교과서 목록: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
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2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9여덟 값의 합이 40이므로 평균은 5. 편차는 −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4(당연히 합이 0)이고 제곱의 합은 32. n = 8로 나누면 분산은 4, 제곱근은 정확히 2입니다. 표본이라면 32/7로 약 2.138.
표준편차 계산기
편차 표를 한 줄씩 - 실제로 점수가 매겨지는 부분입니다.
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표준편차는 평균까지의 평균 거리입니다
수의 목록과 그 평균을 생각해 보세요. 각 값은 그 평균에서 어느 정도 떨어져 있고, 표준편차는 대략 그 거리들의 전형적인 크기입니다. 거리를 그냥 평균할 수는 없습니다. 평균보다 위와 아래의 거리가 정확히 0으로 상쇄되기 때문입니다. 그래서 먼저 각 거리를 제곱하고, 제곱들을 평균하고, 마지막 제곱근이 제곱을 풀어 답을 원래 단위로 되돌립니다.
공식은 이것이 전부이고, 실제로 점수가 매겨지는 부분은 가운데입니다: 각 값에서 평균을 뺀 표와 그 차의 제곱. 이 페이지는 그 표를 빠짐없이 인쇄하고, 두 분산이 나누는 합계도 보여 줍니다. 경쟁 계산기는 시그마만 찍고 멈추는데, 그것은 학생이 휴대폰으로도 구할 수 있었던 유일한 부분입니다.
나누는 수는 둘이고 그 차이는 중요합니다. 여러분의 수가 집단 전체(모집단)라면 합계를 n으로 나눕니다. 더 큰 무엇을 대표하는 표본이라면 n − 1로 나눕니다. 표본의 평균은 자기 값들에 조금 지나치게 가깝게 놓이고, 하나 작은 수로 나누면 그것이 보정되기 때문입니다. 여기서는 언제나 둘 다 보여 주므로, 나누는 수는 페이지가 아니라 여러분이 고르는 것입니다.
눈여겨볼 점
- 편차의 합은 언제나 0입니다. 우연이 아니라 그것이 평균의 정의이고, 평균 내기 전에 제곱이 필요한 이유입니다.
- 분산은 제곱근을 구하기 전의 답이고 단위가 제곱되어 있습니다: 킬로그램이 제곱킬로그램이 되므로, 킬로그램으로 돌아오려고 근을 구합니다.
- 모집단의 나눔수는 n, 표본은 n − 1입니다. 표본 답이 언제나 크고, 목록이 길어질수록 차이는 좁아집니다.
- 표준편차는 절대 음수가 아니고, 모든 값이 같을 때만 0입니다 - 측정할 흩어짐이 없는 것입니다.
- 분산과 달리 데이터와 같은 단위를 지닙니다. 보통 인용되는 값이 이것인 실용적인 이유입니다.
- 이상값 하나가 크게 흔듭니다. 거리가 세어지기 전에 제곱되기 때문입니다. 이 민감함은 이상값을 알아채고 싶을 때는 장점이고, 그렇지 않을 때는 골칫거리입니다.
표준편차를 손으로 구하는 방법
평균 구하기
모든 값을 더해 개수로 나눕니다. 정확하게 유지하세요 - 평균이 7/3이면 2.33이라고 쓰지 마세요. 그 오차가 곧 제곱됩니다.
각 값에서 평균 빼기
이것이 편차입니다. 일부는 음수이고 괜찮습니다. 검산으로, 그 합은 정확히 0이어야 합니다.
각 편차 제곱하기
제곱은 부호를 없애고 큰 거리에 더 큰 가중치를 줍니다. 제곱들을 더하세요: 그 합계가 편차제곱합입니다.
n 또는 n − 1로 나누기
이 값들이 관심 있는 집단 전체면 n으로, 더 큰 무엇에서 뽑은 표본이면 n − 1로. 결과가 분산입니다.
제곱근 구하기
그것이 표준편차입니다. 분산과 달리 원래 데이터와 같은 단위입니다.
같은 목록에서 모집단과 표본
같은 수를 두 나눔수로. 목록이 길어질수록 두 답의 차이가 좁아지는 것을 보세요.
| 값 | 평균 | 편차제곱합 | σ(모집단) | s(표본) |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 32 | 2 | 2.138 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 5 | 1.118 | 1.291 |
| 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 | 18 | 210 | 5.123 | 5.477 |
| 3, 3, 3 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 14/3 | 1.106 | 1.528 |
| 5, 15 | 10 | 50 | 5 | 7.071 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 6 | 40 | 2.828 | 3.162 |
| 100, 100, 100, 200 | 125 | 7500 | 43.301 | 50 |
풀이 예시
표본 나눔수가 더 큰 이유: 1, 2, 3, 4
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1, 2, 3, 4평균은 2.5, 편차제곱합은 5. 4로 나누면 분산 5/4, 표준편차 √5/2 ≈ 1.118. 3으로 나누면 5/3에 약 1.291. 표본 답이 언제나 큰 것은 표본의 평균이 자기 값들을 조금 지나치게 끌어안기 때문입니다.
소수가 아닌 정확한 답: 1, 2, 4
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1, 2, 4평균은 7/3이고 2.33이 아닙니다. 편차는 −4/3, −1/3, 5/3이고 제곱은 16/9, 1/9, 25/9로 합이 14/3. 평균을 먼저 반올림했다면 제곱을 시작하기도 전에 한 자리를 버린 셈입니다 - 여기 표의 각 줄이 분수인 이유입니다.
흩어짐이 전혀 없음: 3, 3, 3
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3, 3, 3모든 편차가 0이므로 편차제곱합도 표준편차도 0입니다. 표준편차가 0이 될 수 있는 유일한 방식입니다: 「수가 작다」가 아니라 「모든 값이 같다」.
이상값이 하는 일: 100, 100, 100, 200
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100, 100, 100, 200세 값은 정확히 일치하고 하나는 아니며, 표준편차는 약 43 - 전체 범위의 4분의 1이 넘습니다. 거리를 제곱하는 것이 그 하나의 먼 값에 이렇게 큰 무게를 주고, 이 척도가 이상값을 잘 잡아내는 이유가 정확히 그것입니다.
자주 하는 실수
- 제곱하지 않고 편차를 평균하기. 어떤 목록에서도 합이 0이므로 답은 언제나 0이 되어 버립니다.
- 빼기 전에 평균을 반올림하기. 평균이 7/3이면 2.33으로 작업하는 순간 이후의 모든 제곱이 망가집니다 - 끝까지 정확하게 두세요.
- 잘못된 개수로 나누기. n은 집단 전체, n − 1은 표본용입니다. 표본 데이터에 n을 쓰면 매번 흩어짐을 작게 보이게 합니다.
- 분산을 표준편차로 보고하기. 분산은 근을 구하기 전 단계이고 단위가 제곱되어 있습니다 - 한쪽이 다른 쪽의 반올림 버전이 아닙니다.
- 제곱근을 아예 잊기. 답이 데이터에 비해 너무 커 보이면 보통 이 때문입니다.
- 음의 편차를 오류로 여기기. 절반쯤은 음수여야 합니다. 하나도 음수가 아니라면 평균 계산이 틀렸습니다.
표준편차 자주 묻는 질문
모표준편차와 표본 표준편차의 차이는?
나누는 수입니다. 모표준편차는 편차제곱합을 n으로 나눕니다. 값이 집단 전체이기 때문입니다. 표본은 n − 1로 나눕니다. 표본의 평균이 자기 값들에 조금 지나치게 가까워서 하나 작은 수로 나누어 보정하는 것입니다. 표본 답이 언제나 더 큽니다.
어느 것을 써야 하나요?
여러분의 수가 관심 대상 전부라면 - 반 전체의 점수, 여섯 아이 모두의 키 - 모집단 공식을 쓰세요. 더 큰 무엇을 대표하려고 고른 표본이라면 n − 1을 쓰세요. 통계 과제는 대개 표본 버전을 요구하고, 시험 문제는 거의 항상 어느 쪽인지 말해 줍니다.
손으로 어떻게 계산하나요?
평균을 구하고, 각 값에서 빼고, 각 차를 제곱하고, 제곱을 더하고, n(또는 n − 1)으로 나누고, 제곱근을 구합니다. 이 페이지는 그 표를 전부 인쇄하므로 마지막 수만이 아니라 각 줄을 자신의 계산과 비교할 수 있습니다.
왜 편차를 제곱하나요?
그렇지 않으면 합이 정확히 0이 되기 때문입니다 - 평균의 정의 자체로 양과 음의 거리가 상쇄됩니다. 제곱은 부호를 없애고 큰 거리에 더 큰 무게를 줍니다. 그래서 이상값 하나가 표준편차를 그렇게 크게 흔듭니다.
분산과 표준편차의 차이는?
분산은 제곱한 편차의 평균이고, 표준편차는 그 제곱근입니다. 분산의 단위는 제곱되어 있어(제곱킬로그램, 제곱센티미터) 해석하기 어렵습니다. 그래서 근을 구해 답을 데이터의 단위로 돌려놓습니다.
표준편차가 음수나 0일 수 있나요?
음수는 절대 아닙니다 - 제곱의 평균의 제곱근이니까요. 0은 모든 값이 같을 때뿐이고, 평균까지 측정할 거리가 없는 유일한 경우입니다. 음수가 나왔다면 표 어딘가에서 부호가 빠졌습니다.
표준편차는 실제로 무엇을 알려 주나요?
전형적인 값이 평균에서 대략 얼마나 떨어져 있는지를요. 종 모양 분포의 데이터에서는 값의 약 3분의 2가 평균에서 표준편차 1 안에, 약 95%가 2 안에 들어옵니다. 그래서 「이 값이 특이한가?」의 표준 잣대가 됩니다.
왜 이 페이지는 소수 대신 분수를 보여 주나요?
그것이 정확한 답이기 때문입니다. 1, 2, 4의 평균은 7/3이고, 2.33 위에 세운 제곱은 모두 약간 틀립니다. 소수는 정확한 값 대신이 아니라 그 옆에 제시되며, 근이 무리수일 때는 근삿값이라고 표시됩니다.
