24와 36의 최대공약수
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24, 3624 = 2³ · 3이고 36 = 2² · 3²입니다. 각 소인수에서 작은 지수를 고르면 2²(24는 2가 셋이지만 36은 둘)과 3¹(36은 3이 둘이지만 24는 하나)이 되어 2² · 3 = 12입니다. 호제법도 일치합니다. 36 = 1 × 24 + 12, 다음 24 = 2 × 12 + 0이므로 0이 아닌 마지막 나머지가 12입니다.
최대공약수(GCD) 계산기
공통 소인수 또는 유클리드 호제법으로 구하는 최대공약수.
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최대공약수란
어떤 수의 약수는 나머지 없이 그 수를 나누는 수입니다. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 두 수의 공약수는 두 목록에 모두 나타납니다. 최대공약수는 그중 가장 큰 것, 곧 두 수를 깔끔하게 나누는 가장 큰 수입니다.
24와 36의 최대공약수는 12입니다. 둘 다 1, 2, 3, 4, 6, 12로 나누어지고 그중 가장 큰 것이 12입니다. 영어로는 greatest common divisor(GCD)나 highest common factor(HCF)라고도 합니다. 모두 정확히 같은 뜻이고, 어느 이름을 배웠는지는 대개 지역의 문제입니다.
주된 일은 약분입니다. 24/36을 기약분수로 만들려면 두 부분을 최대공약수로 나눕니다. 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3으로 한 번에 2/3가 됩니다. 더 작은 공약수로 나눠도 되지만 같은 일을 또 하게 됩니다. 가장 큰 것을 찾는 이유가 바로 여기 있습니다.
풀이 과정에서 볼 것
- 소수 표는 각 소인수와 각 수가 내놓는 지수를 보여 줍니다. 최대공약수에서는 그 줄의 최소를 고르며, 어느 열에서든 빠진 소인수는 아무것도 기여하지 못합니다.
- 유클리드 호제법은 아무것도 분해하지 않습니다. 나누고 나머지를 남기기만 하므로, 분해하기엔 너무 큰 수에서도 빠릅니다.
- 최대공약수가 1이면 그 수들은 서로소입니다. 이는 진짜 답이지, 찾지 못한 것이 아닙니다.
- 최대공약수는 입력한 가장 작은 수를 넘을 수 없고, 그 수가 나머지 모두를 나눌 때는 바로 그 수가 됩니다.
두 수의 최대공약수를 구하는 방법
수를 입력하세요
정수 두 개 이상을 쉼표나 공백으로 구분해 적습니다.
24, 36또는54 24 36처럼요. 한 번에 최대 열 개까지.답을 읽고 방법을 고르세요
최대공약수가 위에 나옵니다. 그 아래에서 같은 답이 공통 소인수로, 그리고 정확히 두 수일 때는 유클리드 호제법으로 도출됩니다.
소수 표를 줄 단위로 확인하세요
각 줄이 소인수입니다. 최대공약수는 그 줄의 가장 작은 지수를 고르고, 대시가 있는 줄은 통째로 빠집니다. 일부 수만 가진 인수는 '공통'이 아니기 때문입니다.
호제법의 흔적을 따라가세요
각 줄이 나누고 나머지를 적으며, 다음 줄은 나눈 수와 그 나머지로 반복합니다. 나머지가 0이 되면 그 앞의 값이 답입니다.
자주 나오는 최대공약수
가장 자주 나오는 짝을, 결과만이 아니라 이유와 함께.
| 수 | 최대공약수 | 이유 |
|---|---|---|
| 24와 36 | 12 | 둘 다 2²과 3을 가짐 |
| 48과 18 | 6 | 둘 다 2와 3을 가짐 |
| 8과 12 | 4 | 둘 다 2²을 가지나 3은 12만 |
| 15와 25 | 5 | 둘 다 5를 하나씩 가짐 |
| 8과 9 | 1 | 공통 소인수 없음 — 서로소 |
| 7과 21 | 7 | 7이 21을 나누므로 작은 수가 최대공약수 |
| 54, 24, 36 | 6 | 2와 3이 셋 모두에 나타남 |
풀어 보는 예
24/36 약분하기
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24, 36최대공약수가 12이므로 두 부분을 그것으로 나눕니다. 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3으로 2/3입니다. 인수 2만 알아챘다면 12/18, 다음 6/9, 다음 2/3으로 같은 자리에 세 단계 늦게 도착했을 것입니다. 최대공약수를 찾는 것이 이것을 한 단계로 만듭니다.
서로소인 수: 8과 9
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8, 98 = 2³이고 9 = 3²입니다. 공통 소인수가 없어 최대공약수에 넣을 것이 없고 답은 1입니다. 이런 수를 서로소라고 합니다. 분수 8/9가 이미 기약분수여서 더 약분할 수 없다는 뜻도 됩니다.
48과 18에서의 유클리드 호제법
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48, 1848 = 2 × 18 + 12. 이제 18과 12로 반복합니다. 18 = 1 × 12 + 6. 12와 6으로 반복합니다. 12 = 2 × 6 + 0. 나머지가 0이므로 그 앞의 나머지 6이 최대공약수입니다. 한 번도 분해하지 않은 점에 주목하세요. 그래서 이 방법은 수백 자리 수에서도 통합니다.
흔한 실수
- 최대공약수와 최소공배수를 혼동하기. 최대공약수는 가장 작은 수보다 크지 않고, 최소공배수는 가장 큰 수보다 작지 않습니다. 답이 반대쪽이면 다른 문제를 푼 것입니다.
- 소수 표에서 가장 큰 지수를 고르기. 그것은 최소공배수의 규칙입니다. 최대공약수에서는 가장 작은 것을 고릅니다.
- 일부 수만 가진 소인수를 포함하기. 3이 입력한 모든 수를 나누지 않으면 3의 어떤 거듭제곱도 최대공약수에 들지 않습니다.
- 처음 눈에 띈 공약수에서 멈추기. 2는 24와 36을 나누지만 12도 나눕니다. 분수를 한 번에 약분하는 것은 가장 큰 것뿐입니다.
- 최대공약수 1을 실패로 받아들이기. 서로소라는 뜻이고 이는 완전한 답입니다.
- 호제법에서 잘못된 줄을 읽기. 답은 0이 아닌 마지막 나머지이며, 마지막 0도 마지막 몫도 아닙니다.
최대공약수 자주 묻는 질문
최대공약수란 무엇인가요?
두 개 이상의 수를 나머지 없이 나누는 가장 큰 정수입니다. 24와 36이면 12입니다. 영어로는 greatest common divisor(GCD), highest common factor(HCF)라고도 하며 모두 같은 뜻입니다.
최대공약수, GCD, HCF는 같은 것인가요?
완전히 같습니다. GCF와 GCD는 미국에서, HCF는 영국과 영연방 상당 지역에서 흔한 말입니다. 교과서가 어느 말을 쓰든 이 계산기는 같은 질문에 답합니다.
소인수분해로 최대공약수를 구하는 방법은?
각 수를 소인수로 분해한 뒤, 모든 수에 나타나는 각 소인수에서 본 것 중 가장 작은 거듭제곱을 골라 곱합니다. 24 = 2³ · 3과 36 = 2² · 3²이면 2²과 3을 골라 12입니다.
유클리드 호제법은 무엇이고 왜 쓰나요?
큰 수를 작은 수로 나누고 나머지를 남깁니다. 나눈 수와 그 나머지로 나머지가 0이 될 때까지 반복하면, 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다. 알아 둘 값이 있는 이유는 아무것도 분해하지 않아서, 분해하기엔 너무 큰 수에서도 빠르기 때문입니다.
최대공약수가 1이면 무슨 뜻인가요?
1 말고는 공통 인수가 없다는 뜻, 곧 서로소라는 뜻입니다. 그 수들로 만든 분수는 이미 기약분수입니다.
최대공약수가 입력한 수 중 하나일 수 있나요?
있습니다. 한 수가 나머지 모두를 나눌 때입니다. 7과 21의 최대공약수는 7입니다. 7이 21을 나누고, 7보다 큰 어떤 수도 7을 나눌 수 없기 때문입니다.
최대공약수로 분수를 약분하는 방법은?
분자와 분모를 그 최대공약수로 나눕니다. 24/36이면 최대공약수가 12이므로 2/3이 됩니다. 최대공약수를 썼으므로 결과는 반드시 기약분수입니다.
