시험 점수 85점, 평균 70, 표준편차 6
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x = 85, μ = 70, σ = 685 빼기 70은 15이고 15 나누기 6은 5/2이므로 z = 2.5입니다. 2.5 왼쪽의 면적은 0.9938이므로 이 점수는 약 99.4번째 백분위에 놓입니다. 백 명 중 한 명도 이보다 높은 점수를 받지 못했다는 뜻이죠.
z 점수 계산기
어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지, 정확값과 백분위까지.
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z 점수는 표준편차 단위로 잰 거리입니다
어떤 분포에서든 값 하나를 골라 평균을 빼고 표준편차로 나누세요. 그 결과가 값이 중심에서 표준편차 몇 개만큼, 어느 방향으로 떨어져 있는지입니다. z = 2는 평균보다 표준편차 두 개 위, z = -0.5는 표준편차 0.5개 아래라는 뜻입니다. 공식은 그게 전부이고, 한 번쯤 손으로 해볼 가치가 있습니다. 신뢰구간부터 가설검정까지 통계의 이후 개념들이 전부 모습만 바꾼 z 점수이기 때문입니다.
z 점수가 중요한 이유는 모든 정규분포를 하나의 자 위에 올려놓기 때문입니다. 평균 70, 표준편차 6인 시험에서 85점은 z = 2.5이고, 평균 175, 표준편차 6인 집단에서 키 190cm도 z = 2.5입니다. 둘은 약 99.4번째로 같은 백분위에 놓이고, 표 하나가 둘 다를 처리합니다. 이 페이지가 그 표를 대신 읽어주면서 당신의 값 아래 면적을 칠한 곡선을 그리고, 위쪽 비율과 평균으로부터 그 거리 안에 있는 비율도 함께 알려줍니다.
여기서 산술은 정확값으로 유지됩니다. 15 나누기 6은 5/2이므로 페이지는 5/2를 찍고 옆에 2.5를 붙입니다. 숫자가 덜 깔끔할 때 반올림해야 하는 소수 대신에 말이죠. 백분위는 곡선 아래 면적이므로 필연적으로 소수이고, 소수라고 표시해 둡니다.
z 점수에 대해 알아둘 것
- 부호가 방향을 알려줍니다. 음수면 평균 아래, 양수면 위이고, z = 0은 평균 그 자체입니다.
- 거의 모든 것이 3 안에 들어옵니다. 정규 모집단의 약 68%가 표준편차 하나 안, 95%가 둘 안, 99.7%가 셋 안에 있습니다. z = 4는 정말로 드문 값입니다.
- 백분위는 왼쪽 면적입니다. z = 1.28은 약 90번째 백분위, 1.645는 95번째, 2.33은 99번째입니다.
- 같은 공식이 거꾸로도 돌아갑니다. 주어진 z에 해당하는 값은 평균 더하기 z 곱하기 표준편차이고, 커트라인은 이렇게 정해집니다: 시험 상위 5%는 평균 더하기 1.645 시그마에서 시작합니다.
- z 점수는 분포가 대체로 정규라는 가정을 깔고 있습니다. 점수 자체는 언제나 계산되지만, 백분위는 종 모양이 성립할 때에만 의미가 있습니다.
손으로 z 점수 구하는 법
값에서 평균을 빼세요
부호를 유지하세요. 평균보다 작은 값은 음의 차이를 주고, 그 부호는 답까지 이어집니다.
표준편차로 나누세요
모집단 표준편차가 있으면 그것을, 표본 표준편차뿐이라면 그것을 쓰세요. 나누어떨어지지 않으면 결과를 정확값으로 두세요.
정규곡선에서 백분위를 읽으세요
z 왼쪽의 면적이 당신의 값보다 아래에 있는 모집단의 비율입니다. 표에 실려 있고, 이 페이지는 직접 계산합니다.
역방향이라면 곱하고 더하세요
값 = 평균 더하기 z 곱하기 표준편차. 백분위 커트라인을 다시 점수로 되돌릴 때 쓰는 방식입니다.
자주 쓰는 z 점수와 백분위
표준정규곡선에서 z 왼쪽의 면적입니다.
| z | 백분위 | 위쪽 비율 | 쓰이는 곳 |
|---|---|---|---|
| −2 | 2.3% | 97.7% | 표준편차 두 개 아래 |
| −1 | 15.9% | 84.1% | 하나 아래 |
| 0 | 50% | 50% | 평균 |
| 1 | 84.1% | 15.9% | 하나 위 |
| 1.28 | 90% | 10% | 상위 10% 커트라인 |
| 1.645 | 95% | 5% | 단측 5% 검정 |
| 1.96 | 97.5% | 2.5% | 양측 5% 검정 |
| 2.33 | 99% | 1% | 상위 1% 커트라인 |
계산 예시
측정값 48, 평균 50, 표준편차 2.5
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x = 48, μ = 50, σ = 2.548 빼기 50은 -2이고 -2 나누기 2.5는 -4/5이므로 z = −0.8입니다. 측정값의 약 21%가 이보다 낮습니다. 음의 z는 나쁜 z가 아니라 그냥 가운데보다 아래일 뿐입니다.
평균 1000, 표준편차 150일 때 상위 5% 커트라인 점수는?
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z = 1.645, μ = 1000, σ = 150역방향 문제입니다. 상위 5%는 z = 1.645에서 시작하고, 1000 더하기 1.645 곱하기 150은 약 1247입니다. 페이지를 '어떤 z 점수의 값 구하기'로 전환하면 대입 과정을 볼 수 있습니다.
z 점수에서 흔한 실수
- 표준편차 대신 분산으로 나누는 것. 분산은 제곱값이므로 답이 시그마 배만큼 틀어집니다.
- 부호를 빠뜨리는 것. z = −1.5와 z = 1.5는 7번째와 93번째 백분위이지 같은 자리가 아닙니다.
- 표의 잘못된 쪽을 읽는 것. 어떤 표는 왼쪽 면적을, 어떤 표는 평균과 z 사이의 면적을, 어떤 표는 오른쪽 꼬리를 줍니다. 지금 보는 표가 어느 쪽인지 알아야 합니다.
- 찾아보기 전에 z를 반올림하는 것. z = 1.96을 2.0으로 반올림하면 백분위가 97.5에서 97.7로 움직이고, 커트라인에서 그 차이는 실제 사람 수입니다.
- 정규와는 거리가 먼 분포에 z 점수를 쓰는 것. 숫자는 여전히 계산되지만 백분위는 허구입니다.
z 점수 자주 묻는 질문
z 점수 공식은 무엇인가요?
z는 x에서 평균을 뺀 값을 표준편차로 나눈 것입니다. 기호로는 z = (x − μ) / σ입니다. 결과는 값 x가 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지이며, 위쪽이면 양수, 아래쪽이면 음수입니다.
z 점수를 백분위로 어떻게 바꾸나요?
백분위는 표준정규곡선에서 z 왼쪽의 면적입니다. z = 0은 50번째 백분위, z = 1은 약 84번째, z = 2는 약 97.7번째입니다. 위에 값을 입력하면 페이지가 그 면적을 곡선 위에 칠하고 숫자로 찍어줍니다.
좋은 z 점수란 무엇인가요?
무엇을 측정하느냐에 전적으로 달려 있습니다. 시험이라면 큰 양수 z가 좋습니다. 혈압 측정값이나 배송 시간이라면 0에 가까운 z가 좋고, 어느 방향으로든 큰 값은 경고입니다. z 점수는 어떤 값이 얼마나 이례적인지를 말할 뿐, 이례적인 것이 반가운지는 말하지 않습니다.
z 점수가 음수일 수 있나요?
네. 음의 z 점수는 값이 평균보다 아래라는 뜻입니다. z = −1은 표준편차 하나 아래이고, 정규 모집단의 약 16%가 그보다 낮은 곳에 있습니다.
z 점수에서 원래 값을 어떻게 구하나요?
공식을 정리하면 x = μ + zσ입니다. z 점수에 표준편차를 곱하고 평균을 더하세요. 페이지를 역방향 모드로 전환하면 대입 과정을 단계별로 보여줍니다.
z 점수와 t 점수는 어떻게 다른가요?
z 점수는 알려진 모집단 표준편차와 정규곡선을 씁니다. t 통계량은 표본 표준편차와 t 곡선을 쓰는데, 같은 데이터로 시그마를 추정하면서 생기는 추가 불확실성을 두꺼운 꼬리가 감당해 줍니다. 표본이 크면 둘이 일치하고, 작으면 t가 정직한 선택입니다.
이 페이지는 왜 z 점수를 분수로 유지하나요?
정확하기 때문이고, 반올림된 z는 반올림된 백분위이기 때문입니다. z = 5/2는 어느 쪽으로 써도 2.5지만 z = 7/3은 2.33이 아닙니다. 이 페이지는 소수가 답인 척하기보다 7/3을 찍고 옆에 2.3333을 붙이는 쪽을 택합니다.
