제곱수란 무엇인가요?

어떤 정수를 자기 자신과 곱해서 얻는 정수입니다. 3 곱하기 3이 9이므로 9는 제곱수이지만, 자기 자신과 곱해 10이 되는 정수는 없으므로 10은 제곱수가 아닙니다. 이름은 말 그대로입니다. 정확히 그만큼의 단위 정사각형을 정사각형 모양으로 늘어놓을 수 있습니다.

1부터 100까지의 제곱수는 무엇인가요?

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 — 1부터 10까지의 제곱입니다. 100을 넘으면 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400이 이어져 20의 제곱까지 가고, 학교에서 묻는 것은 거의 다 여기에 들어갑니다.

어떤 수가 제곱수인지 어떻게 아나요?

빠른 거름망 두 개, 그다음 확인 하나입니다. 제곱수는 결코 2, 3, 7, 8로 끝나지 않으니 그런 수는 즉시 걸러집니다. 통과하면 아는 가장 가까운 제곱수를 찾습니다. 200은 196과 225 사이라 제곱수가 아닙니다. 둘 다 통과했을 때만 제곱근을 구하면 됩니다.

이웃한 제곱수의 차는 왜 홀수인가요?

한 변이 n인 정사각형을 n+1로 키우려면 옆에 한 줄, 위에 한 줄, 그리고 모서리에 한 칸을 더해야 하기 때문입니다. n + n + 1이므로 언제나 홀수입니다. 그래서 차는 3, 5, 7, 9로 이어지고, 홀수를 차례로 더하면 제곱수가 차례로 나옵니다.

0도 제곱수인가요?

그렇습니다. 0 곱하기 0은 0이므로 정의에 정확히 들어맞습니다. 변의 길이가 없는 정사각형은 그리기 어려워 1부터 시작하는 교재도 있지만, 정의에서 0을 뺄 이유는 없고, 0을 제곱수로 두는 편이 이후의 대수를 깔끔하게 만듭니다.

제곱수

제곱수는 어딘가에서 찾아봐야 하는 특별한 성질을 가진 수가 아닙니다. 진짜 정사각형으로 늘어놓을 수 있는 개수이고, 나머지는 전부 거기서 나옵니다.

작성: Nethanel Bar, Co-founder & CEO

마지막 업데이트 2026년 8월 25일

'제곱수'라는 말은 누군가 수의 목록에 붙여 놓은 딱지처럼 들립니다. 이제 그 목록을 외워야 한다는 것처럼요. 그렇지 않습니다. 이 이름은 모양에 대한 설명이고, 모양이 보이는 순간 목록은 더 이상 외울 대상이 아닙니다.

슬라이더를 움직여 보세요. 매번 무엇이 더해지는지 보세요.

한 변 n6

6^2 = 36방금 더해진 띠11그래서 제곱근은sqrt(36) = 6

슬라이더를 한 칸 움직여 보세요. 음영이 진 L자가 새로 더해진 부분입니다. 세어 보면 이웃한 두 제곱수의 차가 나옵니다.

이름은 말 그대로입니다

6^2 = 36은 "6이 제곱이라는 연산을 거쳤다"는 뜻이 아닙니다. 단위 정사각형 36개를 가져오면 한 변이 6인 정사각형으로 늘어놓을 수 있다는 뜻입니다. 35개로는 할 수 없습니다. 늘 구멍이 남거나 삐져나옵니다. 이것이 정의의 전부이고, 그래서 이 말이 추상적인 무언가가 아니라 '제곱(정사각형)'인 것입니다.

같은 그림을 거꾸로 읽으면 제곱근이 됩니다. sqrt(36) = 6은 "정사각형 36칸이 정사각형을 이룬다면 한 변은 얼마인가"라는 물음입니다. 어떤 수가 정수인 제곱근을 갖는 것은 정확히 그 수가 제곱수일 때이고, 두 개념을 늘 함께 가르치는 이유가 여기 있습니다.

알아 둘 만한 목록

n	n²	n	n²
1	1	11	121
2	4	12	144
3	9	13	169
4	16	14	196
5	25	15	225
6	36	16	256
7	49	17	289
8	64	18	324
9	81	19	361
10	100	20	400

스무 줄이면 학교 문제는 사실상 다 덮습니다. 문제는 확인할 수 있는 답에서 거꾸로 만들어지기 때문입니다.

제곱수는 y = x의 제곱 곡선 위의 정수 점입니다. 그 사이에 있는 것은 모두 제곱수가 아닌 수입니다.

차는 홀수입니다

슬라이더의 진짜 목적이 여기 있습니다. 5에서 6으로 밀고 나타난 음영 L자를 세어 보세요. 새 변에 다섯 칸, 위에 다섯 칸, 모서리에 한 칸. 열한 칸입니다.

일반적으로 n^2에서 (n+1)^2로 갈 때 2n+1칸이 더해집니다. 언제나 홀수입니다. 그래서 이웃한 제곱수의 차는 3, 5, 7, 9, 11, 13으로 이어지고, 홀수를 차례로 더하면 제곱수가 차례로 나옵니다.

1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

이것은 표를 암산으로 늘리는 빠른 방법이기도 합니다. 14^2 = 196을 알고 15^2이 필요하면 2*14 + 1 = 29를 더해 225입니다.

계산기 없이 알아보기

거름망 두 개면 거의 끝납니다.

끝자리를 보세요. 어떤 수든 제곱하면 끝이 0, 1, 4, 5, 6, 9 중 하나이고 2, 3, 7, 8로는 결코 끝나지 않습니다. 그러니 4,398은 제곱수가 아니고, 계산은 하나도 하지 않았습니다. 우연이 아닙니다. 곱의 끝자리는 곱한 수들의 끝자리에만 달려 있고, 0부터 9까지 제곱하면 저 여섯 가지 끝자리만 나옵니다.

그다음 사이에 끼워 보세요. 200은 14^2 = 196과 15^2 = 225 사이에 있으므로, 그것의 제곱근이 될 정수가 남아 있지 않습니다. 이웃한 두 제곱수 사이에 엄격히 들어가는 수는 제곱수가 아닙니다.

왜 계속 나타나는가

제곱수는 어떤 이차식은 깔끔하게 인수분해되고 어떤 것은 안 되는 이유입니다. x^2 - 49는 49가 제곱수라서 제곱의 차로 갈라지지만 x^2 - 50은 그렇지 않습니다. 근호가 간단해지는 것도 제곱수 덕분 입니다. sqrt(75)가 5sqrt(3)이 되는 것은 75 안에 제곱수 25가 숨어 있기 때문입니다.

하나 풀어 보기

그리고 반대 방향의 문제 하나 — 조회가 아니라 방정식입니다. 답이 둘이라는 점에 주의하세요. 제곱근에서 가장 많이 틀리는 지점입니다.

7도 -7도 제곱하면 49이므로 둘 다 해입니다. sqrt(49) 기호는 양수 쪽만 가리키는데, 이는 기호에 관한 약속이지 방정식에 관한 사실이 아닙니다.

자주 묻는 질문

제곱수란 무엇인가요?: 어떤 정수를 자기 자신과 곱해서 얻는 정수입니다. 3 곱하기 3이 9이므로 9는 제곱수이지만, 자기 자신과 곱해 10이 되는 정수는 없으므로 10은 제곱수가 아닙니다. 이름은 말 그대로입니다. 정확히 그만큼의 단위 정사각형을 정사각형 모양으로 늘어놓을 수 있습니다.
1부터 100까지의 제곱수는 무엇인가요?: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 — 1부터 10까지의 제곱입니다. 100을 넘으면 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400이 이어져 20의 제곱까지 가고, 학교에서 묻는 것은 거의 다 여기에 들어갑니다.
어떤 수가 제곱수인지 어떻게 아나요?: 빠른 거름망 두 개, 그다음 확인 하나입니다. 제곱수는 결코 2, 3, 7, 8로 끝나지 않으니 그런 수는 즉시 걸러집니다. 통과하면 아는 가장 가까운 제곱수를 찾습니다. 200은 196과 225 사이라 제곱수가 아닙니다. 둘 다 통과했을 때만 제곱근을 구하면 됩니다.
이웃한 제곱수의 차는 왜 홀수인가요?: 한 변이 n인 정사각형을 n+1로 키우려면 옆에 한 줄, 위에 한 줄, 그리고 모서리에 한 칸을 더해야 하기 때문입니다. n + n + 1이므로 언제나 홀수입니다. 그래서 차는 3, 5, 7, 9로 이어지고, 홀수를 차례로 더하면 제곱수가 차례로 나옵니다.
0도 제곱수인가요?: 그렇습니다. 0 곱하기 0은 0이므로 정의에 정확히 들어맞습니다. 변의 길이가 없는 정사각형은 그리기 어려워 1부터 시작하는 교재도 있지만, 정의에서 0을 뺄 이유는 없고, 0을 제곱수로 두는 편이 이후의 대수를 깔끔하게 만듭니다.