정수 근 둘: x² - 5x + 6 = 0
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a = 1, b = -5, c = 6판별식은 (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1입니다. 제곱근이 정확히 1이므로 근은 (5 + 1)/2 = 3과 (5 - 1)/2 = 2입니다. 판별식이 완전제곱수라 두 근 모두 유리수이고, 방정식은 (x - 3)(x - 2) = 0으로 인수분해도 됩니다. 인수분해가 더 빨랐을 경우입니다.
이차방정식 근의 공식 계산기
어떤 이차방정식이든 모든 과정을 적어 가며 정확한 값으로 풉니다.
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근의 공식이 실제로 하는 일
이차방정식은 a가 0이 아닐 때 ax² + bx + c = 0 형태로 쓸 수 있는 모든 방정식입니다. 근의 공식 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a는 그 전부를 예외 없이 풉니다. 흔치 않은 일이고 음미할 만합니다. 인수분해는 수가 마침 순할 때만 통하고, 완전제곱식은 언제나 통하지만 숙련이 필요하며, 공식은 언제나 통하고 필요한 것은 꼼꼼함뿐입니다.
실제 일을 하는 부분은 근호 안입니다. b² - 4ac를 판별식이라 부르며, 그 부호가 다른 무엇을 계산하기 전에 답의 모양을 결정합니다. 양수면 두 근, 0이면 중근 하나, 음수면 실근이 없습니다. 판별식을 먼저 보면 어떤 종류의 답을 기대해야 할지 알게 되고, 그것이 나중에 계산 실수를 알아채는 가장 빠른 길입니다.
공식은 한 수가 아닙니다. 이것이 이 공식에 관한 가장 흔한 오해입니다. 짧은 절차입니다. 대입하고, 판별식을 구하고, 근호를 벗기고, ±를 나누고, 각 갈래를 간단히 합니다. 이 계산기는 다섯 단계를 모두 걸어서, 당신이라면 어디서 틀렸을지 보여 줍니다.
각 단계에서 볼 것
- 음수 계수는 모두 괄호에 넣어 대입됩니다. b = -5일 때 -b는 -(-5) = 5이며, 이 부호를 놓치는 것이 이 단원 전체에서 가장 흔한 실수입니다.
- 판별식은 무엇보다 먼저 독립된 줄에서 계산됩니다. 그 부호가 곧 답의 모양입니다.
- √12는 그대로 두거나 3.464로 바꾸지 않고 2√3으로 간단히 합니다. 정확한 근호가 답이고, 소수는 그것의 측정값입니다.
- ±는 명시적으로 두 경우로 나뉩니다. 두 개의 별도 계산을 줄여 쓴 것이지, 끝까지 끌고 갈 수 있는 연산이 아닙니다.
- 두 근이 모두 유리수일 때는 검산으로 인수분해한 형태가 제시됩니다. 전개하면 처음 방정식으로 돌아와야 합니다.
- 공식은 어디선가 내려온 규칙이 아닙니다. 완전제곱식 만들기를 일반형에서 딱 한 번 해 둔 것이 공식입니다. 아래 유도가 바로 그 한 번입니다.
이차방정식을 공식으로 푸는 방법
세 계수를 입력하세요
a, b, c를 칸에 적습니다. 정수, 소수, 1/2 같은 분수가 됩니다. 항이 없으면 계수가 0입니다. x² - 4 = 0이면 b는 0입니다.
또는 방정식을 통째로 붙여넣으세요
방정식 칸에
2x^2 - 5x + 2 = 0같이 적고 읽기를 누릅니다. 양변의 항이 자동으로 왼쪽에 모이므로3x^2 = 2x + 1도 됩니다.근보다 판별식을 먼저 읽으세요
네 번째 단계가 b² - 4ac를 줍니다. 부호를 확인하고, 스크롤하기 전에 답의 모양(근 두 개, 하나, 없음)을 예측해 보세요.
자기 풀이를 줄 단위로 비교하세요
답이 달랐다면 유용한 질문은 어느 숫자가 옳은가가 아니라 어느 단계에서 길이 갈렸는가입니다. 그 줄을 찾으면 실수는 스스로 설명됩니다.
근의 공식은 어디에서 나오는가
공식은 공리가 아닙니다. 일반형 방정식에서 완전제곱식 만들기를 딱 한 번 해 둔 결과입니다. 각자 자기 숫자로 매번 다시 하지 않아도 되도록 누군가 한 번 해 둔 것이고, 그 한 번을 여기서 따라갑니다. 공식을 외우는 것과 아는 것은 다릅니다.
일반형 이차방정식에서 출발한다
a x^2 + b x + c = 0
a는 0일 수 없습니다. x² 항이 없으면 풀 이차식 자체가 없고, 분모의 2a도 0이 되어 버립니다.
모든 항을 a로 나눈다
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
완전제곱식을 만들려면 계수 없는 x²가 필요하므로 a를 앞에서 빼내야 합니다. 이 단계에서 a가 분모로 들어가 끝까지 그 자리에 남습니다.
상수항을 반대쪽으로 옮긴다
x^2 + (b/a) x = -c/a
x 계수의 절반을 제곱해 양변에 더한다
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
b/a의 절반은 b/2a이고 그 제곱은 b²/4a²입니다. 유도 전체가 이 한 수에 달려 있습니다. 왼쪽이 완전제곱이 되기 위해 모자랐던 것이 정확히 이것입니다.
왼쪽은 제곱 꼴로, 오른쪽은 하나의 분모로 쓴다
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
여기서 판별식 b² - 4ac가, 이름을 얻기도 전에 저절로 나타납니다.
양변에 제곱근을 취한다
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
부호는 둘 다입니다. 둘 다 제곱하면 같아지기 때문입니다. √(4a²)에서는 |2a|가 나오지만, 앞에 붙은 ± 가 어느 쪽 부호든 흡수합니다.
b/2a를 빼고 하나의 분수로 정리한다
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)
이 일곱 줄 어디에서도 특정한 a, b, c를 쓰지 않았습니다. 결과가 모든 이차방정식에 통하는 이유입니다. 판별식이 답의 모양을 정하는 이유도 같습니다. 판별식은 근호 안의 수이고, 그것이 음수이면 여섯 번째 단계가 갈 곳을 잃습니다.
판별식이 알려 주는 것
b² - 4ac의 값은 근호를 하나도 벗기기 전에 답의 모양에 관한 모든 것을 결정합니다.
| 판별식 | 실근 | 그래프 | 예 |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | 서로 다른 두 실근 | x축과 두 번 만난다 | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | 중근 하나 | x축에 한 번 접한다 | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | 실근 없음 | x축에 닿지 않는다 | x² + 2x + 5 = 0 |
| 완전제곱수 | 두 유리근 | 분수 또는 정수 두 점에서 만난다 | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| 양수이나 제곱수 아님 | 두 무리근 | 근호 두 점에서 만난다 | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
풀어 보는 예
분수 근: 2x² - 5x + 2 = 0
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a = 2, b = -5, c = 2판별식은 25 - 16 = 9이므로 √9 = 3이고 근은 (5 + 3)/4 = 2와 (5 - 3)/4 = 1/2입니다. 둘째 근이 1/2로 남고 결코 0.5로 표시되지 않는 점을 보세요. 분수가 정확한 값이고, 소수는 마침 짧게 떨어진 근삿값일 뿐입니다.
무리근: x² - 4x + 1 = 0
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a = 1, b = -4, c = 1판별식은 16 - 4 = 12이고 완전제곱수가 아닙니다. √12는 2√3으로 간단해지므로 근은 (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3입니다. 대부분의 계산기가 3.7320508을 출력하기 시작하며 쓸모없어지는 지점이 여기입니다. 답은 2 + √3이고, 어떤 소수든 그것의 반올림입니다.
실근 없음: x² + 2x + 5 = 0
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a = 1, b = 2, c = 5판별식은 4 - 20 = -16입니다. 실수를 제곱해 음수가 되는 일은 없으므로 방정식에 실근이 없고 풀이는 거기서 멈춥니다. 포물선은 전부 x축 위에 있습니다. 과정이 복소수까지 갔다면 근은 -1 ± 2i이지만, 그것을 답으로 셀지는 어느 수 체계에서 다루도록 배웠는지에 달려 있습니다.
흔한 실수
- -b의 부호를 놓치기. b = -5면 -b = +5입니다. 대신 -5를 대입하는 것이 그럴듯하지만 틀린 근의 짝을 만드는 실수입니다.
- a가 음수일 수 있음을 잊기. -x² + 2x = 0에서 a는 -1이고 분모의 2a는 -2입니다.
- 분자의 일부만 나누기. (4 ± 2√3)/2에서는 4와 2√3 모두를 2로 나눕니다. 4만 반으로 나누는 것은 아주 흔한 부주의입니다.
- ±를 끝까지 끌고 가서 하나의 답으로 다루기. 이것은 각각 끝까지 계산해야 할 두 계산을 뜻합니다.
- a = 0일 때 공식에 손대기. 그 방정식은 일차식이고, 공식은 2a 곧 0으로 나누게 됩니다.
- x = (5 + 1)/2에서 멈추기. 아직 답이 아니라 남겨 둔 계산입니다.
이차방정식 자주 묻는 질문
이차방정식의 근의 공식은 무엇인가요?
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a입니다. a가 0이 아닌 ax² + bx + c = 0 형태의 모든 방정식의 해를 줍니다. 일반형에 완전제곱식을 적용해 유도하므로, 편한 수에서만이 아니라 보편적으로 통합니다.
근의 공식은 어떻게 유도하나요?
ax² + bx + c = 0에서 완전제곱식을 만들면 됩니다. 전체를 a로 나누고, 상수항을 오른쪽으로 옮기고, 왼쪽이 완전제곱이 되도록 양변에 (b/2a)²을 더하고, 양변에 제곱근을 취한 뒤(± 는 여기서 생깁니다) b/2a를 빼면 됩니다. 일곱 줄 전부가 위에 있습니다. 어느 줄도 특정한 숫자에 기대지 않기 때문에 결과가 모든 이차방정식에 통합니다.
근의 공식에 왜 ± 가 있나요?
유도 과정에서 양변에 제곱근을 취하는데, 양수의 제곱근은 두 개이기 때문입니다. 3도 -3도 제곱하면 9가 됩니다. 둘 다 가져가야 하므로 ± 는 서로 다른 두 계산을 한 줄로 줄여 쓴 것이고, 이차방정식의 해가 보통 하나가 아니라 둘인 이유이기도 합니다.
이 계산기는 무료인가요? 과정도 무료인가요?
둘 다 무료이고 가입도 필요 없습니다. 이 말을 분명히 하는 이유는, 단계별 풀이로 가장 잘 알려진 두 사이트가 답을 보여 준 뒤 그 과정을 보려면 구독을 요구하기 때문입니다. 이 페이지의 요점은 바로 과정이 유용한 부분이라는 것입니다.
왜 3.732 대신 2 + √3을 보여 주나요?
2 + √3이 답이고 3.732는 그것의 반올림이기 때문입니다. 과제가 정확한 값을 요구하면 소수는 오답 처리됩니다. 그래프나 측정을 확인해야 할 때를 위해 근삿값을 아래에 함께 적습니다.
판별식이 음수면 무슨 뜻인가요?
방정식에 실근이 없다는 뜻입니다. 포물선이 x축과 만나지 않습니다. 복소수를 배운 과정에서는 a ± bi로 쓰는 두 해가 여전히 있지만, 그때까지는 "실근 없음"이 완전하고 옳은 답입니다.
공식을 쓸까요, 인수분해를 할까요?
몇 초 안에 인수가 보이면 먼저 인수분해하세요. 더 빠르고 실수도 적습니다. 수가 순하지 않을 때, x²의 계수가 1이 아닐 때, 근이 무리수일 것 같을 때는 공식을 쓰세요. 공식은 결코 실패하지 않지만, 인수분해는 인수분해되도록 만들어진 방정식에서만 통합니다.
계수로 분수와 소수를 쓸 수 있나요?
쓸 수 있습니다. 분수는 1/2이나 3/4, 소수는 0.5처럼 입력하세요. 소수는 내부에서 정확한 분수로 바뀌므로, 0.1은 부동소수점 계산기가 쓰는 이진 근삿값이 아니라 정확히 십분의 일로 다뤄집니다.
방정식을 ax² + bx + c = 0 꼴로 어떻게 만드나요?
모든 항을 한쪽으로 옮겨 다른 쪽을 0으로 만들고 동류항을 정리하세요. 3x² = 2x + 1이면 양변에서 2x와 1을 빼서 3x² - 2x - 1 = 0을 얻습니다. 원래 식을 붙여넣으면 이 페이지의 방정식 칸이 그 정리를 대신 해 줍니다.
