사다리 전체: 731 ÷ 4
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731 ÷ 44 는 7 에 한 번 들어가고 3 이 남습니다. 3 을 내려쓰면 4 는 33 에 8 번 들어가고 1 이 남습니다. 1 을 내려쓰면 4 는 11 에 두 번 들어가고 3 이 남습니다. 이것이 182 나머지 3 입니다. 소수점을 넘겨 진행하면 30 에서 7, 20 에서 5 가 나오므로 정확한 소수는 182.75 입니다.
긴 나눗셈 계산기
나눗셈을 한 단씩 세워 가며, 정확한 소수와 나머지까지.
마지막 업데이트
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나눗셈 세로셈은 네 동작으로 된 하나의 반복입니다
사다리의 모든 단은 똑같은 네 동작입니다. 다음 자리 숫자를 내려쓰고, 나누는 수가 몇 번 들어가는지 묻고, 곱하고, 뺍니다. 빼기 뒤에 남은 것이 다음 단으로 넘어가고, 위에 적는 숫자들이 모여 몫이 됩니다. 그 밖의 일은 결코 일어나지 않습니다. 나눗셈 세로셈은 짧은 알고리즘을 수의 자릿수만큼 되풀이하는 것일 뿐입니다.
특별한 단은 첫 단뿐입니다. 나누는 수가 겨우 들어갈 만큼만 자리를 가져옵니다. 1234 ÷ 56 에서는 1 도 12 도 모자라므로 첫 창은 123 이 되고, 56 은 그 안에 두 번 들어갑니다. 그다음부터는 0 을 포함해 엄격하게 한 단에 한 자리씩입니다. 56 이 0 번 들어갈 때에도 0 을 위에 적어야 하며, 이것을 빠뜨리는 것이 자릿값을 잃는 대표적인 방법입니다.
자리를 다 썼는데도 무언가 남아 있으면, 똑같은 반복이 0 을 내려쓰면서 소수점 너머로 이어집니다. 소수는 실제로 여기서 생겨납니다. 그리고 전에 본 나머지가 다시 나타나면, 두 번의 등장 사이에 있던 숫자들은 영원히 반복될 수밖에 없습니다. 7 ÷ 12 = 0.58333… 가 순환하는 이유가 바로 이것이며, 이는 주장이 아니라 사다리 자신이 잡아낸 사실입니다.
눈여겨볼 점
- 모든 단은 똑같은 네 동작 - 내려쓰기, 나누기, 곱하기, 빼기 - 이며, 빼기에서 남은 것이 바로 다음 단의 출발점입니다.
- 각 단의 나머지는 나누는 수보다 작습니다. 그렇지 않다면 그 위에 세운 몫의 숫자가 너무 작았던 것입니다. 세로셈에 내장된 오류 검사입니다.
- 몫의 0 도 하나의 숫자입니다. 나누는 수가 들어가지 않을 때에도 0 을 적으세요. 빠뜨리면 그 뒤의 모든 숫자가 한 자리씩 밀립니다.
- 소수는 같은 반복의 연장입니다. 자리가 없으면 소수점 뒤로 0 을 내려쓰고 계속하면 됩니다.
- 순환소수는 되풀이된 나머지입니다. 가능한 나머지는 개수가 한정되어 있으므로, 끝나지 않는 나눗셈은 언젠가 이미 본 나머지를 다시 만나게 되고, 그 지점부터 숫자들은 영원히 돌고 돕니다.
나눗셈 세로셈 하는 방법
첫 창을 가져오기
나누어지는 수의 자리를 왼쪽부터 읽어, 그 수가 적어도 나누는 수만큼 커질 때까지 가져옵니다. 731 ÷ 4 는 7 만으로 충분하고, 1234 ÷ 56 은 123 이 필요합니다.
나누고, 곱하고, 빼기
나누는 수가 온전히 몇 번 들어갈까요? 그 숫자를 위에 적고, 곱을 아래에 적은 뒤 뺍니다. 4 는 7 에 한 번 들어가고, 7 - 4 는 3 을 남깁니다.
다음 자리를 내려쓰고 되풀이하기
나누어지는 수의 다음 자리를 남은 값 옆에 붙이고, 그 수에 같은 세 동작을 적용합니다. 3 은 33 이 되고, 4 는 8 번 들어갑니다.
자리가 없으면? 나머지로 끝내거나 소수점을 넘기기
끝에 남은 것이 나머지입니다. 731 ÷ 4 = 182 R 3. 대신 소수로 구하려면 몫에 소수점을 찍고 0 을 계속 내려쓰면 됩니다. 182.75 가 됩니다.
답을 읽는 세 가지 방법
같은 나눗셈을, 문제가 요구할 수 있는 세 가지 형태로 정리했습니다. 각각이 언제 정답이 되는지도 함께 보세요.
| 나눗셈 | 몫과 나머지 | 정확한 소수 | 분수로 |
|---|---|---|---|
| 731 ÷ 4 | 182 R 3 | 182.75 | 731/4 = 182¾ |
| 1234 ÷ 56 | 22 R 2 | 22.03(571428) | 617/28 |
| 7 ÷ 12 | 0 R 7 | 0.58(3) | 7/12 |
| 100 ÷ 8 | 12 R 4 | 12.5 | 25/2 |
| 45 ÷ 9 | 5 R 0 | 5 | 5 |
| 10 ÷ 3 | 3 R 1 | 3.(3) | 10/3 |
| 1 ÷ 7 | 0 R 1 | 0.(142857) | 1/7 |
풀이 예시
두 자리 나누는 수: 1234 ÷ 56
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1234 ÷ 561 도 12 도 56 을 담지 못하므로 첫 창은 123 입니다. 56 은 두 번 들어가고 (112) 11 이 남습니다. 4 를 내려쓰면 56 은 114 에 또 두 번 들어가고 (112) 2 가 남습니다. 그래서 1234 ÷ 56 = 22 R 2. 나누는 수가 커져도 늘어나는 일은 몫의 각 자리를 어림하는 것뿐이고, 반복 자체는 그대로입니다.
순환소수를 현장에서 잡기: 7 ÷ 12
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7 ÷ 127 은 12 보다 작으므로 정수 부분은 0 이고 사다리는 곧바로 소수점을 넘습니다. 70 에서 5 (10 이 남고), 100 에서 8 (4 가 남고), 40 에서 3 이 나옵니다 (다시 4 가 남음). 나머지 4 는 이미 나온 적이 있습니다. 그러니 그다음부터 사다리는 자신을 되풀이할 수밖에 없고, 답은 정확히 0.583333… = 0.58 에서 3 이 순환하는 형태입니다.
문제에 소수가 있을 때: 12.5 ÷ 0.5
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12.5 ÷ 0.5소수점을 없애기 위해 두 수를 모두 10 배 합니다. 125 ÷ 5 입니다. 둘을 함께 키우면 몫은 그대로입니다. 어느 쪽이든 답은 25 이며, 학교에서 "두 소수점을 같은 만큼 옮겨라"라고 가르치는 이유가 이것입니다. 그다음 사다리는 자연수로 진행합니다.
자주 하는 실수
- 몫의 0 을 건너뛰기. 나누는 수가 0 번 들어갈 때에도 0 은 위에 적어야 합니다. 빠뜨리면 618 ÷ 6 = 103 이 13 이 되어 버립니다.
- 나머지가 나누는 수에 이르도록 두기. 각 단의 남은 값은 나누는 수보다 작아야 합니다. 그렇지 않다면 위의 숫자가 더 커야 했던 것입니다.
- 한 번에 두 자리를 내려쓰기. 언제나 한 단에 한 자리입니다. 두 자리를 한꺼번에 내리면 그 뒤의 모든 열이 어긋납니다.
- 소수점을 한쪽만 옮기기. 12.5 ÷ 0.5 를 정리하려면 두 수 모두를 10 배 해야 합니다. 한쪽만 키우면 겉모양이 아니라 답이 달라집니다.
- 나머지를 소수처럼 적기. 182 R 3 은 182.3 이 아닙니다. 나머지는 아직 나눠야 할 4 분의 1 이 3 개라는 뜻이고, 소수로 쓰면 .75 입니다.
- 순환소수를 반올림해 답이라고 하기. 7 ÷ 12 는 정확히 0.583333… 이고 0.58 은 근삿값입니다. 헷갈릴 때는 분수 7/12 가 정확한 형태입니다.
나눗셈 세로셈 자주 묻는 질문
나눗셈 세로셈의 과정은 어떻게 되나요?
되풀이되는 네 동작입니다. 다음 자리를 내려쓰고, 나누고 (나누는 수가 온전히 몇 번 들어가는지), 나누는 수에 그 숫자를 곱하고, 뺍니다. 남은 값이 다음 단을 먹이고, 위에 적힌 숫자들이 모여 몫이 됩니다. 위의 애니메이션은 바로 이 반복을 클릭마다 한 단씩 실행합니다.
처음에 몇 자리를 가져와야 하는지 어떻게 알 수 있나요?
왼쪽부터 읽어, 그 수가 적어도 나누는 수만큼 커질 때까지 가져옵니다. 731 ÷ 4 는 7 하나로 충분하고, 1234 ÷ 56 은 123 이 필요합니다. 첫 창 이후에는 엄격하게 한 단에 한 자리만 내려씁니다.
나머지는 어떻게 처리하나요?
문제가 무엇을 원하는지에 달려 있습니다. 그대로 두면 731 ÷ 4 = 182 나머지 3 입니다. 분수로는 나머지를 나누는 수 위에 올려 182¾ 로 씁니다. 소수로는 사다리를 계속해서, 끝나거나 순환을 시작할 때까지 소수점 뒤로 0 을 내려씁니다. 세 형태 모두 위에 표시됩니다.
소수가 있는 나눗셈 세로셈은 어떻게 하나요?
나누는 수가 자연수가 될 때까지 두 수를 같은 10 의 거듭제곱으로 키웁니다. 12.5 ÷ 0.5 는 125 ÷ 5 가 되고, 그다음은 평소처럼 나누면 됩니다. 둘을 함께 키우면 몫은 바뀌지 않습니다. 다만 나머지는 이제 키운 문제의 것이므로, 이 페이지는 자연수 문제에만 몫과 나머지를 보여 줍니다.
왜 어떤 나눗셈은 끝없이 순환하나요?
사다리가 만들 수 있는 서로 다른 나머지의 개수가 한정되어 있고 나누는 수보다 적기 때문입니다. 0 에 결코 이르지 않는 나눗셈은 언젠가 같은 나머지를 다시 만나야 하고, 그 순간부터 같은 단들이 순환하며 되풀이됩니다. 두 등장 사이의 숫자들이 순환하는 부분입니다. 12 로 나누면 소수 11 자리 안에 반드시 순환하고, 7 로 나누면 6 자리마다 되풀이됩니다.
세로셈의 답은 어떻게 검산하나요?
거꾸로 곱한 뒤 나머지를 더합니다. 몫 × 나누는 수 + 나머지 가 나누어지는 수를 정확히 되돌려 놓아야 합니다. 731 ÷ 4 라면 182 × 4 = 728 이고, 여기에 3 을 더하면 731 입니다. 이 검산은 잘못 세운 숫자와, 나누는 수를 넘겨 자란 나머지 두 종류의 오류를 모두 잡아냅니다.
정확한 답이 때때로 분수인 이유는 무엇인가요?
소수가 끝없이 순환할 때, 또는 사다리가 읽을 수 있게 보여 줄 수 있는 길이보다 길어질 때는, 분수가 정확한 값을 유한하게 적는 유일한 방법입니다. 7 ÷ 12 는 곧 7/12 이며, 소수 0.5833… 은 그 말을 끝내지 못합니다. 표시되는 분수는 항상 기약분수입니다.
