Простой случай: 2⁵
plain
2^5Пять двоек перемножены: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Это единственный случай, где показатель действительно считает множители, и его стоит выписать один раз, чтобы случаи ниже читались как отступления от него.
Калькулятор степеней
Степени с названным правилом, включая отрицательные и дробные.
Обновлено
Хотите решать это без калькулятора?
Курс математики Coddy учит самому методу: вы прорабатываете каждый шаг на интерактивной доске и узнаёте, где именно ход пошёл не так.
Показатель считает множители - пока не перестаёт быть счётом
Для целого показателя объяснять нечего: 2⁵ означает пять двоек, перемноженных вместе, то есть 32. Интересны случаи, когда показатель уже не считает множители, и их три: нулевой, отрицательный и дробный. За каждым стоит одно правило, и все они следуют из одного факта - при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
Нуль: 2³ ÷ 2³ = 1, а вычитание показателей даёт 2⁰, значит 2⁰ обязано быть 1 - для любого основания, кроме самого 0. Отрицательный: 2³ ÷ 2⁵ = 1/4, а вычитание даёт 2⁻², значит отрицательный показатель - это ОБРАТНОЕ число, а не отрицательный ответ. Дробный: 2^(1/2) на 2^(1/2) даёт 2¹, значит 2^(1/2) - то, что в квадрате даёт 2, то есть квадратный корень.
Здесь всё точно. 2⁻³ - это 1/8, а не 0,125; (2/3)³ - это 8/27; 9^(1/2) - ровно 3; а 8^(1/2) остаётся 2√2 вместо того чтобы обрушиться в 2,828. Десятичная запись предлагается рядом с точным ответом, когда она есть, и помечается как приближение, когда она им является.
На что обратить внимание
- Отрицательный показатель даёт обратное число, а не отрицательное. 2⁻³ равно 1/8 и положительно; отрицательным ответ может сделать только отрицательное ОСНОВАНИЕ.
- Нуль в показателе даёт 1 для любого основания, кроме нуля. У 0⁰ нет общепринятого значения, а 0 с отрицательным показателем означал бы деление на нуль.
- Дробный показатель - это корень: знаменатель говорит какой, числитель - это степень. 8^(2/3) - кубический корень из 8, возведённый в квадрат, то есть 4.
- Дробь, возведённая в степень, возводит обе части. (2/3)³ равно 8/27 - знаменатель тоже в кубе, и именно этот шаг чаще всего пропускают.
- Знак отрицательного основания решает только показатель: чётный показатель разбивает минусы на пары и даёт положительный ответ, нечётный оставляет один.
- Скобки меняют всё. (−2)⁴ равно 16, но −2⁴ равно −16, потому что без скобок степень связывает сильнее, чем знак минус.
Как посчитать степень
Сначала посмотрите на знак показателя
Если он отрицательный, запишите обратное число и сделайте показатель положительным: 2⁻³ становится 1/2³. Сделать это первым - значит не попасться на классический ответ −8.
Посмотрите, не дробь ли это
Дробный показатель - это корень. Нижняя часть выбирает корень, верхняя - это степень: x^(m/n) - это корень n-й степени из x^m.
Разберитесь с дробным основанием
Возводите числитель и знаменатель отдельно. (2/3)³ - это 2³ на 3³, то есть 8/27.
Перемножьте, что осталось
Целый показатель теперь просто повторное умножение. Следите за знаком: нечётное число отрицательных множителей оставляет отрицательный ответ.
Завершите обратное число, если оно было
Переверните только что полученный результат. 1/2³ - это 1/8, и проверьте, что ответ меньше 1: отрицательный показатель при основании больше 1 всегда даёт именно это.
Степени и правило за каждой
Четыре случая, которые не являются простым повторным умножением, рядом с теми, которые им являются.
| Степень | Правило | Точный ответ | Десятичной записью |
|---|---|---|---|
| 2⁵ | повторное умножение | 32 | 32 |
| 2⁰ | любое основание, кроме 0, в нулевой степени даёт 1 | 1 | 1 |
| 2⁻³ | отрицательный показатель - это обратное число | 1/8 | 0.125 |
| (2/3)³ | возводить и верх, и низ | 8/27 | 0.296… |
| 9^(1/2) | дробный показатель - это корень | 3 | 3 |
| 8^(1/2) | корень упрощён, а не округлён | 2√2 | 2.828… |
| (−2)⁴ | чётный показатель, минусы в парах | 16 | 16 |
| (−2)³ | нечётный показатель, один минус остаётся | −8 | −8 |
Разобранные примеры
Отрицательный показатель: 2⁻³
plain
2^-3Не −8. Отрицательный показатель означает обратное число: 2⁻³ - это 1/2³ = 1/8. Причина - деление: 2² ÷ 2⁵ = 1/8, а вычитание показателей даёт 2⁻³, значит они равны. Ответ положителен и меньше 1.
Дробь в основании: (2/3)³
plain
(2/3)^3В куб возводятся обе части: 2³ на 3³, то есть 8/27. Возвести только числитель - очень частая небрежность - дало бы 8/3, более чем в 8 раз больше нужного. Десятичной записью это 0,296… и она не заканчивается, так что честный ответ - дробь.
Дробный показатель: 9^(1/2)
plain
9^1/2Степень 1/2 - это квадратный корень, значит здесь √9 = 3 ровно. Причина: 9^(1/2) на 9^(1/2) складывает показатели и даёт 9¹, значит 9^(1/2) обязано быть числом, которое в квадрате даёт 9.
Когда корень не извлекается: 8^(1/2)
plain
8^1/2√8 иррационален, поэтому ответ остаётся радикалом - упрощённым до 2√2 вынесением квадратного множителя 4. Десятичное 2,828… стоит рядом как приближение, но никогда вместо него.
Знак отрицательного основания: (−2)⁴ и (−2)³
plain
(-2)^4Четыре отрицательных множителя разбиваются на два положительных произведения, поэтому (−2)⁴ = 16. Три оставляют один минус без пары, поэтому (−2)³ = −8. Знак решает только показатель - и заметьте, что −2⁴ без скобок означает −(2⁴) = −16, а это другой вопрос.
Частые ошибки
- Читать отрицательный показатель как отрицательный ответ. 2⁻³ - это 1/8, а не −8: минус отправляет степень в знаменатель, а не переезжает в ответ.
- Умножать основание на показатель. 2⁵ - это 32, а не 10. Показатель считает множители, а не является множителем.
- Возводить только числитель дроби. (2/3)³ - это 8/27, а не 8/3: знаменатель тоже возводится в куб.
- Убирать скобки у отрицательного основания. (−2)⁴ равно 16, тогда как −2⁴ равно −16, потому что степень связывает сильнее знака минус.
- Думать, что 0⁰ равно 1 или 0. У него нет общепринятого значения; разные области выбирают разные соглашения, и эта страница отказывается вместо того чтобы выбрать одно.
- Округлять корень вместо упрощения. 8^(1/2) - это ровно 2√2; 2,83 - приближение, и оно перестаёт быть полезным в тот момент, когда значение снова возводят в квадрат.
Вопросы о степенях
Что означает отрицательный показатель?
Обратное число. x⁻ⁿ - это 1/xⁿ, значит 2⁻³ равно 1/8 - положительное число меньше 1. Это следует из деления степеней: 2² ÷ 2⁵ = 1/8, а вычитание показателей даёт 2⁻³, значит это одно и то же.
Почему что угодно в нулевой степени равно 1?
Потому что деление степени на саму себя даёт 1, а вычитание показателей даёт нуль: 2³ ÷ 2³ = 1 и одновременно = 2⁰. Единственное исключение - 0⁰, у которого нет общепринятого значения: закономерность, требующая 1, нуждается в основании, на которое можно делить.
Что означает дробный показатель?
Корень. Знаменатель говорит какой, числитель - это степень: x^(1/2) - квадратный корень, x^(1/3) - кубический, а x^(2/3) - кубический корень из x в квадрате. Это следует из умножения степеней: x^(1/2) на x^(1/2) даёт x¹.
Как возвести дробь в степень?
Возводите числитель и знаменатель отдельно: (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27. Сделать это только сверху - самая частая ошибка здесь, и она промахивается на знаменатель в этой степени.
(−2)⁴ - то же, что −2⁴?
Нет, и это стоит запомнить. (−2)⁴ возводит −2 в четвёртую степень и даёт +16. Без скобок −2⁴ означает −(2⁴) = −16, потому что возведение в степень выполняется раньше знака минус. Отрицательное основание всегда берите в скобки.
Когда степень отрицательного числа положительна?
Когда показатель чётный. Каждая пара отрицательных множителей даёт положительное произведение, поэтому чётное количество не оставляет ничего отрицательного, а нечётное оставляет ровно один минус. (−3)² равно 9, а (−3)³ равно −27.
Сколько будет 2 в степени 1/2?
Квадратный корень из 2, который иррационален - значит точный ответ √2, а 1,414… лишь его приближение. Эта страница сохраняет радикал и упрощает его, где может: 8^(1/2) записывается как 2√2, а не остаётся √8.
Умеет ли этот калькулятор кубические корни?
Да. Дробный показатель вычисляется точно как корень любой степени до 12-й: 8^(1/3) равно 2, 16^(3/4) равно 8, а 54^(1/3) остаётся 3∛2, а не превращается в десятичную дробь. Корень нечётной степени из отрицательного основания тоже работает ((-8)^(1/3) равно -2); корень чётной степени из отрицательного числа не является действительным числом, и страница об этом скажет.
