곱셈표

종이에 인쇄된 곱셈표가 답할 수 있는 질문은 하나입니다. 7 곱하기 8은 얼마인가. 그건 휴대전화가 더 빨리 답합니다. 표가 할 수 있고 계산기가 못 하는 일은 답이 어디에 사는지 보여 주는 것입니다. 그것이 보이는 순간, 표는 외워야 할 아흔몇 개의 사실이 아니라 몇 군데 까다로운 모서리가 있는 하나의 형태가 됩니다.

아래 아무 칸이나 가리켜 보세요.

모든 답은 직사각형입니다

7과 8 위에 커서를 올리고 무엇이 켜지는지 보세요. 그 칸을 지나는 십자만이 아닙니다. 왼쪽 위 모서리에서 그 칸까지의 덩어리 전체, 즉 여덟 칸씩 일곱 줄이 켜집니다. 답이란 그 덩어리에 든 칸의 개수입니다.

곱셈이란 바로 그것입니다. 7*8은 기호 7과 8에 관한 사실이 아니라, 7×8로 놓았을 때 물건이 몇 개인가입니다. 표는 그런 배열 전부를 한 번에 찍은 그림이고, 두 변의 길이로 정리되어 있습니다.

여기서 곧바로 두 가지 쓸모 있는 사실이 나옵니다.

표가 대칭이니 외울 양은 절반입니다

7×8 직사각형을 4분의 1 바퀴 돌리면 8×7 직사각형입니다. 같은 칸, 같은 개수. 그러니 7행 8열의 답은 8행 7열의 답과 같아야 하고, 실제로 어디서나 그렇습니다.

왼쪽 위에서 대각선을 손가락으로 따라가 보세요. 1, 4, 9, 16, 25… 그 대각선 아래의 모든 것은 위에 있는 것의 거울상입니다. 7*8과 8*7을 두 개의 사실로 외우는 일은 결코 없습니다. 하나를 배우고 두 가지 방향으로 읽을 뿐입니다.

어려운 것은 여섯 개. 나머지는 공짜입니다.

비용이 들지 않는 줄을 지웁니다.

이제 대각선 아래를 모두 지웁니다. 위에 있는 것의 거울이니까요. 남는 것은 이것뿐입니다. 6*6, 6*7, 6*8, 7*8, 8*8, 12*12.

여섯 개. 구구단에서 어려운 부분은 이게 전부인데, 사람들은 나머지 아흔 개를 몇 년씩 외웁니다.

표를 보는 것은 표를 익히는 것이 아닙니다

이 대목은 진지하게 받아들일 만합니다. 다 채워진 표를 들여다보는 것은 공부처럼 느껴지지만 거의 소용이 없습니다. 답을 알아보는 일은 답을 만들어 내는 일보다 훨씬 쉬운 과제이기 때문입니다. 56을 7과 8의 것이라고 알아보는 일은, 아무것도 없는 상태에서 말할 수 있게 되는 것보다 훨씬 먼저 찾아옵니다.

그러니 위의 표를 퀴즈 모드로 바꾸세요. 칸이 비고, 당신이 칸을 고르고, 아무것도 드러나기 전에 답해야 합니다. 틀린 곱이 곧 진짜 연습할 가치가 있는 짧은 목록입니다. 그리고 그 목록은 짧을 것입니다. 아마 위의 여섯 개겠지요.

하나 풀어 보기

12*12

이건 거의 모두의 어려운 목록에 들어 있습니다. 그래서 12*2가 아니라 이것이 여기 있는 것입니다.

표로는 부족해지는 지점

이 격자는 곱의 조견표이고, 곱은 두 수로 하는 일의 절반일 뿐입니다. 어떤 수를 나누는 수가 무엇이냐고 묻는 순간 — 이를테면 곱해서 24가 되는 짝은 무엇인가 — 당신은 표를 거꾸로 읽고 있습니다. 그것은 이름이 따로 있는 다른 기술, 곧 약수입니다.

떠나기 전에 대각선을 한 번 더 보세요. 그 수들 — 1, 4, 9, 16, 25, 36 — 은 직사각형이 마침 정사각형이 될 때 나오는 수이고, 이후 대수에서 끊임없이 나타납니다.