음의 기울기: (3, 8)과 (5, 2)
세로 변화는 2 - 8 = -6, 가로 변화는 5 - 3 = 2이므로 기울기는 -6/2 = -3입니다. 오른쪽으로 한 칸 갈 때마다 세 칸 내려갑니다. 순서를 보세요. 차를 반대로 잡으면 6과 -2가 되어 같은 기울기입니다. 하면 안 되는 것은 y를 한 방향, x를 다른 방향으로 잡는 것입니다.
기울기 계산기
두 점을 끌면 기울기와 직선, 모든 형태가 함께 바뀝니다.
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기울기는 세로 변화 ÷ 가로 변화이고, 그 과정을 눈으로 볼 수 있습니다
직선의 기울기는 오른쪽으로 한 걸음 갈 때마다 얼마나 올라가는지입니다. 직선 위 임의의 두 점에서 y의 변화량을 x의 변화량으로 나눈 값입니다. 기울기에 대한 모든 규칙이 이 한 문장에서 나옵니다. 양의 기울기는 올라가고, 음의 기울기는 내려가고, 수평선의 기울기는 0이며, 수직선은 기울기가 아예 없습니다. 가로 변화가 0이고 0으로는 나눌 수 없기 때문입니다.
말하기는 쉽지만 공식만으로 느끼기는 어렵습니다. 그래서 이 페이지는 그것을 그립니다. 가로로 간 만큼, 세로로 올라간 만큼 - 두 점 사이의 계단입니다. 하나를 끌어 보고 어떤 숫자가 바뀌는지 보세요. 세로 변화를 두 배로 하면 기울기도 두 배, 가로 변화를 두 배로 하면 기울기는 절반, 점을 직선 위에서 움직이면 둘 다 그대로입니다. 마지막 사실이 바로 기울기를 정의할 가치가 있게 만듭니다.
두 점이 정하는 나머지 모든 것도 정확하게 나옵니다. 숙제가 요구할 수 있는 세 가지 형태의 직선 방정식, 두 점 사이의 거리를 정확한 근호로, 중점, 두 절편, 그리고 수직인 직선의 기울기까지. 중간에 반올림은 없습니다. (0,0)과 (2,3) 사이의 거리는 3.6056이 아니라 √13입니다.
끌면서 볼 것
- 같은 직선 위에 있다면 어떤 두 점을 골라도 기울기는 같습니다. 점을 직선 위에서 끌어 보면 기울기가 그대로인데, 이것이 기울기를 점이 아니라 직선의 성질로 만듭니다.
- 부호는 방향입니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 올라가면 양, 내려가면 음, 평평한 직선은 정확히 0입니다.
- 수직선에는 기울기가 없습니다. 0이 아니라 «정의되지 않음»입니다. 가로 변화가 0이기 때문입니다. 기울기 0과 정의되지 않는 기울기는 반대이고, 이 둘을 혼동하는 것이 이 단원에서 가장 흔한 실수입니다.
- 가파름은 부호를 뺀 기울기의 크기입니다. 기울기 -4는 기울기 2보다 가파릅니다.
- 수직인 두 직선의 기울기를 곱하면 -1입니다. 기울기가 2가 될 때까지 끌면 수직 기울기가 -1/2로 표시됩니다. 이 관계는 외우기보다 보는 편이 좋습니다.
사용법
두 점을 입력하거나 끌어 보세요
네 칸을 채우거나 평면의 점을 끌면 됩니다. 화살표 키도 한 칸씩 움직이므로 마우스 없이도 쓸 수 있습니다.
기울기를 읽고 다음에 형태를 보세요
기울기는 맨 위에 정확한 분수로, 옆에 소수와 함께 있습니다. 그 아래에 같은 직선의 기울기·절편 형태, 점·기울기 형태, 일반형이 있습니다.
계단을 보세요
두 점 사이의 점선이 가로·세로 변화입니다. 분수가 이상해 보이면 칸을 세어 보세요. 그림과 계산은 일치해야 합니다.
필요하면 추가 값도 가져가세요
거리, 중점, 두 절편, x축과의 각, 수직 기울기가 아래에 계산돼 있습니다. 두 점 문제가 대개 함께 요구하는 것들입니다.
기울기 빠른 참조
이 페이지의 모든 숫자 뒤에 있는 공식과, 각 공식이 쓰이는 경우입니다.
| 항목 | 공식 | 메모 |
|---|---|---|
| 기울기 | m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) | Rise over run, in that order |
| 기울기·절편 형태 | y = mx + b | b is where the line crosses the y-axis |
| 점·기울기 형태 | y - y₁ = m(x - x₁) | Fastest from a point and a slope |
| 일반형 | Ax + By = C | A, B, C whole numbers, A positive |
| 수평선 | m = 0 | y = c |
| 수직선 | m undefined | x = c |
| 평행한 직선 | same m | Never meet |
| 수직인 직선 | m₁ × m₂ = -1 | Negative reciprocal |
| 거리 | √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) | Pythagoras on the staircase |
| 중점 | ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) | The average of each coordinate |
풀이 예시
분수 기울기: (1, 2)와 (4, 6)
세로 4, 가로 3이므로 기울기는 4/3이고 분수로 남습니다. 1.33은 그것의 반올림이며, 기울기를 묻는 문제에서는 분수가 답입니다. 방정식은 y = 4x/3 + 2/3이 되고, 일반형 (4x - 3y = -2)이 더 깔끔한 이유도 이것입니다.
수직선: (2, 5)와 (2, -1)
두 점의 x가 모두 2이므로 가로 변화는 0이고 기울기는 정의되지 않습니다. 0이 아닙니다. 직선은 x = 2이고 y = mx + b 형태로는 아예 쓸 수 없습니다. 공식만으로는 알려 주지 않는 경우이며, 페이지는 이것을 말로 알려 줍니다.
수평선: (-3, 4)와 (5, 4)
세로 변화가 0이므로 기울기는 0/8 = 0입니다. 직선은 y = 4입니다. 위의 수직선과 비교해 보세요. 분자가 0이면 기울기 0, 분모가 0이면 기울기 없음이며, 둘은 완전히 다릅니다.
자주 하는 실수
- 가로 변화를 위에 두는 것. 세로 ÷ 가로입니다. y의 변화량을 x의 변화량으로 나눕니다. 반대가 아닙니다.
- 차를 다른 순서로 빼는 것. 위에서 y₂ - y₁을 했다면 아래도 x₂ - x₁을 하세요. 섞으면 부호가 뒤집힙니다.
- 수직선의 기울기가 0이라고 말하는 것. 기울기가 없습니다. 기울기가 0인 것은 수평선입니다.
- 음수 좌표에서 부호를 놓치는 것. 4 - (-3)은 7이고 1이 아닙니다. 틀린 기울기의 대부분이 여기서 나옵니다.
- 분수를 반올림하는 것. 기울기 4/3은 정확하고 1.33은 아니며, 채점 기준은 그 차이를 봅니다.
- 수직 기울기를 부호 없이 쓰는 것. 2의 음의 역수는 -1/2이고 1/2이 아닙니다.
기울기 자주 묻는 질문
두 점 사이의 기울기는 어떻게 구하나요?
y좌표를 빼서 세로 변화를, x좌표를 같은 순서로 빼서 가로 변화를 구한 뒤 나눕니다: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). 그다음 분수를 약분합니다. 이 페이지의 단계는 당신의 수로 한 그 계산입니다.
«세로 ÷ 가로»가 무슨 뜻인가요?
기울기를 그림으로 설명한 것입니다. 오른쪽으로 정해진 만큼(가로 변화) 갈 때 직선이 얼마나 올라가는지(세로 변화)입니다. 평면의 점선 계단은 당신의 두 점 사이에 그려져 있으니, 분수와 그림은 같은 것입니다.
수직선의 기울기는 얼마인가요?
정의되지 않습니다. 두 점의 x가 같아 가로 변화가 0이고, 0으로는 나눌 수 없습니다. 기울기가 정확히 0인 수평선과는 다릅니다. 수직선의 방정식은 x = c이고 y = mx + b로는 쓸 수 없습니다.
두 점에서 직선의 방정식은 어떻게 얻나요?
먼저 기울기를 구하고, 두 점 중 하나를 y = mx + b에 넣어 b를 구합니다. 이 페이지는 두 단계를 모두 보여 주고, 두 번째를 건너뛰는 점·기울기 형태도 함께 씁니다. 기울기만 알면 y - y₁ = m(x - x₁)이 이미 방정식입니다.
평행과 수직 기울기는 무엇인가요?
평행한 직선의 기울기는 같습니다. 수직인 직선의 기울기는 곱이 -1이며, 하나가 다른 하나의 음의 역수입니다. 2와 -1/2, 또는 -3/4와 4/3. 수직 기울기는 답 아래에 표시됩니다.
거리와 중점도 주나요?
네, 둘 다 정확하게 줍니다. 거리는 같은 세로·가로 변화에 피타고라스를 적용한 것이므로 무리수가 되는 일이 흔합니다. 2√10처럼 정리한 근호로 주고 옆에 소수를 덧붙이며, 소수만 주지는 않습니다.
좌표에 분수나 소수를 입력할 수 있나요?
네. 칸은 정수, 1/2 같은 분수, 0.75 같은 소수를 받고 이후 모든 값이 정확하게 유지됩니다. 0.5는 2분의 1로 읽힙니다. 끌 때는 정수에 붙으므로 칸을 세기 쉽습니다.
