단위원

이 표는 16개 특수각 모두에서 사인과 코사인 값을 도와 라디안으로 보여 줍니다. tan도 표시하거나, 인쇄해서 채워 넣을 수 있는 빈 원으로 바꿀 수 있습니다.

단위원 표

단위원 값 한눈에 보기

표의 모든 값을 표 하나에 모았습니다. tan은 sin을 cos로 나눈 값이므로 cos가 0인 곳에서는 값이 없습니다.

점이 (cos, sin)인 이유

점을 원을 따라 끌면서 점선으로 된 두 변을 보세요.

원의 반지름은 1이고, 비밀은 그것뿐입니다. 중심에서 어떤 각으로 원까지 선을 긋고, 그 점에서 x축으로 수직선을 내립니다. 그러면 빗변이 반지름인 직각삼각형이 생기므로 빗변은 1입니다.

이 삼각형에서 코사인은 밑변을 빗변으로 나눈 값입니다. 밑변은 가로 변이고 빗변은 1이므로, 코사인은 가로 변 그 자체입니다. 같은 논리로 사인은 세로 변입니다. 그래서 점은 (cos(x), sin(x))입니다. 가로 거리가 먼저, 세로가 나중, x가 y보다 먼저입니다.

외워야 할 수는 세 개뿐

제1사분면에 원이 쓰는 값이 모두 있습니다.

서로 다른 값은 세 개입니다. 1/2, √2/2, √3/2입니다. 30°와 60°는 같은 쌍을 서로 바꾼 것입니다. 두 각을 더하면 90°이므로, 두 삼각형은 같은 삼각형을 반대쪽 끝에서 본 것입니다.

사분면별 부호

제1사분면 밖의 모든 각은 이 세 수 중 하나에 부호를 붙여 씁니다. 부호를 찾으려면 기준각, 즉 선과 x축 사이의 각을 구합니다. 150°는 180°보다 30° 작으므로 기준각은 30°이고, 값은 30°의 값에 새 부호를 붙인 것입니다.

부호는 점의 위치에서 나옵니다. 코사인은 가로 거리이므로 원의 왼쪽 절반에서 음수입니다. 사인은 세로 거리이므로 아래쪽 절반에서 음수입니다. 표에는 사분면마다 (cos, sin)의 부호가 표시되어 있습니다.

따라서 150°는 (−√3/2, 1/2)이고, 기준각이 역시 30°인 210°는 (−√3/2, −1/2)입니다.

라디안으로 보는 단위원

한 바퀴는 360°이고, 2π 라디안이기도 합니다. 반지름이 1인 원의 둘레가 2π이기 때문입니다. 1라디안은 길이가 반지름 하나인 호에 대한 각입니다. 반 바퀴는 180°, 즉 π입니다.

여기서 특수각은 반 바퀴의 분수가 됩니다. 30°는 180°의 6분의 1이므로 π/6, 45°는 4분의 1인 π/4, 60°는 3분의 1인 π/3입니다. 분모는 그 각이 반 바퀴에 몇 개 들어가는지 알려 주고, 분자는 그 개수를 셉니다. 150°는 반 바퀴의 6분의 5이므로 5π/6입니다.

단위원과 탄젠트 (tan)

tan은 비 sin(x)/cos(x)이고, 중심에서 점까지 그은 선의 기울기입니다. 45°에서는 sin과 cos가 같으므로 tan은 정확히 1입니다. 30°에서는 √3/3, 60°에서는 √3입니다.

90°에서는 점이 바로 위 (0, 1)에 있으므로 cos는 0이고 tan은 정의되지 않습니다. 1을 0으로 나눈 수는 없고, 수직선에는 기울기가 없습니다. 270°에서도 마찬가지입니다. 그 밖의 곳에서 tan은 부호 규칙을 따릅니다. sin과 cos의 부호가 같은 곳(제1사분면과 제3사분면)에서는 양수, 다른 곳에서는 음수입니다. 표의 tan 버전에 모든 값이 나와 있습니다.

단위원 퀴즈와 연습

위의 끌 수 있는 원을 문제 내 주세요로 바꾸면 값이 숨겨집니다. 답을 말한 뒤 확인하세요. 아니면 이 문제를 외워서 답해 보세요.

cos(60°)

종이로 연습하려면 빈 표를 인쇄해서 16개 점을 모두 채워 보세요. 보지 않고 2분 안에 해낸다면 단위원을 아는 것입니다.