단위원

삼각비에서 사람들이 어렵다고 느끼는 것은 거의 다 사실 기억의 문제입니다. 값이 너무 많고, 부호가 너무 많고, 방금 적은 답이 그럴듯한지 확인할 방법이 없습니다. 단위원이 그것을 해결합니다. 필요한 값을 모두 담은 한 장의 그림이고, 부호를 틀리면 보기만 해도 틀렸다는 것이 드러납니다.

아래 점을 끌어 보세요. 한 바퀴 도는 동안 점선으로 된 두 변을 지켜보세요.

왜 점이 (cos, sin)인가

원의 반지름이 1이고, 여기에 모든 요령이 들어 있습니다.

중심에서 어떤 각으로 원까지 직선을 긋고, 그 점에서 x축으로 수직선을 내려 보세요. 이제 빗변이 반지름인 직각삼각형이 생겼습니다. 즉 빗변은 1입니다.

이 삼각형에서 코사인은 밑변 ÷ 빗변입니다. 밑변은 가로 변이고 빗변은 1이므로, 코사인은 가로 변 그 자체입니다. 1로 나누는 것은 아무것도 바꾸지 않습니다. 같은 논리로 사인은 세로 변이 됩니다.

그래서 점의 좌표는 정확히 (cos(x), sin(x))입니다. 가로 거리가 먼저, 세로 거리가 다음입니다. 그림에서 초록 변에 코사인, 빨간 변에 사인이라고 붙어 있는 이유가 이것이고, 순서가 코사인부터인 이유도 이것입니다. x가 y보다 앞, 가로가 세로보다 앞입니다.

탄젠트는 세 번째이고 그림 위의 길이가 아닙니다. 비 sin(x)/cos(x), 즉 방금 그은 직선의 기울기입니다.

정말 필요한 세 숫자

그림을 30도, 45도, 60도로 차례로 맞추고 값을 보세요.

서로 다른 값은 세 개 — 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2 — 그리고 30°와 60°가 같은 쌍을 서로 바꾼 것임을 눈여겨 보세요. 우연이 아닙니다. 두 각을 더하면 90°이므로, 두 삼각형은 같은 삼각형을 반대쪽 끝에서 본 것입니다.

다른 세 사분면에 있는 것은 모두 그 세 숫자 중 하나에 부호가 붙은 것입니다. 어느 부호인지는 지금 있는 자리가 정하고, 그림에서 바로 읽을 수 있습니다. 코사인은 가로 거리이므로 원의 왼쪽 절반에서 음수입니다. 사인은 세로 거리이므로 아래쪽 절반에서 음수입니다. 외울 것은 없습니다. 변이 어느 쪽을 향하는지만 보면 됩니다.

도와 라디안은 같은 각

그림을 라디안으로 바꾸고 다시 돌려 보세요. 그림에서 바뀌는 것은 없습니다. 이름만 바뀝니다.

한 바퀴는 360°이고 동시에 2pi 라디안입니다. 반지름이 1인 원의 둘레가 2pi이기 때문이고, "1 라디안"은 "반지름 하나 길이의 호"라는 뜻입니다. 반 바퀴는 180° 또는 pi입니다. 여기 서부터 특수각은 반 바퀴의 분명한 분수가 됩니다. 30°는 180°의 6분의 1이니 pi/6, 45°는 4분의 1이니 pi/4, 60°는 3분의 1이니 pi/3입니다.

라디안은 더 어려워 보이지만 실은 더 쉽습니다. 분모가 그 각이 반 바퀴에 몇 번 들어가는지를 알려 주기 때문입니다.

탄젠트가 깨지는 곳

90°까지 끌면 탄젠트 표시가 정의되지 않음으로 바뀝니다. 도구의 한계가 아니라 계산입니다. 90°에서 점은 바로 위 (0, 1)에 있으므로 cos(x)는 0이고, 탄젠트는 sin(x)/cos(x)입니다. 1을 0으로 나눈 수는 존재하지 않습니다.

270°에서도 같은 일이 일어납니다. 그 밖의 모든 곳에서 탄젠트는 아주 평범한 수이고, 45°에서는 정확히 1입니다. 당연합니다. 그곳에서 사인과 코사인이 같고, 무엇이든 자기 자신으로 나누면 1이니까요.

하나 풀어 보기

그림을 잠시 치워 두고 기억으로 답해 보세요. 틀려도 원은 바로 위에 있습니다.

cos(60°)

봐야 했다면 그것도 알 만한 정보입니다. 그림이 아직 자동으로 떠오르는 단계가 아니라는 뜻이고, 이런 문제를 열두 개쯤 풀어 보는 것이 바로 그것을 바꿉니다.