 번 더 나눕니다.

거듭제곱	a = 2일 때 값
2³	8
2²	4
2¹	2
2⁰	1
2⁻¹	1/2
2⁻²	1/4

0에서 방향이 바뀌는 일은 없습니다. 절반으로 줄어드는 흐름이 그대로 이어질 뿐입니다. 음의 지수는 딱 그것입니다. a^-n = 1/a^n. 그리고 특히 음수가 아닙니다. 2^-3은 1/8로 양수입니다.

y = 2의 x제곱. 곡선은 (0, 1)을 지나는데 이것이 지수 0이고, 왼쪽에서는 축에 결코 닿지 않습니다. 음의 지수는 작아질 뿐 음수가 되지 않습니다.

이름 붙일 가치가 있는 세 가지 실수

밑이 다르면 합쳐지지 않습니다. 2^3 · 3^4은 그대로 둡니다. 규칙은 같은 것의 복사본을 세는 이야기인데, 여기서는 서로 다른 둘을 세고 있습니다.

항을 더하는 것은 곱하는 것이 아닙니다. x^2 + x^3은 x^5이 아닙니다. 풀어 써 보세요. 복사본 둘 더하기 복사본 셋은 복사본 다섯이 아니라 서로 다른 두 양의 합입니다. 약분도 없고 결합도 없습니다.

거듭제곱은 곱에 분배되지 합에 분배되지 않습니다. (ab)^2 = a2b2은 참입니다. ab의 복사본 둘은 a 둘과 b 둘이니까요. 그러나 (a+b)^2은 a^2 + b^2이 아니라 a^2 + 2ab + b^2으로 전개되고, 가운데 항은 정확히 분배법칙이 예고하는 것입니다.

하나 풀어 보기

계산기를 집었다면 이번엔 약분으로 해 보세요. 3이 넷, 그 아래 3이 둘. 남는 것은 둘이고, 3 두 개는 9입니다. 밑이 3 대신 x가 되어도 통하는 쪽은 이 방법입니다.

이것이 이어지는 곳

지수 법칙은 과학적 표기의 계산을 돌아가게 하고, 근호를 분수 지수로 바꾸며, 로그가 곱셈을 덧셈으로 바꾸게 해 줍니다. 셋 다 같은 다섯 규칙을 다른 방향에서 읽은 것입니다. 암기가 아니라 논증으로 지녀야 할 좋은 이유겠지요.

자주 묻는 질문

지수 법칙에는 무엇이 있나요?: 다섯 가지가 거의 전부를 감당합니다. 밑이 같은 거듭제곱을 곱하면 지수를 더하고, 나누면 빼고, 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 곱하고, 무엇이든 0제곱은 1이며, 음의 지수는 양의 지수의 역수입니다. 다섯 모두 거듭제곱을 반복된 곱셈으로 풀어 쓴 결과입니다.
왜 0제곱은 1인가요?: 나눗셈 규칙 때문입니다. 어떤 수든 자기 자신으로 나누면 1인데, 나눗셈 규칙은 그 같은 나눗셈이 밑의 '지수 빼기 자기 지수', 곧 0제곱이라고 말합니다. 두 진술이 같은 나눗셈을 가리키므로 a의 0제곱은 1일 수밖에 없습니다. 정해 준 것이 아니라 강제된 것이며, 유일한 예외는 정의하지 않는 0의 0제곱입니다.
음의 지수는 무슨 뜻인가요?: 역수라는 뜻이지 음수라는 뜻이 아닙니다. 2의 -3제곱은 1/8이고, 이는 양수입니다. 지수가 내려갈수록 밑으로 계속 나눕니다. 8, 4, 2, 1로 오다가 1을 지나면 1/2, 1/4, 1/8이 됩니다. 음의 지수는 곱하는 대신 몇 번 나눌지를 알려 줍니다.
지수를 더해도 될 때와 안 될 때는?: 밑이 완전히 같고 곱셈을 할 때만입니다. 2의 세제곱 곱하기 2의 네제곱은 2의 일곱제곱이지만, 2의 세제곱 곱하기 3의 네제곱은 전혀 합쳐지지 않습니다. 세는 대상이 다르기 때문입니다. 항을 더하면서 지수를 더하는 것이 여기서 가장 흔한 실수입니다. x의 제곱 더하기 x의 세제곱은 x의 다섯제곱이 아닙니다.
(a + b)의 제곱은 a의 제곱 더하기 b의 제곱인가요?: 아닙니다. 이 실수는 이름을 붙여 둘 만합니다. 제곱은 곱에는 분배되지만 합에는 분배되지 않습니다. (ab)의 제곱은 정말로 a의 제곱 곱하기 b의 제곱이지만, (a + b)의 제곱은 a의 제곱 더하기 2ab 더하기 b의 제곱으로 전개됩니다. 빠진 가운데 항이 바로 넓이 그림이 보여 주는 것입니다.