반지름 3에서
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r = 3C = 2π · 3 = 6π 정확히, 약 18.8496. 면적은 π · 3² = 9π, 약 28.27. 면적에서는 반지름이 제곱되고 원주에서는 아니라는 점에 주목하세요 - 이 하나의 차이가 이 주제에서 잘못되는 일의 대부분입니다.
원주 계산기
원의 값 하나로 나머지 전부를, π는 π로 남겨서.
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단 하나의 수가 원을 완전히 정한다
원의 자유도는 하나뿐이라서, 어느 값 하나가 나머지 전부를 정합니다. 반지름 r에서: 지름은 2r, 원주는 2πr, 면적은 πr². 이 세 공식이 주제 전부이고 분명히 해야 할 것은 하나뿐입니다 - 원주는 반지름을 한 번 쓰고 면적은 두 번 쓴다는 것(제곱이며 두 배가 아닙니다).
π는 원을 원이게 하는 것입니다: 어떤 원주와 그 원 자신의 지름의 비이며, 지금까지 그려진 모든 원에서 같은 수입니다. 무리수여서 정확한 소수 표현이 없고 - 그래서 이 페이지는 그것을 문자 π로 지닙니다. 원주 6π는 정확한 답이고 18.85는 반올림이며, 문제가 둘 중 하나를 요구할 때 둘은 서로 대체되지 않습니다.
이 정확함은 거꾸로도 작동합니다. 원주를 10으로 주면 반지름은 5/π - 여전히 정확하고 여전히 실수 - 이고 면적은 25/π로 나옵니다. 경쟁 계산기는 모두 첫 단계에서 3.14159를 곱해 버리므로 학교 문제가 원하는 답을 결코 돌려줄 수 없습니다.
눈여겨볼 점
- C = 2πr과 C = πd는 같은 공식입니다. d = 2r이니까요. 먼저 변환하지 말고 주어진 값을 쓰세요.
- 면적은 반지름을 제곱하고 원주는 그렇지 않습니다. 반지름을 두 배로 하면 원주는 두 배, 면적은 네 배가 됩니다.
- π는 길이가 아니라 비입니다: 원주 나누기 지름이고 어떤 원에서나 같습니다. 주제 전체가 이 사실 위에 놓입니다.
- 6π는 정확하고 18.85는 아닙니다. 문제가 소수를 요구하거나 쓸 π 값을 주지 않는다면 π를 남겨 두세요.
- 원주에서 거꾸로 가면 2π로 나누게 되고 π가 분모에 남습니다. 5/π는 보통 수이고 약 1.59입니다.
- 단위는 값을 따라갑니다: 반지름이 센티미터면 원주도 센티미터, 면적은 제곱센티미터입니다.
원주를 구하는 방법
무엇이 주어졌는지 확인하기
반지름, 지름, 원주 중 하나. 서술형 문제에서 헷갈리기 쉽고, 공식이 반지름을 원하는 자리에 지름을 넣으면 답이 두 배가 됩니다.
지름이면 반으로 나누기
r = d/2. 이걸 먼저 하면 공식 두 개를 기억하는 대신 하나만 필요합니다.
2π를 곱하기
C = 2πr. π는 당장은 문자로 두세요 - 2π · 3은 6π이고, 그것으로 완성된 정확한 답입니다.
소수는 그다음에
문제가 수를 원하면 맨 마지막에 3.14159…를 곱하세요. 일찍 반올림하면 문제의 나머지가 필요한 정밀도를 잃습니다.
거꾸로 가려면 나누기
원주에서 r = C/(2π). π는 분모에 남고 그것이 정확합니다. 여기서 3.14로 나누는 것이 보통 정밀도를 버리는 지점입니다.
수로 보는 원
흔한 반지름에 대한 같은 네 값. 정확한 열이 답이고 소수는 그 반올림입니다.
| 반지름 | 지름 | 원주 | 면적 | 원주(소수) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2π | π | 6.2832 |
| 2 | 4 | 4π | 4π | 12.5664 |
| 3 | 6 | 6π | 9π | 18.8496 |
| 5 | 10 | 10π | 25π | 31.4159 |
| 7 | 14 | 14π | 49π | 43.9823 |
| 10 | 20 | 20π | 100π | 62.8319 |
| 1/2 | 1 | π | π/4 | 3.1416 |
| 2.5 | 5 | 5π | 6.25π | 15.708 |
풀이 예시
지름 10에서
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d = 10먼저 반으로: r = 5. 그러면 C = 2π · 5 = 10π, A = π · 5² = 25π. 지름을 C = 2πr에 바로 넣었다면 20π - 정확히 두 배이고, 여기서 가장 흔한 실수입니다.
원주 10에서 거꾸로
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C = 10r = 10/(2π) = 5/π로 정확하고 약 1.5915. 면적은 π · (5/π)² = 25/π, 약 7.96. 이것을 정확하게 만드는 것은 π를 분모에 두는 일입니다. 10을 먼저 6.28로 나눴다면 면적을 시작하기도 전에 반올림한 셈입니다.
분수 반지름: 1/2
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r = 1/2C = 2π · 1/2 = π 정확히 - 반지름이 1/2인 원의 원주는 정확히 π입니다. 면적은 π/4. 분수는 분수로 남으므로 도중에 잃는 것이 없습니다.
6π가 18.85가 아닌 이유
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r = 36π는 하나의 정확한 수입니다. 18.8496은 소수 넷째 자리까지 일치하고 그다음부터 영원히 달라지는 소수입니다. π가 무리수이기 때문입니다. 문제가 「π를 써서 답하라」고 하면 답은 6π이고 18.85는 오답 처리됩니다.
자주 하는 실수
- 지름을 C = 2πr에 넣기. 답이 두 배가 됩니다. 먼저 반지름으로 바꾸거나 C = πd를 쓰세요.
- 원주를 위해 반지름을 제곱하기. C = 2πr은 r을 한 번 쓰고, 제곱하는 것은 면적뿐입니다.
- 처음에 π를 반올림하기. 소수가 필요하면 맨 마지막에 곱해서 중간 단계를 정확하게 유지하세요.
- 22/7을 π처럼 쓰기. 약 천분의 일 어긋난 거친 근삿값입니다 - 암산에는 좋고 정확한 답에는 틀립니다.
- 면적의 단위가 제곱임을 잊기. 반지름이 미터면 원주는 미터, 면적은 제곱미터입니다.
- 원주를 다른 도형의 둘레와 혼동하기. 여기서 원주는 특히 원을 한 바퀴 도는 길이이고, 직선 변을 가진 도형에는 둘레가 있습니다.
원주 자주 묻는 질문
원주 공식은 무엇인가요?
반지름에서 C = 2πr, 또는 같은 뜻인 지름에서 C = πd입니다. 지름은 반지름 두 개니까요. 반지름 3이면 6π, 약 18.85. 실제로 주어진 값을 쓰세요.
원주에서 반지름을 어떻게 구하나요?
2π로 나눕니다: r = C/(2π). 원주 10이면 r = 5/π, 약 1.59. π를 분모에 두면 답이 정확해집니다 - 먼저 3.14로 나누면 끝나기 전에 반올림합니다.
원주와 면적의 차이는 무엇인가요?
원주는 테두리를 따라간 길이이고 반지름을 한 번 씁니다: 2πr. 면적은 안쪽 공간이고 두 번 씁니다: πr². 그래서 반지름을 두 배로 하면 원주는 두 배, 면적은 네 배가 됩니다.
「π를 써서」란 무슨 뜻인가요?
π를 곱해 없애지 말고 기호로 남기라는 뜻입니다: 18.85가 아니라 6π. 그것이 정확한 답이고, 시험 문제가 대개 그것을 요구하는 것은 계산기 없이 검산할 수 있기 때문이며 18.85는 근삿값에 불과하기 때문입니다.
22/7은 π와 같나요?
아니요. 22/7은 3.142857…, π는 3.141592…이므로 소수 셋째 자리부터 달라집니다. 암산에 편한 근삿값이며 정확함이 중요할 때는 틀린 답입니다. π는 무리수여서 정확한 분수값이 아예 없습니다.
π는 왜 모든 원에서 같나요?
모든 원은 같은 모양을 확대·축소한 것이고, 확대·축소는 원주와 지름을 같은 배수로 곱하므로 그 비는 결코 바뀌지 않습니다. 그 일정한 비가 바로 π이고, 그래서 모든 원 공식에 나타납니다.
원주에서 지름을 어떻게 구하나요?
π로 나눕니다: d = C/π. C = πd가 바로 성립하므로 두 단계가 아니라 한 단계입니다. 원주 10이면 지름은 10/π, 약 3.18이고 그 절반이 반지름입니다.
이 계산기는 면적을 입력으로 받나요?
받지 않습니다, 의도적으로요. 면적에서 r = √(A/π)인데 이는 분수도 아니고 분수 곱 π의 거듭제곱도 아닙니다 - 받아들이면 반올림된 답이거나 가짜 정확함이 됩니다. 면적은 언제나 보고되며, 다만 입력이 아닙니다.
