한 점에서 만남: 2x + y = 5와 x - y = 1
plain
2x + y = 5; x - y = 1두 식을 더하면 +y와 -y가 상쇄되어 y가 바로 사라집니다. 3x = 6이므로 x = 2, 그다음 어느 식에서든 y = 1. 그림은 두 직선이 (2, 1)에서 만나는 것을 보여 줍니다. 점 하나, 답 하나입니다.
연립방정식 계산기
가감법을 한 줄씩. 두 직선과 교점까지 그려 줍니다.
마지막 업데이트
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Coddy 수학 강의는 방법 자체를 가르칩니다. 대화형 보드에서 한 단계씩 직접 풀고, 어디서 어긋났는지 정확히 알려 줍니다.
연립방정식은 두 직선이고, 푸는 일은 만나는 곳을 찾는 일입니다
x와 y에 관한 두 방정식은 같은 평면 위의 두 직선입니다. 두 방정식을 모두 만족하는 순서쌍 (x, y)은 두 직선 위에 동시에 있는 점, 즉 교점입니다. 이것이 전부이며, 모든 경우를 한 번에 설명합니다. 한 번 만나는 직선은 해가 하나, 평행한 직선은 해가 없고, 같은 직선을 두 번 그린 경우는 해가 무한히 많습니다.
가감법과 대입법은 그 교점을 그리지 않고 찾는 방법일 뿐입니다. 이 페이지는 두 절반을 모두 합니다. 답의 뜻이 보이도록 하는 그림과, 어떻게 찾았는지 보이도록 한 줄씩 쓴 가감법입니다. 대부분의 계산기는 둘 중 하나만 줍니다.
두 특수한 경우는 실패로 보고되지 않고 이름을 얻습니다. «해가 없다»와 «해가 무한히 많다»는 실제 의미가 있는 실제 답이며, 그 앞에서 어깨를 으쓱하는 풀이기는 문제를 두려워하도록 가르칩니다. 여기서는 계수로부터 형태를 계산하므로, 출력할 순서쌍이 없을 때도 어떤 경우인지 말할 수 있습니다.
단계에서 볼 것
- 가감법은 한 미지수의 계수를 같게 만든 뒤 두 식을 더하거나 빼서 그 미지수를 없애는 방법입니다. 방법 전체가 이 하나의 생각을 반복하는 것입니다.
- 더할지 뺄지는 부호에 달려 있습니다. 같게 만든 계수의 부호가 같으면 빼고, 다르면 더합니다. 이것을 반대로 하는 것이 가장 흔한 실수입니다.
- 미지수 하나를 얻으면 원래 방정식 중 아무것에나 대입해 다른 하나를 구합니다. 아무것이나 - 둘이 다른 값을 준다면 그 앞에서 무언가 잘못된 것입니다.
- 평행한 직선은 기울기가 같고 절편이 다르다는 뜻입니다. 대수에서는 0 = -2 같은 불가능한 줄로 나타나며, 이것은 오류가 아니라 답입니다.
- 미지수가 셋이어도 같습니다. 하나를 없애 2원 연립으로 만든 뒤 마무리합니다. 그림은 그때부터 도움이 되지 않습니다. 미지수 셋은 직선이 아니라 평면이기 때문입니다.
사용법
한 줄에 방정식 하나
종이에 쓰듯이 첫 줄에
2x + y = 5, 둘째 줄에x - y = 1. 계수는 분수나 소수도 됩니다.답과 형태를 읽으세요
순서쌍이 맨 위에 있습니다. 그 아래 한 문장이 이 연립이 기하적으로 무엇인지 말해 줍니다. 한 점에서 만남, 평행, 또는 같은 직선 두 번.
그림을 보세요
직선이 그려지고 교점이 표시됩니다. 답이 뜻밖이라면 대수보다 그림이 더 빨리 설명해 줍니다.
가감법을 따라가세요
번호 붙은 단계가 어떤 미지수를 어떻게 없앴고 무엇이 남았는지 보여 줍니다. 재현하라고 요구되는 방법이 그것입니다.
세 가지 경우
모든 2원 연립은 이 중 하나이고, 대수를 하기 전에 직선을 보면 어느 쪽인지 알 수 있습니다.
| 경우 | 직선 | 예 |
|---|---|---|
| 해가 하나 | Cross once | 2x + y = 5, x - y = 1 → (2, 1) |
| 해가 없음 | Parallel, different intercepts | x + y = 3, x + y = 5 |
| 해가 무한히 많음 | The same line twice | x + y = 3, 2x + 2y = 6 |
| 방정식이 하나뿐 | A whole line of solutions | 2x + 3y = 7 |
| 미지수가 셋 | Planes, not lines | x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2 |
풀이 예시
평행한 직선: x + y = 3과 x + y = 5
plain
x + y = 3; x + y = 5빼면 0 = -2가 되고, 어떤 수의 쌍으로도 고칠 수 없습니다. 이는 풀이기의 실패가 아니라 답입니다. 두 직선은 기울기가 같고 절편이 달라 결코 만나지 않으므로 이 연립은 해가 없습니다.
같은 직선을 두 번: x + y = 3과 2x + 2y = 6
plain
x + y = 3; 2x + 2y = 6두 번째 식은 첫 번째의 두 배이므로 같은 직선을 그립니다. 그 직선의 모든 점이 둘을 다 만족하니 해가 무한히 많습니다. 그림에는 직선이 하나만 보입니다. 실제로 하나뿐이기 때문입니다.
미지수가 셋: x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2
plain
x + y + z = 6; x - y = 0; z = 2z = 2와 x = y를 대입하면 세 식이 하나가 되고 x = y = 2가 나옵니다. 여기에는 그림이 없습니다 - 미지수 셋은 직선이 아니라 평면입니다 - 그러나 소거는 같은 절차이며 한 번에 하나씩 진행됩니다.
자주 하는 실수
- 빼야 할 때 더하는 것. 같게 만든 계수의 부호가 같으면 빼야 하고, 더해서 상쇄되는 것은 부호가 반대일 때뿐입니다.
- 방정식의 일부만 곱하는 것. 계수를 맞추려고 식을 몇 배 하면 우변까지 모든 항을 같이 곱해야 합니다.
- 방금 바꾼 식에 대입하는 것. 원래 식 중 하나를 쓰지 않으면 두 번째 조건을 잃을 수 있습니다.
- 미지수 하나만 구하고 끝내는 것. 2원 연립의 답은 둘이고, x만 쓰는 것은 절반의 해답입니다.
- 0 = -2를 계산 실수로 읽는 것. 그것은 «해가 없다»입니다. 마찬가지로 0 = 0은 무한히 많다는 뜻이며 무언가 잘못됐다는 신호가 아닙니다.
- 한 식에서만 검산하는 것. 구한 순서쌍을 원래 두 식 모두에 넣어 보세요. 하나만 만족해도 아무것도 증명되지 않습니다.
자주 묻는 질문
연립방정식은 어떻게 푸나요?
두 식에서 한 미지수의 계수를 같게 만든 뒤 더하거나 빼서 그 미지수를 없앱니다. 남은 한 식을 풀고, 그 값을 원래 식 중 하나에 대입해 다른 미지수를 구한 다음, 마지막에 순서쌍을 두 식 모두에서 확인합니다.
가감법과 대입법의 차이는 무엇인가요?
가감법은 식을 결합해 미지수를 없애고, 대입법은 한 식을 한 미지수에 대해 정리해 그 식을 다른 쪽에 넣습니다. 답은 언제나 같습니다. 계수가 깔끔하면 가감법이 짧고, 한 식에서 미지수가 이미 분리돼 있으면 대입법이 편합니다.
연립방정식에서 «해가 없다»는 무슨 뜻인가요?
두 직선이 평행하다는 뜻입니다. 기울기가 같고 절편이 달라 두 직선 위에 동시에 있는 점이 없습니다. 대수에서는 0 = -2 같은 불가능한 식으로 나타납니다. 이것은 실패가 아니라 완전한 답입니다.
«해가 무한히 많다»는 무슨 뜻인가요?
두 식이 같은 직선을 나타낸다는 뜻이며, 하나가 다른 하나의 배수입니다. 그 직선의 모든 점이 두 식을 만족하므로 해는 하나의 순서쌍이 아니라 직선 전체입니다. 흔히 한 변수로 표현하라고 요구합니다.
미지수 세 개인 세 방정식도 푸나요?
네, 소거도 같은 방식으로 보여 줍니다. 미지수 하나를 없애 2원 연립으로 만들고, 그것을 풀고 되돌아옵니다. 그래프는 미지수가 둘일 때만 그립니다. 셋이면 평면이 되고, 평면을 납작하게 그리면 설명보다 오해를 낳습니다.
왜 직선을 그리나요?
그림이 곧 의미이기 때문입니다. 가감법은 믿을 만하지만 무슨 일이 일어나는지 감춥니다. 한 점에서 만나는 두 직선을 보면 왜 답이 정확히 하나인지, 왜 평행하면 하나도 없는지 분명해집니다.
분수와 소수도 되나요?
네, 그리고 정확합니다. 0.5x + y = 3은 2분의 1로 읽히고, 분수 계수 연립의 답은 반올림된 소수가 아니라 정확한 분수로 나옵니다.
